Metode Branch and Cut

2.8 Metode Branch and Cut

Banyak permasalahan optimisasi dapat diformulasikan sebagai masalah Integer Linear Programming ILP. Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode branch and bound dan metode branch and cut. Algoritma metode branch and cut dibuat dari kombinasi metode cutting-plane dengan metode branch and bound. Prosedur metode branch and cut adalah menyelesaikan rangkaian relaksasi program linier dari masalah integer linear programming. Metode cutting plane memperbaharui relaksasi dari masalah untuk lebih mendekati penyelesaian berupa integer, dan metode branch and bound memproses dengan membagi dan menyelesaikan devide and conquer masalah. Misalkan bahwa titik � ∗ adalah solusi layak untuk linear programming. Jika � ∗ berada pada daerah integral, maka � merupakan solusi optimal untuk integer linear programming sudah diperoleh. Jika tidak, maka nilai fungsi objektif merupakan batas atas dari nilai optimum, tetapi dibutuhkan penyelesaian lebih lanjut untuk memperoleh nilai optimum berupa integer. Dengan penambahan bidang pemotongan cutting plane atau membagi masalah tersebut menjadi bagian-bagian masalah branch. Mitchell 1999 menjelaskan bahwa secara umum algoritma branch and cut adalah sebagai berikut: 1. Inisialisasi: nyatakan persoalan awal ke dalam bentuk ILP dan titik-titik aktif menjadi � = {��� }. Tetapkan batas bawah menjadi � = −∞. Tetapkan � � = + ∞ untuk sebuah persoalan � ∈ �. 2. Penghentian proses: jika � = ∅ maka solusi � ∗ yang menghasilkan nilai � objektif yang terbaik merupakan solusi optimal. Jika tidak ditemukan � ∗ misalnya, � = −∞ maka ILP tidak layak. 3. Pemilihan masalah: pilih dan hilangkan masalah ��� � dari L. 4. Relaksasi: selesaikan relaksasi program linier dari ��� � . Jika relaksasi tidak layak, tetapkan � � = −∞ dan lanjut ke langkah 6. Misalkan � merupakan nilai objektif optimal dari relaksasi dan misalkan � �� merupakan jawaban optimal. Jika relaksasinya layak tetapkan � � = �. 5. Tambahkan bidang pemotongan: jika diinginkan carilah bidang pemotongan yang akan memenuhi � �� , jika sudah ditemukan, tambahkan bidang pemotongan tersebut pada relaksasi dan kembali ke langkah 4. 6. Pengukuran dan pemangkasan: a. Jika � � ≤ � kembali ke langkah 2. b. Jika � � � dan � �� adalah integer yang layak, perbaharui nilai � dengan melakukan teknik rounded down berdasarkan nilai � � , kemudian buang dari L seluruh masalah di mana � � ≤ �, dan lanjut ke langkah 2. 7. Pemilihan: misalkan �� �� � � =1 � =� adalah partisi dari kumpulan kendala � � dari masalah ��� � . Tambahkan permasalahan ���� �� � � =1 � =� ke dalam L, di mana ��� �� adalah ��� � dengan daerah layak yang terbatas pada � �� dan � �� di mana � = 1, … , � ditetapkan ke dalam nilai � � untuk permasalahan induk. di mana: ILP = Bentuk ILP dari permasalahan awal ��� � = Bentuk ILP dari sebuah permasalahan l ∈ L L = Himpunan titik-titik aktif dari persoalan ILP � � = Batas atas dari nilai fungsi tujuan suatu sub-masalah l ∈ L z = Batas bawah dari nilai fungsi tujuan x = Solusi dari suatu sub-masalah � �� = Solusi optimal dari suatu sub-masalah � � = Kendala dari masalah ��� � �S Lj � J=1 J=k = Partisi dari kumpulan kendala � � Dari masalah ��� � ��� �� = ��� � dengan daerah layak yang terbatas pada � �� dan � �� di mana j = 1, … , k Pada algoritma branch and cut, diberikan L yang merupakan himpunan titik aktif pada pencabangan branch and cut. Nilai objektif terbaik yang diperoleh dari titik layak dinotasikan sebagai �. Lebih lanjut, � � adalah batas atas nilai optimal dari sub-masalah. Nilai dari sub-masalah tersebut digunakan untuk memperbaharui � � . Dalam beberapa kondisi, sejumlah cutting plane ditemukan pada langkah 5, biasanya cutting plane yang diperoleh dipilah dan yang ditambahkan pada persamaan adalah subsetnya. Sub-masalah yang terbentuk pada langkah 7 disebut sub-masalah anak dan sub-masalah pada node sebelumnya sebagai sub-masalah induknya. Biasanya pembagian masalah tersebut menggunakan bentuk dari variabel penghubung � � ≤ � dan � � ≥ � untuk suatu variabel � � dan a merupakan integer. Kendala-kendala tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai metode untuk ILP. Secara khusus pada langkah awal diselesaikan dengan metode simpleks, jawaban berikutnya diperoleh dengan metode dual Simpleks. Solusi dual untuk jawaban sub-masalah akhir adalah layak untuk sub-masalah awal. Lebih lanjut, ketika pemotongan cut ditambahkan pada langkah 5, juga memanfaaatkan iterasi dual Simpleks untuk mendapatkan solusi optimal yang integer. Cutting plane yang ditambahkan pada salah satu vertex dari pohon branch and cut mungkin tidak berlaku untuk sub-masalah lain. Dalam hal ini cut ini disebut cut lokal.

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah: 1. Data penjualan pot bunga pada bulan Januari-Juni 2014. 2. Data komposisi bahan baku yang diperlukan dari setiap jenis pot bunga. 3. Data biaya produksi pot bunga. 4. Data harga penjualan setiap jenis pot bunga pada UD. Mukhlis Rangkuti. 5. Data jumah produksi pot bunga pada bulan Maret 2015. Berikut disajikan data volume penjualan pot bunga bulan Januari-Juni 2014 pada UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti Tabel 3.1 Data Volume Penjualan Pot Bunga Bulan Januari – Juni 2014 No Bulan Jenis Produk Jumlah � 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 1 Januari 63 92 67 80 50 52 49 453 2 Februari 48 84 70 84 57 68 52 463 3 Maret 57 66 78 62 40 47 41 391 4 April 60 60 52 43 64 53 44 376 5 Mei 54 72 56 77 48 62 58 427 6 Juni 70 88 62 98 55 65 52 490 Jumlah 352 462 385 444 314 347 296 2.600 Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti Keterangan: � 1 = Pot bunga jenis segi minimalis � 2 = Pot bunga jenis sampan minimalis � 3 = Pot bunga jenis petak segi besar bonsai � 4 = Pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai � 5 = Pot bunga jenis segi ukir bonsai � 6 = Pot bunga jenis guci sedang � 7 = Pot bunga jenis guci kecil