Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap Berdasarkan Jenis Titik Tetap Titik Tetap Hiperbolik
Nilai eigen �
1
, �
2
Sifat Kasus 1 :
�
2
− 4∆ 0 i Real,
� berbeda, sama tanda ii Real,
� berbeda, beda tanda Simpul stabil atau simpul tak stabil
Titik sadel
Kasus 2 : �
2
− 4∆ = 0 �
1
= �
2
= � =
� 2
atau 0 Simpul sejati
Kasus 3 : �
2
− 4∆ 0 � = ± , ≠ 0 ≠
Spiral stabil atau spiral tak stabil Titik Tetap Non-Hiperbolik
Nilai eigen �
1
, �
2
Sifat Kasus 4 :
�
2
− 4∆ 0 i
� = 0 ≠ � ≠ → ∆ = 0 ii
�
1
= 0 = �
2
→ ∆ = 0 = � Simple degenerate
Double degenerate Kasus 5 :
�
2
− 4∆ = 0 �
1
= �
2
= �
2 = 0
→ � = 0 Double degenerate
Kasus 6 : �
2
− 4∆ 0 � = ± ,
� = 0 ∆ Center
2.7
Penondimensionalan
Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu persamaan
banyak parameter menjadi persamaan dengan sedikit parameter.
[Strogatz, 1994] 2.8
Siklus Limit Lymit Cycle
Siklus limit adalah orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di
sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit.
[Strogatz, 1994]
2.9 Bifurkasi
Bifurkasi adalah suatu kondisi di mana terjadinya perubahan pada sistem, bisa berupa
perubahan banyaknya
titik tetap
atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang
mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi. [Strogatz, 1994]
Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus-kasus untuk bifurkasi saddle-node,
bifurkasi transcritical, dan bifurkasi pitchfork supercritial dan subcritical. Sedangkan pada
kasus dua-dimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
2.10
Bifurkasi Titik Sadel Saddle-Node
Bifurkasi saddle-node adalah bifurkasi yang terjadi jika salah satu sisi dari nilai
parameter tidak terdapat titik tetap dan pada sisi lain terdapat dua titik tetap, dimana yang
satu stabil dan yang lainnya tidak stabil.
[Strogatz, 1994] 2.11
Bifurkasi Hopf Teorema :
Misalkan : =
, 2.7 adalah sistem persamaan diferensial mandiri
orde-2 yang nilai masing-masing parameter
− ,
di mana positif dan vektor
fungsi
2
× − ,
di mana adalah daerah asal pada
2
. Misalkan bahwa sistem 2.7 memiliki titik singular untuk
masing-masing , sehingga :
, = 0 ⇒ = 2.8
Misalkan matriks pelinearan dari
2.7 untuk titik singular , maka :
=
x
,
=
2.9 Misalkan bahwa
0 memiliki nilai eigen imajiner murni
± ,
≠ 0, sehingga : tr
0 = 0, det
0 0 2.10 Jika matriks
, didefinisikan oleh : = 0 +
2.11 maka
tr 0 ≠ 0 sehingga ada solusi
periodik dari 2.7 untuk disekitar = 0
dan disekitar
dengan periode =
2 �
untuk yang kecil. Bukti : Lihat Murray, 1993.
[Murray, 1993]
6
III PEMBAHASAN
3.1 Model Sistem mangsa-pemangsa telah dikenal
luas dan dikembangkan dengan berbagai tipe seperti model mangsa-pemangsa klasik yang
sering disebut Lotka-Volterra dan model mangsa-pemangsa Bazykin.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas tipe lain dari model mangsa-pemangsa yaitu model
mangsa-pemangsa yang
memuat tipe
Michaelis-Menten dengan tingkat pemanenan konstan.
Sistem mangsa-pemangsa yang memuat tipe
Michaelis-Menten memiliki
bentuk sebagai berikut :
= � 1 − � − + 3.1
= − + +
di mana : = kepadatan populasi mangsa
pada waktu = kepadatan populasi pemangsa
pada waktu � = laju pertumbuhan intrinsik
� = daya dukung lingkungan = laju kematian pemangsa
= tingkat tertangkapnya mangsa oleh pemangsa
= konstanta tingkat kejenuhan = tingkat kemudahan pemangsaan oleh
pemangsa Untuk
penyederhanaan matematis,
dilakukan penondimensionalan dengan skala → � ,
→ �, dan →
� maka persamaan 3.1 menjadi :
= 1 − − +
3.2 = − +
+ di mana
=
�
, =
�
, dan =
�
. Langkah-langkah
penondimensionalannya dapat dilihat pada lampiran 1
Untuk mempermudah
dan menjaga
dampak atau pengaruh biologis, parameter , , dan berturut-turut memiliki arti yang
sama dengan , , dan .
Diasumsikan bahwa tingkat pemanenan konstan hanya berpengaruh pada perubahan
populasi mangsa yang diambil secara kontinu. Aktivitas pemanenan tidak mempengaruhi
populasi pemangsa secara langsung. Hal ini jelas bahwa aktivitas pemanenan mengurangi
populasi pemangsa secara tidak langsung dengan mengurangi ketersediaan mangsa
untuk pemangsa.
Masalah tersebut diformulasikan sebagai berikut :
= 1 − − +
− 3.3
= − + +
di mana : = kepadatan populasi mangsa
pada waktu = kepadatan populasi pemangsa
pada waktu = tingkat tertangkapnya mangsa oleh
pemangsa = tingkat kemudahan pemangsaan oleh
pemangsa = laju kematian pemangsa
= tingkat pemanenan dengan
, , , dan adalah konstanta positif. Berikut akan dicari titik tetap di
+ 2
dari sistem 3.3 dengan mempertimbangkan
bahwa kondisi awal yang bermakna secara biologis yaitu
0 0 dan 0 0.
Kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta bifurkasi yang terjadi.
3.2 Titik Tetap
