I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Banyak masalah pada bidang sains dan teknik yang melibatkan sistem persamaan
linear. Oleh karena itu, menyelesaikan sistem persamaan linear menjadi penting.
Penyelesaian sistem persamaan linear menjadi lebih sulit seiring bertambah besarnya ukuran
sistem persamaan linear. Hal ini tentu menyebabkan waktu yang dibutuhkan untuk
menyelesaikannya akan semakin lama. Selain itu, terdapat sistem persamaan linear yang
tidak mempunyai penyelesaian eksak atau mempunyai banyak penyelesaian. Apabila
kebutuhan akan penyelesaian sistem persamaan linear seperti ini sangat penting,
penyelesaian hampiran sangat diperlukan. Penyelesaian hampiran yang dipilih harus
mempunyai tingkat kesalahan yang sekecil mungkin. Pemilihan penyelesaian hampiran
ini dapat pula dipandang sebagai masalah kuadrat terkecil.
Apabila matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah segi dan taksingular,
diketahui dengan baik bahwa metode eliminasi Gauss akan memberikan
penyelesaian yang akurat kecuali jika matriks koefisien tersebut berkondisi terlalu buruk.
Kondisi ini ditandai dengan perubahan yang besar pada penyelesaian yang disebabkan oleh
perubahan yang relatif kecil pada matriks koefisien. Namun, ketika matriks koefisiennya
sparse jarang dan berorde besar, metode ini boleh jadi tidak lebih efisien daripada metode
iteratif seperti metode Gauss-Seidel dan metode Jacobi. Metode-metode iteratif ini pun
tidak selalu konvergen.
Hal-hal demikian tentunya menjadi masalah tersendiri yang dapat menghambat
penyelesaian masalah utama seorang ilmuwan ataupun teknisi. Oleh karena itu, diperlukan
suatu metode yang tepat yang dapat menjawab semua tantangan ini. Suatu metode iteratif
diperkenalkan oleh Kaczmarz 1937 dalam hasil karyanya yang berjudul “Angenäherte
Auflösung von Systemen Linearer Gleichungen”. Metode ini disebut dengan
metode Kaczmarz. Nama Kaczmarz digunakan untuk menghargai jasanya yang
sangat besar yang membawa perubahan besar bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan
teknologi. Metode ini juga dikenal baik dengan nama teknik rekonstruksi aljabar.
Metode ini mempunyai peranan penting terhadap perkembangan teknologi computed
tomography yang sangat berguna bagi dunia kedokteran. Masalah mendasar dari computed
tomography adalah bagaimana membentuk gambar penampang melintang tubuh manusia
dengan menggunakan data yang dikumpulkan dari sekumpulan berkas sinar X yang
dilewatkan melalui suatu penampang melintang. Pembentukan suatu penampang
melintang ini membutuhkan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan ukuran yang
sangat besar.
Tanabe 1971 kemudian menyelidiki metode Kaczmarz. Dia membuktikan bahwa
metode Kaczmarz menghasilkan penyelesaian hampiran yang konvergen untuk setiap sistem
persamaan linear yang baris-barisnya taknol. Hal ini memperlihatkan bahwa metode
Kaczmarz merupakan metode yang baik.
Implementasi metode Kaczmarz dilakukan menggunakan MATLAB. Alat ini dipilih
karena ampuh untuk melakukan komputasi matriks. MATLAB juga merupakan alat yang
standar yang digunakan oleh ilmuwan dan teknisi di seluruh dunia.
1.2.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1. Menjelaskan algoritme untuk metode
Kaczmarz. 2.
Menganalisis mengonstruksi ulang bukti kekonvergenan penyelesaian hampiran
yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz. 3.
Mengimplementasikan algoritme untuk metode Kaczmarz dengan membuat
program MATLAB, kemudian mengujinya dengan beberapa sistem persamaan linear
yang matriks koefisien dan vektor konstantanya dibangkitkan, serta
mengamati kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan melalui program
tersebut.
1.3. Ruang Lingkup
Entri-entri dari matriks koefisien dan vektor konstanta dari sistem persamaan linear
yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah bilangan-bilangan real. Banyaknya sistem
persamaan linear yang akan digunakan untuk menguji program MATLAB yang telah dibuat
dan mengamati kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan melalui program
tersebut ada tiga buah. Ketiga sistem persamaan linear tersebut mempunyai ukuran
yang sama.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks
Definisi 2.1.1 Persamaan Linear Suatu persamaan linear dalam variabel
adalah persamaan dengan bentuk dengan
, , …,
, dan adalah bilangan- bilangan real dan
, , …,
adalah variabel.
Leon 1998 Persamaan linear tersebut disebut sebagai
hiperbidang pada ruang Euclid berdimensi , .
Anton Rorres 2005
Definisi 2.1.2 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear SPL dari persamaan dalam variabel adalah suatu
sistem berbentuk
dengan dan
, adalah bilangan-bilangan real dan
, , …,
adalah variabel. SPL tersebut disebut sebagai SPL berukuran
. Penyelesaian SPL berukuran
adalah sebuah vektor kolom berorde ,
yaitu
yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut
sebagai vektor penyelesaian. Leon 1998
SPL berukuran tersebut dapat
ditulis dalam bentuk ,
, , … , dengan vektor-vektor kolom dan
masing-masing berorde adalah
, ,
, , … , . Anton Rorres 2005
Selain itu, SPL berukuran tersebut
juga dapat ditulis dalam bentuk dengan matriks dan vektor kolom
masing-masing berturut-turut berorde dan
adalah
,
. Matriks disebut sebagai matriks koefisien,
sedangkan vektor kolom disebut sebagai vektor konstanta.
Leon 1998
Definisi 2.1.3 Kekonsistenan dari Suatu SPL
Suatu SPL dikatakan konsisten jika mempunyai paling sedikit satu penyelesaian,
sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dikatakan takkonsisten.
Leon 1998
Definisi 2.1.4 Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks yang berorde
, dengan ,
, ,
. Leon 1998
Definisi 2.1.5 Invers dari Suatu Matriks
Suatu matriks yang berorde dikatakan taksingular jika terdapat matriks
sehingga . Matriks dikatakan
invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara
sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan
. Leon 1998
Definisi 2.1.6 Transpos dari Suatu Matriks
Transpos dari suatu matriks yang berorde
adalah matriks yang berorde
yang didefinisikan oleh
untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh
. Leon 1998
2.2. Ruang Vektor
Kategori