. Anton Rorres 2005
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. 2.5.
Masalah Kuadrat Terkecil
Misalkan adalah SPL yang
berukuran . Untuk setiap
, didefinisikan sisaan sebagai
. Norm sisaan diberikan oleh
. Penyelesaian dari SPL
dapat dihampiri dengan suatu vektor
. Vektor seperti ini disebut dengan penyelesaian
hampiran. Salah satu cara untuk mendapatkan penyelesaian hampiran adalah dengan mencari
suatu vektor sehingga norm sisaan
minimum, yakni minimum.
Meminimumkan sama dengan
meminimumkan . Masalah ini disebut
dengan masalah kuadrat terkecil. Suatu vektor yang menyelesaikan masalah ini disebut
dengan suatu penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL
. Leon 1998
Selanjutnya, himpunan semua vektor penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL
dinotasikan dengan , .
2.6. Barisan dan Deret
Definisi 2.6.1 Barisan di Barisan di
adalah suatu fungsi dari ke
. Misalkan adalah suatu
barisan di dengan
, .
Barisan biasa dilambangkan dengan .
Rynne Youngson 2008
Definisi 2.6.2 Kekonvergenan Barisan di
Misalkan adalah barisan di
. Barisan
disebut konvergen ke jika
, sehingga
, untuk dan dinotasikan sebagai
lim .
Rynne Youngson 2008
Lema 2.6.3
Jika dan
adalah barisan- barisan di
sedemikian sehingga berturut- turut konvergen ke
dan , yaitu
lim ,
dan lim
, maka barisan
di dan
konvergen ke , yaitu
lim .
Bukti dapat dilihat di Rynne Youngson 2008.
Definisi 2.6.4 Kekonvergenan Deret Takhingga di
Misalkan adalah barisan di
. Untuk setiap
, misalkan
adalah jumlah parsial ke- dari barisan tersebut. Deret
dikatakan konvergen jika lim
ada di dan
lim .
Rynne Youngson 2008
Teorema 2.6.5 Deret Neumann di
Jika dengan
, maka taksingular dan
. Bukti dapat dilihat di Rynne Youngson
2008.
III. METODE
Karya ilmiah ini disusun melalui tiga tahap. Pertama, dilakukan studi pustaka
mengenai metode Kaczmarz, kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh
metode Kaczmarz, serta konsep-konsep yang mendasarinya. Kedua, dilakukan
implementasi algoritme untuk metode Kaczmarz dengan membuat program
MATLAB secara sekuensial. Ketiga, dilakukan pengujian terhadap program
MATLAB tersebut dan pengamatan terhadap kekonvergenan penyelesaian hampiran yang
diperoleh melalui program MATLAB tersebut.
3.1.
Studi Pustaka
Studi diawali dengan mengkaji metode Kaczmarz. Literatur utama yang digunakan
dalam mengkajinya adalah buku Anton dan Rorres 2005 yang berjudul “Elementary
Linear Algebra”. Konsep-konsep dasar yang diperlukan untuk memahami metode
Kaczmarz adalah persamaan linear, sistem persamaan linear, transpos dari suatu matriks,
hasil kali skalar dari dua vektor, norm dari suatu vektor, serta rumus proyeksi ortogonal.
Studi dilanjutkan dengan mengkaji kekonvergenan penyelesaian hampiran yang
diperoleh dari algoritme untuk metode Kaczmarz. Literatur utama yang digunakan
adalah artikel Tanabe 1971 yang berjudul “Projection Method for Solving a Singular
System of Linear Equation and Its Applications”. Selain konsep-konsep dasar
yang telah disebutkan untuk memahami metode Kaczmaz, diperlukan beberapa konsep
dasar tambahan pula untuk membuktikan kekonvergenan ini. Konsep-konsep tersebut
adalah kekonsistenan dari suatu SPL, matriks identitas, invers dari suatu matriks, ruang
vektor dan ruang bagian, transformasi matriks, kesamaan transformasi matriks, kernel dan
image dari suatu transformasi matriks, norm dari suatu matriks, proyeksi vektor,
ortogonalitas, ruang bagian ortogonal, komplemen ortogonal, jumlah langsung,
proyeksi ortogonal pada ruang bagian, masalah kuadrat terkecil, kekonvergenan
barisan vektor, kekonvergenan deret vektor takhingga, deret Neumann, serta beberapa
lema dan teorema yang terkait.
Pernyataan kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode
Kaczmarz ini disajikan dalam bentuk suatu teorema. Pembuktian teorema ini
membutuhkan pernyataan proposisi, lema, teorema, dan akibat lain. Alur pembuktian
disajikan pada Gambar 1 berikut. Gambar
1 Alur pembuktian kekonvergenan
penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz.
3.2. Implementasi
