Tujuan Penulisan Sistematika Penulisan Titik Tetap

1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam suatu populasi, akan terjadi interaksi antar spesies, di mana dua spesies berinteraksi dalam suatu rantai makanan. Interaksi ini dapat berupa sistem mangsa- pemangsa atau sistem kompetisi. Abrams dan Ginzburg 2000 menyebutkan bahwa respon fungsional yang melebihi rentang waktu ekologi bergantung pada kepadatan populasi mangsa maupun pemangsa, terutama ketika pemangsa harus mencari makanan. Oleh karena itu, mangsa dan pemangsa harus berbagi atau bersaing untuk mendapatkan makanan. Dalam dinamika populasi, beberapa ahli mengamati sistem mangsa-pemangsa yang memuat tipe Michaelis-Menten. Dinamika model ini telah dipelajari oleh beberapa peneliti dalam jurnalnya yaitu Kuang dan Beretta 1998 dan Kuang 1999 yang memperlihatkan adanya dinamika pada sistem ini. Xiao 2005 menyebutkan bahwa dari sudut pandang biologi, jika ada titik tetap positif pada model, untuk beberapa nilai parameter tertentu baik mangsa maupun pemangsa masih bisa mengalami kepunahan. Kepunahan mangsa dan pemangsa terjadi dalam dua cara yang berbeda. Salah satu cara adalah kedua spesies akan mengalami kepunahan tanpa memperhatikan kepadatan awal populasi. Cara lain adalah kedua spesies akan punah hanya jika mangsa maupun pemangsa memiliki rasio awal yang terlalu rendah. Sedangkan dari sudut pandang kebutuhan manusia, perlu untuk mempertimbangkan adanya eksploitasi sumber daya alam hayati dan pemanenan populasi yang umumnya dipraktekkan di perikanan, kehutanan, dan pengelolaan satwa liar. Dalam karya ilmiah ini, untuk penyederhanaan matematis, bentuk awal sistem mangsa-pemangsa yang memuat tipe Michaelis-Menten akan dinondimensionalkan dengan skala tertentu. Faktor pemanenan diikutsertakan dalam model, namun diasumsikan bahwa tingkat pemanenan hanya berpengaruh terhadap populasi mangsa. Mengingat bahwa mangsa merupakan sumber makanan bagi pemangsa, maka secara otomatis pemanenan pada populasi mangsa akan mempengaruhi populasi pemangsa secara tidak langsung. Dinamika global dari sistem ini diprediksi dengan menunjukkan terjadinya perubahan struktur bifurkasi pada sistem [Xiao, 2005]. Secara matematis, dari sudut pandang bifurkasi, pertanyaan yang sangat menarik adalah jenis bifurkasi apa yang akan terjadi ketika model diganggu oleh perubahan nilai konstanta tingkat pemanenan yang kecil.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk memperlihatkan jenis bifurkasi yang terjadi pada sistem mangsa-pemangsa yang memuat tipe Michaelis-Menten dengan tingkat pemanenan konstan dan simulasi bifurkasi tersebut dalam berbagai parameter.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama akan dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga akan dibahas pencarian titik tetap pada rasio ketergantungan model mangsa-pemangsa dengan laju pemanenan konstan dan analisis kestabilan titik tetapnya. Kemudian dilanjutkan dengan analisis bifurkasi yang terjadi pada model tersebut. Simpulan dari karya ilmiah ini akan dibahas pada bab empat. 2 II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Differensial Mandiri Perhatikan sistem persamaan differensial SPD berikut : = , 2.1 = , dan adalah fungsi kontinu dari dan dengan turunan parsial pertama kontinu, dengan laju perubahan dan dinyatakan dengan fungsi eksplisit dari dan sendiri dan tidak mengandung di dalamnya. SPD 2.1 disebut sebagai sistem persamaan differensial autonomousmandiri. [Farlow, 1994]

2.2 Titik Tetap

Misalkan diberikan persamaan differensial SPD sebagai berikut : = = , 2.2 Titik ∗ disebut titik tetap jika memenuhi ∗ = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap. [Tu, 1994] 2.3 Pelinearan Misalkan : = , = , Andaikan ∗ , ∗ adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka ∗ , ∗ = 0 dan ∗ , ∗ = 0. Misalkan = − ∗ dan = − ∗ maka didapatkan : = = ∗ + , ∗ + = ∗ , ∗ + � � + � � + 2 , 2 , = � � + � � + 2 , 2 , = = ∗ + , ∗ + = ∗ , ∗ + � � + � � + 2 , 2 , = � � + � � + 2 , 2 , Dalam bentuk matriks : = � � � � � � � � + 2 , 2 , Matriks = � � � � � � � � ∗ , ∗ disebut matriks Jacobi pada titik tetap ∗ , ∗ . Karena 2 , 2 , → 0 maka dapat diabaikan sehingga didapat persamaan linear : = � � � � � � � � 2.3 [Strogatz,1994]

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen