Latar Belakang Metode Kaczmarz untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Banyak masalah pada bidang sains dan teknik yang melibatkan sistem persamaan linear. Oleh karena itu, menyelesaikan sistem persamaan linear menjadi penting. Penyelesaian sistem persamaan linear menjadi lebih sulit seiring bertambah besarnya ukuran sistem persamaan linear. Hal ini tentu menyebabkan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikannya akan semakin lama. Selain itu, terdapat sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian eksak atau mempunyai banyak penyelesaian. Apabila kebutuhan akan penyelesaian sistem persamaan linear seperti ini sangat penting, penyelesaian hampiran sangat diperlukan. Penyelesaian hampiran yang dipilih harus mempunyai tingkat kesalahan yang sekecil mungkin. Pemilihan penyelesaian hampiran ini dapat pula dipandang sebagai masalah kuadrat terkecil. Apabila matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah segi dan taksingular, diketahui dengan baik bahwa metode eliminasi Gauss akan memberikan penyelesaian yang akurat kecuali jika matriks koefisien tersebut berkondisi terlalu buruk. Kondisi ini ditandai dengan perubahan yang besar pada penyelesaian yang disebabkan oleh perubahan yang relatif kecil pada matriks koefisien. Namun, ketika matriks koefisiennya sparse jarang dan berorde besar, metode ini boleh jadi tidak lebih efisien daripada metode iteratif seperti metode Gauss-Seidel dan metode Jacobi. Metode-metode iteratif ini pun tidak selalu konvergen. Hal-hal demikian tentunya menjadi masalah tersendiri yang dapat menghambat penyelesaian masalah utama seorang ilmuwan ataupun teknisi. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode yang tepat yang dapat menjawab semua tantangan ini. Suatu metode iteratif diperkenalkan oleh Kaczmarz 1937 dalam hasil karyanya yang berjudul “Angenäherte Auflösung von Systemen Linearer Gleichungen”. Metode ini disebut dengan metode Kaczmarz. Nama Kaczmarz digunakan untuk menghargai jasanya yang sangat besar yang membawa perubahan besar bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Metode ini juga dikenal baik dengan nama teknik rekonstruksi aljabar. Metode ini mempunyai peranan penting terhadap perkembangan teknologi computed tomography yang sangat berguna bagi dunia kedokteran. Masalah mendasar dari computed tomography adalah bagaimana membentuk gambar penampang melintang tubuh manusia dengan menggunakan data yang dikumpulkan dari sekumpulan berkas sinar X yang dilewatkan melalui suatu penampang melintang. Pembentukan suatu penampang melintang ini membutuhkan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan ukuran yang sangat besar. Tanabe 1971 kemudian menyelidiki metode Kaczmarz. Dia membuktikan bahwa metode Kaczmarz menghasilkan penyelesaian hampiran yang konvergen untuk setiap sistem persamaan linear yang baris-barisnya taknol. Hal ini memperlihatkan bahwa metode Kaczmarz merupakan metode yang baik. Implementasi metode Kaczmarz dilakukan menggunakan MATLAB. Alat ini dipilih karena ampuh untuk melakukan komputasi matriks. MATLAB juga merupakan alat yang standar yang digunakan oleh ilmuwan dan teknisi di seluruh dunia. 1.2. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Menjelaskan algoritme untuk metode Kaczmarz. 2. Menganalisis mengonstruksi ulang bukti kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz. 3. Mengimplementasikan algoritme untuk metode Kaczmarz dengan membuat program MATLAB, kemudian mengujinya dengan beberapa sistem persamaan linear yang matriks koefisien dan vektor konstantanya dibangkitkan, serta mengamati kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan melalui program tersebut.

1.3. Ruang Lingkup