Ruang Vektor Transformasi Linear Ortogonalitas

untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh . Leon 1998

2.2. Ruang Vektor

Ruang Vektor Euclid Ruang vektor Euclid dapat dipandang sebagai himpunan semua vektor yang berorde dengan entri-entrinya berupa bilangan real. Leon 1998 Ruang Vektor Ruang vektor dapat dipandang sebagai himpunan semua matriks yang berorde dengan entri-entrinya berupa bilangan real. Leon 1998 Definisi 2.2.1 Ruang Bagian dari Jika adalah suatu himpunan bagian takkosong dari ruang vektor dan memenuhi 1. , , dan 2. , , , maka dikatakan suatu ruang bagian dari . Leon 1998

2.3. Transformasi Linear

Definisi 2.3.1 Transformasi Linear dari ke Jika adalah suatu matriks yang berorde , maka suatu transformasi linear dari ke dapat dinyatakan sebagai untuk setiap . Oleh karena itu, setiap matriks yang berorde dapat dipandang sebagai transformasi linear dari ke . Leon 1998 Transformasi linear juga dapat disebut dengan transformasi matriks . Anton Rorres 2005 Definisi 2.3.2 Kesamaan Transformasi Matriks Misalkan dan adalah transformasi- transformasi matriks dari ke . dan dikatakan sama dinotasikan dengan jika untuk setiap . Deskins 1964 Definisi 2.3.3 Kernel dari Suatu Transformasi Matriks Misalkan adalah suatu transformasi matriks dari ke . Kernel ruang nol dari transformasi matriks dilambangkan dengan Ker dan didefinisikan oleh Ker | . Leon 1998 Definisi 2.3.4 Image dari Suatu Transformasi Matriks Misalkan adalah suatu transformasi matriks dari ke . Image dari transformasi matriks dilambangkan dengan Im dan didefinisikan oleh Im | . Leon 1998

2.4. Ortogonalitas

Definisi 2.4.1 Hasil Kali Skalar di Misalkan , dengan , , maka hasil kali skalar dari dan adalah . Leon 1998 Definisi 2.4.2 Norm dari Suatu Vektor di Misalkan dengan , maka norm dari vektor di adalah . Leon 1998 Definisi 2.4.3 Norm dari Suatu Matriks di Norm dari suatu matriks yang berorde dapat didefinisikan sebagai max , . Leon 1998 Lema 2.4.4 Norm vektor pada Definisi 2.4.2 dan norm matriks pada Definisi 2.4.3 memenuhi 1. , , dan 2. , , . Bukti dapat dilihat di Leon 1998. Definisi 2.4.5 Proyeksi vektor di Misalkan , dan . Proyeksi vektor pada adalah vektor . Leon 1998 Definisi 2.4.6 Ortogonalitas di Vektor-vektor dan disebut ortogonal jika . Leon 1998 Definisi 2.4.7 Ruang Bagian Ortogonal Dua ruang bagian dan dari disebut ortogonal jika untuk setiap dan setiap , . Jika dan ortogonal, maka ditulis . Leon 1998 Lema 2.4.8 Jika dan adalah dua ruang bagian dari yang ortogonal, maka . Bukti dapat dilihat di Leon 1998. Definisi 2.4.9 Komplemen Ortogonal Misalkan adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di yang ortogonal dengan setiap vektor di dinotasikan dengan , yaitu | , . Himpunan disebut komplemen ortogonal dari . Leon 1998 Lema 2.4.10 Jika adalah suatu matriks berorde , maka Ker Im . Bukti dapat dilihat di Leon 1998. Definisi 2.4.11 Jumlah Langsung Jika dan adalah ruang-ruang bagian dari dan setiap dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dengan dan , maka dikatakan jumlah langsung dari dan , serta dinotasikan dengan . Leon 1998 Lema 2.4.12 Jika adalah suatu ruang bagian dari , maka . Bukti dapat dilihat di Leon 1998. Definisi 2.4.13 Proyeksi Ortogonal di Suatu proyeksi ortogonal di adalah suatu transformasi matriks dari ke sedemikian sehingga . Rynne Youngson 2008 Definisi 2.4.14 Proyeksi Ortogonal pada Ruang Bagian Misalkan adalah ruang bagian dari . Proyeksi ortogonal pada ruang bagian di dinotasikan dengan yang memenuhi , dan , . Rynne Youngson 2008 Teorema 2.4.15 Rumus Proyeksi Ortogonal Misalkan suatu hiperbidang di mempunyai persamaan dan misalkan adalah sebarang titik di , maka proyeksi ortogonal, , dari terhadap hiperbidang tersebut dinyatakan dengan . Anton Rorres 2005 Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. 2.5. Masalah Kuadrat Terkecil Misalkan adalah SPL yang berukuran . Untuk setiap , didefinisikan sisaan sebagai . Norm sisaan diberikan oleh . Penyelesaian dari SPL dapat dihampiri dengan suatu vektor . Vektor seperti ini disebut dengan penyelesaian hampiran. Salah satu cara untuk mendapatkan penyelesaian hampiran adalah dengan mencari suatu vektor sehingga norm sisaan minimum, yakni minimum. Meminimumkan sama dengan meminimumkan . Masalah ini disebut dengan masalah kuadrat terkecil. Suatu vektor yang menyelesaikan masalah ini disebut dengan suatu penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL . Leon 1998 Selanjutnya, himpunan semua vektor penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL dinotasikan dengan , .

2.6. Barisan dan Deret