Wulansari Mudayanti, 2013 Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
�� + 1 − � � = �
. ∆
Notasi � artinya harga opsi � pada partisi waktu ke- dan kenaikan ke- akan
naik pada partisi waktu ke- + 1 dan kenaikan ke- + 1 . Sedangkan �
artinya harga opsi � pada partisi waktu ke- dan kenaikan ke- akan turun pada
partisi waktu ke- + 1 dan kenaikan ke- sehingga diperoleh
��
+1, +1
+ 1 − � �
, +1
= �
. ∆
atau � =
− .∆
��
+1, +1
+ 1 − � �
, +1
3.10 dengan
= 0,1, … , dan = � − 1, … , 0
Rumus harga opsi 3.10 dapat digunakan untuk opsi call Eropa maupun opsi put Eropa sebagai berikut:
a. Untuk opsi call Eropa
=
− .∆
�
+1, +1
+ 1 − �
, +1
3.11 dengan
= 0,1, … , dan = � − 1, … , 0
b. Untuk opsi put Eropa
� =
− .∆
��
+1, +1
+ 1 − � �
, +1
3.12 dengan
= 0,1, … , dan = � − 1, … , 0
Jadi, �
00
yaitu harga opsi pada waktu didapat dengan
�
�
akan bekerja secara mundur dengan menggunakan rumus 3.11 untuk menghitung opsi call Eropa
dan rumus 3.12 untuk menghitung opsi put Eropa.
3.5 Ekstrapolasi Richardson
Aproksimasi harga opsi Black-Scholes memiliki bentuk error dengan bentuk prediksi yaitu fungsi polinomial, yang bergantung pada sebuah parameter
yaitu interval waktu ∆ . Untuk setiap interval waktu ∆ 0, rumus � ∆ yang
merupakan aproksimasi harga opsi Black-Scholes, yang dinotasikan � dan
truncation error dari aproksimasi ini adalah � − � ∆ =
1
. ∆ +
2
∆
2
+
3
∆
3
+ 3.13
atau � = � ∆ +
1
. ∆ +
2
∆
2
+
3
∆
3
+ 3.14
Wulansari Mudayanti, 2013 Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
dengan
1
,
2
,
3
, … adalah konstanta.
Tujuan dari ekstrapolasi adalah menghasilkan rumus truncation error dengan orde lebih tinggi. Berdasarkan metode ektrapolasi Richardson pada bab II,
didapat aproksimasi � ∆
2
untuk � dengan menghilangkan suku ∆ =
�
yaitu faktor koreksi
1 �
yaitu: � = �
2
∆ −
2
2 ∆
2
− 3
3
4 ∆
3
− 3.15
Definisikan �
1
∆ ≡ � ∆ , sehingga �
2
∆ = � ∆
2 + �
∆ 2
− � ∆ 3.16
Aproksimasi � ∆
3
untuk � dengan menghilangkan suku ∆
2
=
2
�
2
yaitu faktor koreksi
1 �
2
, yaitu: � = �
3
∆ 2
+
3
8 ∆
3
+ 3.17
Definisikan �
3
∆ = �
2
∆ 2
+ �
2
∆ 2 − �
2
∆ 3
3.18
Untuk suatu �, � dapat dirumuskan sebagai
� = � ∆ + ∆
�−1 =1
+ � ∆
�
3.19
dengan = 2,3,
… , �. Aproksimasi � ∆ dapat dirumuskan sebagai � ∆ = �
−1
∆ 2
+ �
−1
∆ 2 − �
−1
∆ 2
−1
− 1 3.20
Tabel 3.1 menunjukkan urutan perhitungan aproksimasi harga opsi angka menunjukkan urutan dengan
� = 6. Harga opsi pada kolom pertama didapatkan dengan melakukan perhitungan kembali
�
, �
�
, dan �
00
sesuai dengan interval waktunya. Sedangkan harga opsi kolom kedua hingga kolom keenam didapatkan
dengan menggunakan persamaan 3.20.
Wulansari Mudayanti, 2013 Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Tabel 3.1 Perhitungan Nilai Aproksimasi
�
��
� ∆ �∆
2
�∆
3
�∆
4
�∆
5
�∆
6
�
1
∆ ≡ � ∆ �
1
∆ 2
≡ � ∆
2 �
2
∆ �
1
∆ 4
≡ � ∆
4 �
2
∆ 2
�
3
∆ �
1
∆ 8
≡ � ∆
8 �
2
∆ 4
�
3
∆ 2
�
4
∆ �
1
∆ 16
≡ � ∆
16 �
2
∆ 8
�
3
∆ 4
�
4
∆ 2
�
5
∆ �
1
∆ 32
≡ � ∆
32 �
2
∆ 16
�
3
∆ 8
�
4
∆ 4
�
5
∆ 2
�
6
∆
3.6 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa menggunakan Metode
