2
II LANDASAN TEORI
2.1
Sistem Persamaan
Differensial Mandiri
Perhatikan sistem persamaan differensial SPD berikut :
= ,
2.1 =
, dan adalah fungsi kontinu dari dan
dengan turunan parsial pertama kontinu, dengan laju perubahan dan dinyatakan
dengan fungsi eksplisit dari dan sendiri dan tidak mengandung di dalamnya. SPD
2.1 disebut sebagai sistem persamaan differensial autonomousmandiri.
[Farlow, 1994]
2.2 Titik Tetap
Misalkan diberikan persamaan differensial SPD sebagai berikut :
= = ,
2.2 Titik
∗
disebut titik tetap jika memenuhi
∗
= 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya
akan digunakan istilah titik tetap. [Tu, 1994]
2.3
Pelinearan
Misalkan : = ,
= , Andaikan
∗
,
∗
adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
∗
,
∗
= 0 dan
∗
,
∗
= 0. Misalkan =
−
∗
dan =
−
∗
maka didapatkan : =
=
∗
+ ,
∗
+ =
∗
,
∗
+ �
� +
� �
+
2
,
2
, =
� �
+ �
� +
2
,
2
, =
=
∗
+ ,
∗
+ =
∗
,
∗
+ �
� +
� �
+
2
,
2
, =
� �
+ �
� +
2
,
2
, Dalam bentuk matriks :
= �
� �
� �
� �
� +
2
,
2
,
Matriks
=
� �
� �
� �
� �
∗
,
∗
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
∗
,
∗
. Karena
2
,
2
, → 0 maka dapat
diabaikan sehingga didapat persamaan linear : =
� �
� �
� �
� �
2.3 [Strogatz,1994]
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan matriks berukuran
× . Suatu vektor tak nol
� di disebut vektor
eigen dari jika untuk suatu skalar, yang
disebut nilai eigen dari berlaku : � = �� 2.4
Vektor � disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen �.
Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran
× , maka persamaan 2.4 dapat ditulis sebagai berikut :
− � � = 0 2.5 Dengan
adalah matriks identitas. Persamaan 2.5 mempunyai solusi tak nol
jika dan hanya jika : − � = 0 2.6
Persamaan 2.6
disebut persamaan
karakteristik dari . [Tu, 1994]
2.5 Titik Tetap Hiperbolik dan Titik
Tetap Non-Hiperbolik
Titik
∗
disebut titik tetap hiperbolik jika pelinearan
menghasilkan akar karakteristik dengan bagian real tak nol dan titik
∗
disebut titik tetap non-hiperbolik jika dari pelinearan
ada akar karakteristik dengan bagian real sama dengan nol.
[Tu, 1994] 2.6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misal diberikan matriks berukuran 2 × 2
sebagai berikut :
= dengan persamaan karakteristik
− � = 0, dan adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya
menjadi − �
− � = 0, sedemikian
sehingga diperoleh persamaan : �
2
− �� + Δ = 0 dengan
� = � = + = �
1
+ �
2
Δ = det = −
= �
1
�
2
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari adalah :
�
1,2
= � ± �
2
− 4∆ 2
Kasus Δ 0.
Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda maka titik tetap bersifat sadel.
Kasus ∆ 0.
�
2
− 4Δ 0. - Jika
� 0 dan kedua nilai eigen real bernilai positif maka titik tetap
bersifat “simpul tak stabil”. - Jika
� 0 dan kedua nilai eigen real bernilai negatif maka titik tetap
bersifat “simpul stabil”. �
2
− 4Δ 0. - Jika
� 0 dan kedua nilai eigen imajiner
�
1,2
= ±
maka titik tetap bersif
at “spiral tak stabil”. - Jika
� 0 dan kedua nilai eigen imajiner
�
1,2
= ±
maka titik tetap bersifat “spiral stabil”.
- Jika � = 0 dan kedua nilai eigen
imajiner murni �
1,2
= ± maka
titik tetap bersifat “center”. �
2
− 4Δ = 0. Parabola
�
2
− 4Δ = 0 adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star
nodes dan degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen
bernilai sama maka titik tetap bersifat
“simpul sejati”.
Kasus ∆ = 0. Jika salah satu nilai eigen bernilai nol
maka titik asal bersifat “titik tetap tak
terisolasi ”.
[Strogatz, 1994] Berikut diberikan gambar jenis-jenis
kestabilan titik tetap :
Gambar 1. Jenis-jenis Kestabilan Titik Tetap Diberikan
juga ringkasan
jenis-jenis kestabilan titik tetap berdasarkan jenis titik
tetapnya hiperbolik dan non-hiperbolik [Tu, 1994] :
Simpul stabil Simpul tak stabil
Center Sadel
Spiral tak stabil
Spiral stabil Stabil terisolasi
Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap Berdasarkan Jenis Titik Tetap Titik Tetap Hiperbolik
Nilai eigen �
1
, �
2
Sifat Kasus 1 :
�
2
− 4∆ 0 i Real,
� berbeda, sama tanda ii Real,
� berbeda, beda tanda Simpul stabil atau simpul tak stabil
Titik sadel
Kasus 2 : �
2
− 4∆ = 0 �
1
= �
2
= � =
� 2
atau 0 Simpul sejati
Kasus 3 : �
2
− 4∆ 0 � = ± , ≠ 0 ≠
Spiral stabil atau spiral tak stabil Titik Tetap Non-Hiperbolik
Nilai eigen �
1
, �
2
Sifat Kasus 4 :
�
2
− 4∆ 0 i
� = 0 ≠ � ≠ → ∆ = 0 ii
�
1
= 0 = �
2
→ ∆ = 0 = � Simple degenerate
Double degenerate Kasus 5 :
�
2
− 4∆ = 0 �
1
= �
2
= �
2 = 0
→ � = 0 Double degenerate
Kasus 6 : �
2
− 4∆ 0 � = ± ,
� = 0 ∆ Center
2.7
Penondimensionalan
Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu persamaan
banyak parameter menjadi persamaan dengan sedikit parameter.
[Strogatz, 1994] 2.8
Siklus Limit Lymit Cycle
Siklus limit adalah orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di
sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit.
[Strogatz, 1994]
2.9 Bifurkasi
