Metode Kaczmarz untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

(1)

ABSTRAK

RUHIYAT. Metode Kaczmarz untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan TEDUH WULANDARI.

Sistem persamaan linear (SPL) banyak terlibat dalam masalah pada bidang sains dan teknik. Terdapat banyak metode untuk menyelesaikan SPL, baik secara analitik maupun numerik. Metode Kaczmarz merupakan salah satu metode iteratif untuk menyelesaikan SPL. Proyeksi ortogonal digunakan dalam metode ini. Barisan penyelesaian hampiran yang dibangun oleh algoritme untuk metode ini konvergen untuk sebarang penyelesaian hampiran awal. Bukti kekonvergenan diberikan. Apabila SPL konsisten, barisan penyelesaian hampiran konvergen ke penyelesaian eksaknya. Hal ini menunjukkan bahwa metode Kaczmarz merupakan suatu metode yang baik. Implementasi metode ini dilakukan menggunakan MATLAB R2008b. Beberapa SPL dibangkitkan, kemudian diselesaikan secara numerik melalui program yang telah dibuat. Hasilnya menunjukkan bahwa semakin banyak iterasi yang dilakukan dalam menghampiri penyelesaian, semakin kecil norm sisaan yang diperoleh.

Kata kunci: sistem persamaan linear, metode Kaczmarz, proyeksi ortogonal, penyelesaian hampiran, konvergen.

(2)

ABSTRACT

RUHIYAT. Kaczmarz Method for Solving System of Linear Equations. Under supervision of SRI NURDIATI and TEDUH WULANDARI.

A system of linear equations is often involved in science and engineering problems. There are many methods available for solving system of linear equations, both analytically and numerically. Kaczmarz method is one of iterative methods for solving such system. Orthogonal projections are used in this method. The sequence of approximate solutions generated by algorithm for this method is convergent for an arbitrary initial solution. A proof of the convergence is given. If the system of linear equations is consistent, then the sequence of approximate solutions converges to the exact solution. This shows that Kaczmarz method is a good method. Implementation of this method is done using MATLAB R2008b. Some systems of linear equations are generated, and then solved numerically using the program. The results show that the more iteration used in the solution approximation, the smaller norm of residual obtained.

Keywords: system of linear equations, Kaczmarz method, orthogonal projection, approximate solution, convergent.

(3)

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Banyak masalah pada bidang sains dan teknik yang melibatkan sistem persamaan linear. Oleh karena itu, menyelesaikan sistem persamaan linear menjadi penting. Penyelesaian sistem persamaan linear menjadi lebih sulit seiring bertambah besarnya ukuran sistem persamaan linear. Hal ini tentu menyebabkan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikannya akan semakin lama. Selain itu, terdapat sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian eksak atau mempunyai banyak penyelesaian. Apabila kebutuhan akan penyelesaian sistem persamaan linear seperti ini sangat penting, penyelesaian hampiran sangat diperlukan. Penyelesaian hampiran yang dipilih harus mempunyai tingkat kesalahan yang sekecil mungkin. Pemilihan penyelesaian hampiran ini dapat pula dipandang sebagai masalah kuadrat terkecil.

Apabila matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah segi dan taksingular, diketahui dengan baik bahwa metode eliminasi Gauss akan memberikan penyelesaian yang akurat kecuali jika matriks koefisien tersebut berkondisi terlalu buruk. Kondisi ini ditandai dengan perubahan yang besar pada penyelesaian yang disebabkan oleh perubahan yang relatif kecil pada matriks koefisien. Namun, ketika matriks koefisiennya sparse (jarang) dan berorde besar, metode ini boleh jadi tidak lebih efisien daripada metode iteratif seperti metode Gauss-Seidel dan metode Jacobi. Metode-metode iteratif ini pun tidak selalu konvergen.

Hal-hal demikian tentunya menjadi masalah tersendiri yang dapat menghambat penyelesaian masalah utama seorang ilmuwan ataupun teknisi. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode yang tepat yang dapat menjawab semua tantangan ini. Suatu metode iteratif diperkenalkan oleh Kaczmarz (1937) dalam hasil karyanya yang berjudul “Angenäherte Auflösung von Systemen Linearer Gleichungen”. Metode ini disebut dengan metode Kaczmarz. Nama Kaczmarz digunakan untuk menghargai jasanya yang sangat besar yang membawa perubahan besar bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Metode ini juga dikenal baik dengan nama teknik rekonstruksi aljabar.

Metode ini mempunyai peranan penting terhadap perkembangan teknologi computed tomography yang sangat berguna bagi dunia

kedokteran. Masalah mendasar dari computed tomography adalah bagaimana membentuk gambar penampang melintang tubuh manusia dengan menggunakan data yang dikumpulkan dari sekumpulan berkas sinar X yang dilewatkan melalui suatu penampang melintang. Pembentukan suatu penampang melintang ini membutuhkan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan ukuran yang sangat besar.

Tanabe (1971) kemudian menyelidiki metode Kaczmarz. Dia membuktikan bahwa metode Kaczmarz menghasilkan penyelesaian hampiran yang konvergen untuk setiap sistem persamaan linear yang baris-barisnya taknol. Hal ini memperlihatkan bahwa metode Kaczmarz merupakan metode yang baik.

Implementasi metode Kaczmarz dilakukan menggunakan MATLAB. Alat ini dipilih karena ampuh untuk melakukan komputasi matriks. MATLAB juga merupakan alat yang standar yang digunakan oleh ilmuwan dan teknisi di seluruh dunia.

1.2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

1. Menjelaskan algoritme untuk metode Kaczmarz.

2. Menganalisis (mengonstruksi ulang bukti) kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz. 3. Mengimplementasikan algoritme untuk

metode Kaczmarz dengan membuat program MATLAB, kemudian mengujinya dengan beberapa sistem persamaan linear yang matriks koefisien dan vektor konstantanya dibangkitkan, serta mengamati kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan melalui program tersebut.

1.3. Ruang Lingkup

Entri-entri dari matriks koefisien dan vektor konstanta dari sistem persamaan linear yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah bilangan-bilangan real. Banyaknya sistem persamaan linear yang akan digunakan untuk menguji program MATLAB yang telah dibuat dan mengamati kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan melalui program tersebut ada tiga buah. Ketiga sistem persamaan linear tersebut mempunyai ukuran yang sama.

(4)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Definisi 2.1.1 (Persamaan Linear)

Suatu persamaan linear dalam variabel adalah persamaan dengan bentuk

dengan , , …, , dan adalah bilangan-bilangan real dan , , …, adalah variabel.

(Leon 1998) Persamaan linear tersebut disebut sebagai hiperbidang pada ruang Euclid berdimensi ,

(Anton & Rorres 2005) Definisi 2.1.2 (Sistem Persamaan Linear)

Suatu sistem persamaan linear (SPL) dari persamaan dalam variabel adalah suatu sistem berbentuk

dengan dan ( , )

adalah bilangan-bilangan real dan , , …, adalah variabel. SPL tersebut disebut sebagai SPL berukuran .

Penyelesaian SPL berukuran adalah sebuah vektor kolom berorde , yaitu

yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut sebagai vektor penyelesaian.

(Leon 1998)

SPL berukuran tersebut dapat

ditulis dalam bentuk

, , , … ,

dengan vektor-vektor kolom dan (masing-masing berorde ) adalah

, , , , … , .

(Anton & Rorres 2005)

Selain itu, SPL berukuran tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk

dengan matriks dan vektor kolom (masing-masing berturut-turut berorde dan ) adalah

Matriks disebut sebagai matriks koefisien, sedangkan vektor kolom disebut sebagai vektor konstanta.

(Leon 1998) Definisi 2.1.3 (Kekonsistenan dari Suatu SPL)

Suatu SPL dikatakan konsisten jika mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dikatakan takkonsisten.

(Leon 1998) Definisi 2.1.4 (Matriks Identitas)

Matriks identitas adalah matriks yang berorde , dengan

, , , .

(Leon 1998) Definisi 2.1.5 (Invers dari Suatu Matriks)

Suatu matriks yang berorde dikatakan taksingular jika terdapat matriks

sehingga . Matriks dikatakan

invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan .

(Leon 1998) Definisi 2.1.6 (Transpos dari Suatu Matriks)

Transpos dari suatu matriks yang berorde adalah matriks yang berorde yang didefinisikan oleh

(5)

untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh .

(Leon 1998) 2.2. Ruang Vektor

Ruang Vektor Euclid

Ruang vektor Euclid dapat dipandang sebagai himpunan semua vektor yang berorde dengan entri-entrinya berupa bilangan real.

(Leon 1998) Ruang Vektor

Ruang vektor dapat dipandang

sebagai himpunan semua matriks yang berorde dengan entri-entrinya berupa bilangan real.

(Leon 1998) Definisi 2.2.1 (Ruang Bagian dari )

Jika adalah suatu himpunan bagian takkosong dari ruang vektor dan memenuhi

1. , , dan

2. , , ,

maka dikatakan suatu ruang bagian dari . (Leon 1998) 2.3. Transformasi Linear

Definisi 2.3.1 (Transformasi Linear dari ke )

Jika adalah suatu matriks yang berorde , maka suatu transformasi linear dari ke dapat dinyatakan sebagai

untuk setiap . Oleh karena itu, setiap

matriks yang berorde dapat

dipandang sebagai transformasi linear dari ke .

(Leon 1998) Transformasi linear juga dapat disebut dengan transformasi matriks .

(Anton & Rorres 2005) Definisi 2.3.2 (Kesamaan Transformasi Matriks)

Misalkan dan adalah transformasi-transformasi matriks dari ke . dan

dikatakan sama (dinotasikan dengan ) jika

untuk setiap .

(Deskins 1964) Definisi 2.3.3 (Kernel dari Suatu Transformasi Matriks)

Misalkan adalah suatu transformasi matriks dari ke . Kernel (ruang nol) dari transformasi matriks dilambangkan dengan Ker dan didefinisikan oleh

Ker | .

(Leon 1998) Definisi 2.3.4 (Image dari Suatu Transformasi Matriks)

Misalkan adalah suatu transformasi

matriks dari ke . Image dari

transformasi matriks dilambangkan dengan

Im dan didefinisikan oleh

Im | .

(Leon 1998) 2.4. Ortogonalitas

Definisi 2.4.1 (Hasil Kali Skalar di )

Misalkan , dengan

, ,

maka hasil kali skalar dari dan adalah

(Leon 1998) Definisi 2.4.2 (Norm dari Suatu Vektor di

)

Misalkan dengan

maka norm dari vektor di adalah

(6)

Definisi 2.4.3 (Norm dari Suatu Matriks di )

Norm dari suatu matriks yang berorde dapat didefinisikan sebagai

max , .

(Leon 1998) Lema 2.4.4

Norm vektor pada Definisi 2.4.2 dan norm matriks pada Definisi 2.4.3 memenuhi

1. , ,

dan

2. , ,

Bukti dapat dilihat di Leon (1998). Definisi 2.4.5 (Proyeksi vektor di )

Misalkan , dan . Proyeksi

vektor pada adalah vektor

(Leon 1998) Definisi 2.4.6 (Ortogonalitas di )

Vektor-vektor dan disebut ortogonal

jika .

(Leon 1998) Definisi 2.4.7 (Ruang Bagian Ortogonal)

Dua ruang bagian dan dari disebut ortogonal jika untuk setiap dan setiap

, . Jika dan ortogonal, maka ditulis

(Leon 1998) Lema 2.4.8

Jika dan adalah dua ruang bagian dari yang ortogonal, maka

Bukti dapat dilihat di Leon (1998). Definisi 2.4.9 (Komplemen Ortogonal)

Misalkan adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di yang ortogonal dengan setiap vektor di dinotasikan dengan , yaitu

| , .

Himpunan disebut komplemen ortogonal dari .

(Leon 1998) Lema 2.4.10

Jika adalah suatu matriks berorde , maka

Ker Im .

Bukti dapat dilihat di Leon (1998). Definisi 2.4.11 (Jumlah Langsung)

Jika dan adalah ruang-ruang bagian dari dan setiap dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dengan dan , maka dikatakan jumlah langsung dari dan , serta dinotasikan dengan

(Leon 1998) Lema 2.4.12

Jika adalah suatu ruang bagian dari , maka

Bukti dapat dilihat di Leon (1998).

Definisi 2.4.13 (Proyeksi Ortogonal di ) Suatu proyeksi ortogonal di adalah suatu transformasi matriks dari ke sedemikian sehingga

(Rynne & Youngson 2008) Definisi 2.4.14 (Proyeksi Ortogonal pada Ruang Bagian)

Misalkan adalah ruang bagian dari . Proyeksi ortogonal pada ruang bagian di dinotasikan dengan yang memenuhi

, dan , .

(Rynne & Youngson 2008) Teorema 2.4.15 (Rumus Proyeksi Ortogonal)

Misalkan suatu hiperbidang di mempunyai persamaan dan misalkan

adalah sebarang titik di , maka proyeksi ortogonal, , dari terhadap hiperbidang tersebut dinyatakan dengan

(7)

(Anton & Rorres 2005) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.5. Masalah Kuadrat Terkecil

Misalkan adalah SPL yang

berukuran . Untuk setiap ,

didefinisikan sisaan sebagai

Norm sisaan diberikan oleh

Penyelesaian dari SPL dapat

dihampiri dengan suatu vektor .

Vektor seperti ini disebut dengan penyelesaian hampiran. Salah satu cara untuk mendapatkan penyelesaian hampiran adalah dengan mencari suatu vektor sehingga norm sisaan

minimum, yakni minimum.

Meminimumkan sama dengan

meminimumkan . Masalah ini disebut dengan masalah kuadrat terkecil. Suatu vektor yang menyelesaikan masalah ini disebut dengan suatu penyelesaian kuadrat terkecil

atas SPL .

(Leon 1998) Selanjutnya, himpunan semua vektor penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL

dinotasikan dengan , . 2.6. Barisan dan Deret

Definisi 2.6.1 (Barisan di )

Barisan di adalah suatu fungsi dari

ke . Misalkan adalah suatu

barisan di dengan

, .

Barisan biasa dilambangkan dengan

(Rynne & Youngson 2008) Definisi 2.6.2 (Kekonvergenan Barisan di

)

Misalkan adalah barisan di . Barisan disebut konvergen ke

jika , sehingga

, untuk dan dinotasikan sebagai

lim .

(Rynne & Youngson 2008) Lema 2.6.3

Jika dan adalah

barisan-barisan di sedemikian sehingga berturut-turut konvergen ke dan , yaitu

lim ,

dan

lim ,

maka barisan di dan

konvergen ke , yaitu

lim .

Bukti dapat dilihat di Rynne & Youngson (2008).

Definisi 2.6.4 (Kekonvergenan Deret Takhingga di )

Misalkan adalah barisan di . Untuk setiap , misalkan

adalah jumlah parsial ke- dari barisan tersebut. Deret

dikatakan konvergen jika

lim

ada di dan

lim .

(Rynne & Youngson 2008) Teorema 2.6.5 (Deret Neumann di )

Jika dengan , maka

taksingular dan

Bukti dapat dilihat di Rynne & Youngson (2008).

(8)

III. METODE

Karya ilmiah ini disusun melalui tiga tahap. Pertama, dilakukan studi pustaka mengenai metode Kaczmarz, kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz, serta konsep-konsep yang mendasarinya. Kedua, dilakukan implementasi algoritme untuk metode Kaczmarz dengan membuat program MATLAB secara sekuensial. Ketiga, dilakukan pengujian terhadap program MATLAB tersebut dan pengamatan terhadap kekonvergenan penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui program MATLAB tersebut.

3.1. Studi Pustaka

Studi diawali dengan mengkaji metode Kaczmarz. Literatur utama yang digunakan dalam mengkajinya adalah buku Anton dan Rorres (2005) yang berjudul “Elementary Linear Algebra”. Konsep-konsep dasar yang diperlukan untuk memahami metode Kaczmarz adalah persamaan linear, sistem persamaan linear, transpos dari suatu matriks, hasil kali skalar dari dua vektor, norm dari suatu vektor, serta rumus proyeksi ortogonal.

Studi dilanjutkan dengan mengkaji kekonvergenan penyelesaian hampiran yang diperoleh dari algoritme untuk metode Kaczmarz. Literatur utama yang digunakan adalah artikel Tanabe (1971) yang berjudul “Projection Method for Solving a Singular System of Linear Equation and Its Applications”. Selain konsep-konsep dasar yang telah disebutkan untuk memahami metode Kaczmaz, diperlukan beberapa konsep dasar tambahan pula untuk membuktikan kekonvergenan ini. Konsep-konsep tersebut adalah kekonsistenan dari suatu SPL, matriks identitas, invers dari suatu matriks, ruang vektor dan ruang bagian, transformasi matriks, kesamaan transformasi matriks, kernel dan image dari suatu transformasi matriks, norm dari suatu matriks, proyeksi vektor, ortogonalitas, ruang bagian ortogonal, komplemen ortogonal, jumlah langsung, proyeksi ortogonal pada ruang bagian, masalah kuadrat terkecil, kekonvergenan barisan vektor, kekonvergenan deret vektor takhingga, deret Neumann, serta beberapa lema dan teorema yang terkait.

Pernyataan kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz ini disajikan dalam bentuk suatu teorema. Pembuktian teorema ini

membutuhkan pernyataan (proposisi, lema, teorema, dan akibat) lain. Alur pembuktian disajikan pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1 Alur pembuktian kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz. 3.2. Implementasi

Implementasi metode Kaczmarz dilakukan menggunakan MATLAB versi R2008b yang terdapat di laboratorium komputer Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Algoritme untuk metode Kaczmarz dikonversi ke dalam bentuk program yang ditulis pada m-file.

3.3. Pengujian dan Pengamatan

Pengujian dilakukan untuk menunjukkan bahwa program MATLAB yang telah dibuat dapat berjalan dengan benar. Pengamatan dilakukan bersamaan dengan pengujian. Hal yang diamati adalah kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan melalui program MATLAB yang telah dibuat. Kekonvergenan dilihat dari norm sisaan dari penyelesaian hampiran tersebut.

Pengujian dan pengamatan dilakukan menggunakan tiga sistem persamaan linear yang matriks koefisien dan vektor konstantanya dibangkitkan dengan cara yang berbeda-beda. Pembangkitan ini dilakukan dengan menggunakan tiga program pembangkit matriks koefisien dan vektor konstanta dari suatu sistem persamaan linear yang terdapat pada “Regularization Tools: A MATLAB Package for Analysis and Solution of Discrete Ill-Posed Problems” karya Hansen (1994).

Proposisi 4.2.1 Proposisi 4.2.2 Lema 4.2.3

Akibat 4.2.4 Akibat 4.2.5 Teorema 4.2.6 Teorema 4.2.7 Teorema 4.2.8

(9)

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Algoritme untuk Metode Kaczmarz

Metode Kaczmarz merupakan salah satu metode iteratif untuk menyelesaikan SPL berbentuk

��= (1)

dengan matriks koefisien � berorde × , vektor penyelesaian � berorde × 1, dan vektor konstanta berorde × 1. Metode ini mencari suatu titik di dalam ℝ yang relatif

“dekat” dengan seluruh hiperbidang. Titik

semacam ini akan menjadi sebuah penyelesaian hampiran atas SPL.

Proses iterasi pada algoritme untuk metode Kaczmarz menghasilkan siklus proyeksi-proyeksi ortogonal yang berurutan pada hiperbidang yang dimulai dengan sebarang titik awal di ℝ . Sebelumnya, diperkenalkan terlebih dahulu notasi-notasi untuk iterasi-iterasi yang berurutan ini. Dimisalkan �_� � adalah titik yang terletak pada hiperbidang ke-� yang dihasilkan saat iterasi ke-�. Langkah-langkah atau algoritme dalam mendapatkan penyelesaian hampiran dengan metode Kaczmarz adalah sebagai berikut:

1) Pilihlah titik sebarang di ℝ dan tandai dengan �0_.

2) Untuk iterasi pertama, tetapkan �= 1 dan �01

=�0.

3) Untuk �= 1,2,…, , hitunglah �_� � =�_�− � 1+

��− ��− � 1

� 2 �.

4) Tetapkan �0 �+1 =� � .

5) Naikkan banyaknya iterasi � sebanyak satu dan kembalilah ke Langkah 3.

Titik �_� � pada langkah 3 merupakan proyeksi ortogonal dari titik �_�− � 1 pada hiperbidang _��=�_� berdasarkan Teorema 2.4.15. Algoritme ini menentukan proyeksi-proyeksi ortogonal yang berurutan dari satu hiperbidang ke hiperbidang berikutnya, mulai dari hiperbidang pertama sampai hiperbidang terakhir (dalam satu iterasi). Proyeksi akan kembali pada hiperbidang pertama setelah proyeksi pada hiperbidang terakhir dilakukan (pada iterasi sebelumnya).

Untuk iterasi ke-1, titik yang akan diproyeksikan pada hiperbidang pertama adalah titik yang merupakan penyelesaian hampiran awal, sedangkan titik yang akan

diproyeksikan pada hiperbidang ke-� (2

� ) adalah titik yang merupakan hasil proyeksi pada hiperbidang ke- � −1 pada iterasi yang sama. Untuk iterasi ke-2 dan seterusnya, titik yang akan diproyeksikan pada hiperbidang pertama adalah titik yang merupakan hasil proyeksi pada hiperbidang terakhir atau hiperbidang kepada iterasi sebelumnya, sedangkan titik yang akan diproyeksikan pada hiperbidang ke-� (2

� ) adalah titik yang merupakan hasil proyeksi pada hiperbidang ke- � −1 pada iterasi yang sama. Penyelesaian hampiran atas SPL diperoleh dari titik yang merupakan hasil proyeksi pada hiperbidang terakhir pada iterasi yang diinginkan.

Sebagai ilustrasi, proses proyeksi dalam mendapatkan penyelesaian hampiran atas SPL yang berukuran 2 × 2 berikut

1+ 2= 2

5 1− 2=−1

dengan metode Kaczmarz dapat dilihat pada Gambar 2. Penyelesaian hampiran awal yang dipilih adalah 1 0 2 0 = 2 5 .

Hiperbidang di ℝ2_{ini berupa garis lurus.} Penyelesaian hampiran yang diperoleh setelah dua iterasi terlihat semakin mendekati penyelesaian eksaknya. Dapat dilihat dengan mudah pula bahwa untuk iterasi-iterasi selanjutnya pun, penyelesaian hampiran yang diperoleh akan semakin mendekati penyelesaian eksaknya.

Gambar 2 Ilustrasi proses proyeksi di ℝ2.

1+ 2= 2

− −

5 1− 2=−1

�

(10)

4.2. Analisis Kekonvergenan

SPL pada Persamaan (1) dapat juga ditulis sebagai

� �_�₌_�

� untuk �= 1, 2,…, (2)

dengan _� adalah vektor kolom ke-� dari matriks ��, �_� adalah entri pada baris ke-� dari vektor kolom , dan diasumsikan bahwa untuk setiap �, _� > 0, dengan kata lain vektor-vektor baris dari matriks � taknol. Kemudian, dimisalkan transformasi �_� dari ℝ ke ℝ didefinisikan sebagai

�� =�+ ��− � �_�

� 2 �

(3) untuk �= 1, 2,…,

dan transformasi � dari ℝ ke ℝ didefinisikan sebagai

� �; =�1∘ �2∘ ⋯ ∘ � � (4)

=�1 �2 ⋯ � � ⋯ . Tanabe (1971) meringkas algoritme untuk metode Kaczmarz menjadi dua langkah utama. Pertama, penyelesaian hampiran awal dipilih sebarang dan dimisalkan sebagai �0_. Kedua, barisan � � ditentukan dari relasi rekurensi

� �+1

=� � � ; (5)

untuk �= 0,1,2,…

Algoritme ini lebih sederhana daripada algoritme sebelumnya, walaupun pada dasarnya sama. Hal ini ditujukan agar lebih mudah dalam membuktikan kekonvergenan algoritme untuk metode Kaczmarz. Proyeksi ortogonal yang dilakukan pada algoritme ini berbeda dengan algoritme sebelumnya karena dimulai dari hiperbidang ke- dan berakhir di hiperbidang pertama, sehingga barisan penyelesaian hampiran yang dibangun terletak pada hiperbidang 1��=�1 (hiperbidang ke-1). Hal ini tidak akan mengubah penyelesaian hampiran atas SPL yang didapatkan dengan membalikkan urutan hiperbidang.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa barisan penyelesaian hampiran yang dibangun dengan metode Kaczmarz ini konvergen. Sebelumnya, bentuk Persamaan (3) yang merupakan proyeksi ortogonal dari suatu titik ke suatu hiperbidang diubah terlebih dahulu. Selain itu, dibentuk pula persamaan-persamaan yang akan digunakan dalam membuktikan kekonvergenan barisan penyelesaian hampiran yang dibangun dengan metode Kaczmarz.

Persamaan (3) dapat dibentuk menjadi �� = ��+ ��

� 2 � (6)

untuk �= 1, 2,…,

dengan

� =� −

� 2 � �

�_. ₍₇₎

Bukti Persamaan (6) dapat dilihat pada Lampiran 2.

Kemudian dimisalkan _� = 1 2… � (�= 1, 2,…, ), 0=�, dan sebagai suatu matriks berorde × dengan vektor kolom ke-� dari adalah

� 2 �−1 �,

maka

= ��

� 2 �−1 � �=1

. (8)

Jadi, didapatkan

� �; = �+ , (9)

dengan matriks = yang berorde ×

dan matriks yang berorde × hanya bergantung pada matriks �. Bukti Persamaan (9) dapat dilihat pada Lampiran 3.

Notasi-notasi yang didefinisikan pada persamaan-persamaan tersebut akan digunakan pada proposisi, lema, akibat, dan teorema berikutnya. Pembuktian kekonvergenan barisan penyelesaian hampiran yang dibangun dengan metode Kaczmarz diawali dengan proposisi berikut.

Proposisi 4.2.1

+ �=�. Bukti:

Persamaan + �=� ekivalen dengan �=� − =� − .

Karena vektor kolom ke-� dari dan vektor baris ke-� dari � berturut-turut adalah

� 2 �−1 � dan �

�_{, maka didapatkan}

�= 1

1 2 0 1 1�+

2 2 1 2 2�+⋯

+ 1

2 −1 �

= 0

1 2 1 1�+ 1

2 2 2 2�+⋯

+ ₋1

(11)

(karena 1

� 2 merupakan skalar untuk setiap �= 1,2,…, ).

Karena 0=� dan berdasarkan Persamaan (7), maka diperoleh

�= � − 1 + 1 � − 2 +⋯

+ ₋1 � −

=� − 1+ 1− 1 2+⋯+ −1

− ₋1 .

Karena 0=� dan �−1 � = � (dari definisi), maka

�=� − 1+ 1− 2+⋯+ −1−

=� − .

Bukti lengkap. ∎

Bedasarkan Proposisi 4.2.1, diperoleh proposisi berikut.

Proposisi 4.2.2

Ker � = � ∈ ℝ | _��=�

�=1

Bukti:

Pertama, akan dibuktikan bahwa

Ker � ⊆ � ∈ ℝ | _��=�

�=1

Dimisalkan � ∈Ker � sebarang, maka ��=� atau dapat dinyatakan dengan

�

�_�_{= 0}_{untuk setiap} _�_{= 1, 2,}_…_, _{. Oleh}

karena itu, berdasarkan Persamaan (7) diperoleh

��= � −

� 2 � �

�_�

=� − 1

� 2 � �

�_�

=� − �=�

untuk setiap �= 1, 2,…, . Jadi, terbukti bahwa

Ker � ⊆ � ∈ ℝ | _��=�

�=1

Kedua, akan dibuktikan bahwa � ∈ ℝ | _��=�

�=1

⊆Ker � .

Dimisalkan

� ∈ � ∈ ℝ | _��=�

�=1

sebarang, maka _��=� untuk setiap �= 1, 2,…, , yaitu 1�=�, 2�=�, …,

�=�. Oleh karena itu, diperoleh �= 1�= 1 2�=⋯= 1 2⋯ �

→ �= �

→ � − �=�

→ � − �=�.

Karena � − = � (berdasarkan Proposisi 4.2.1), maka

��=�

→ ��=�,

sehingga diperoleh � ∈Ker � . Jadi, terbukti bahwa

� ∈ ℝ | _��=�

�=1

⊆Ker � .

Bukti lengkap. ∎

Berdasarkan Lema 2.4.4 dan Proposisi 4.2.2, diperoleh lema berikut.

Lema 4.2.3

� = � jika dan hanya jika � ∈Ker � . Bukti:

Pertama, akan dibuktikan bahwa jika � =

� maka � ∈Ker � . Hal ini sama dengan membuktikan kontrapositifnya, yakni jika � Ker � , maka � ≠ � .

Dimisalkan � ∈ ℝ sebarang sedemikian sehingga � Ker � , maka berdasarkan Proposisi 4.2.2, terdapat suatu bilangan � (1 � ) sehingga _�� ≠ �. Dimisalkan bilangan terbesar dari semua bilangan tersebut adalah �0, maka _��=� untuk setiap �>�0

yaitu untuk �=�0+ 1,…, . Oleh karena itu, diperoleh

�0 �0+1… �= �0�

→ �0 �0+1… � = �0� .

Berdasarkan Persamaan (7),

�0�= � −

�0

2 �0 �0 �_�

=� − 1

�0

2 �0 �0 �_�

=� − �0

�_� �0

2 �0

(karena _��₀� adalah skalar).

Karena _�₀� merupakan vektor � dikurangi proyeksi vektor � pada _�₀ (berdasarkan

(12)

Definisi 2.4.5) dan _�₀� ≠ �, maka _�₀� <

� .

Berdasarkan Definisi 2.4.3, maka untuk setiap �= 1, 2,…, ,

� = max _{∈ ℝ}� , ≠ � .

Karena _� saat Ker � dan

� = saat ∈Ker � , maka � =

1 untuk setiap �= 1,2,…, (artinya, setiap _� mempunyai norm satuan).

Oleh karena itu, untuk setiap �= 1,2,…,

� = 1 2… _�

1 2 … �

= 1

(berdasarkan bagian kedua dari Lema 2.4.4), sehingga diperoleh

� = _�₀₋1 �0 �0+1… �

_�₀₋1 _�₀ _�₀+1… �

< 1 �

(berdasarkan bagian pertama dari Lema 2.4.4). Jadi, terbukti bahwa � ≠ � .

Kedua, akan dibuktikan bahwa jika � ∈

Ker � maka � = � .

Dimisalkan � ∈Ker � sebarang, maka berdasarkan Proposisi 4.2.2, _��=� untuk setiap �= 1,2,…, . Oleh karena itu, diperoleh

�= 1 2… �=� → � = � .

Bukti lengkap. ∎

Berdasarkan Lema 4.2.3, diperoleh kedua akibat berikut.

Akibat 4.2.4

Akibat 4.2.5

Jika � ∈Ker � maka �=�.

Agar mempermudah beberapa penulisan tertentu, Ker � dan Im �� berturut-turut hanya akan dituliskan dengan � dan ℐ.

Berdasarkan bagian pertama dari Lema 2.4.4, Lema 2.4.8, Lema 2.4.10, Lema 2.4.12, Lema 4.2.3, Akibat 4.2.4, dan Akibat 4.2.5, diperoleh teorema berikut.

Teorema 4.2.6

1. = _�+ dengan = _ℐ. 2. < 1.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.4.14, _� adalah proyeksi ortogonal pada Ker � , dengan

��=�, ∀� ∈Ker � dan

� =�, ∀ ∈ Ker � ⊥= Im ��

(berdasarkan Lema 2.4.10).

Berdasarkan Definisi 2.4.14, _ℐ adalah proyeksi ortogonal pada Im �� dengan

ℐ = , ∀ ∈Im �� dan

ℐ�=�, ∀� ∈ Im �� ⊥= Ker �

(berdasarkan Lema 2.4.10).

Berdasarkan Lema 2.4.10, Ker � = Im �� ⊥, sehingga berdasarkan Lema 2.4.12, diperoleh Ker � ⊕Im �� =ℝ . Dimisalkan ∈ ℝ sebarang, maka dapat dituliskan secara unik sebagai =�+

dengan � ∈Ker � dan ∈Im �� . Karena = _ℐ, maka

�+ = �+ ℐ �+

= _� �+ + _ℐ �+ = _��+ _� + _ℐ�+ _ℐ =�+�+ �+

= �+�+�+ = �+ =

(berdasarkan Akibat 4.2.5).

Karena _�+ = , ∀ ∈ ℝ , maka berdasarkan Definisi 2.3.2, = _�+ . Bagian pertama terbukti.

Selanjutnya, berdasarkan Definisi 2.4.3, = max �

� � ∈ ℝ ,� ≠ � . Dimisalkan � ∈ ℝ , � ≠ � sebarang. Karena = _ℐ, maka �= _ℐ�.

Berdasarkan bagian pertama dari Lema 2.4.4, diperoleh

� = _ℐ� _ℐ� .

Karena _ℐ� � , maka

� ℐ� � → � _� � _� .

Jadi, .

Berdasarkan Akibat 4.2.4, diperoleh 1.

Karena Ker � = Im �� ⊥ (berdasarkan Lema 2.4.10), maka Ker � ⊥Im �� . Oleh karena itu, berdasarkan Lema 2.4.8,

(13)

Ker � ∩Im �� = � .

Diketahui bahwa untuk setiap vektor � ∈ ℝ , � ≠ �, berlaku _ℐ� ∈Im �� . Jika _ℐ� ∈

Ker � , maka _ℐ�=�, sehingga

� = _ℐ� = � = � = 0 < � . Jika _ℐ� Ker � , maka berdasarkan Lema 4.2.3,

� = _ℐ� < _ℐ� � . Oleh karena itu, untuk setiap vektor � ∈ ℝ , � ≠ �, berlaku � < � .

Jika = 1, maka berdasarkan definisi dari , terdapat suatu vektor �0∈ ℝ , �0≠ �, sedemikian sehingga �0 = �0 . Hal ini kontradiksi dengan hasil sebelumnya yang menyatakan bahwa untuk setiap vektor � ∈ ℝ , � ≠ �, berlaku � < � . Jadi, dapat disimpulkan bahwa < 1. Bagian kedua terbukti.

Bukti lengkap. ∎

Berdasarkan Lema 2.4.4, Lema 2.4.10, Lema 2.6.3, Proposisi 4.2.2, dan Teorema 4.2.6, diperoleh teorema berikut.

Teorema 4.2.7

Untuk setiap matriks � yang berorde ×

dengan baris-baris taknol dan vektor kolom

=� yang berorde × 1, algoritme (5) � �+1 ₌_{� �} � _;_�₌ _� � _,

�= 0,1,2,…

membangun suatu barisan � � yang konvergen ke _��0, yaitu

lim

�→∞� � = lim�→∞ �� 0

= _��0

dengan �0 _{∈ ℝ} _{adalah vektor penyelesaian} hampiran awal sebarang.

Bukti:

Berdasarkan Persamaan (5) dan (9), untuk

=� diperoleh �1

= �0

�2 ₌ _�1

= �0

= 2_�0_. Dengan cara serupa, diperoleh

�3 ₌ 3_�0 �4 ₌ 4_�0

dan seterusnya, sehingga diperoleh pola dengan bentuk

� � ₌ �_�0 ₍₁₀₎ untuk setiap � ∈ ℕ

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 4). Diketahui untuk setiap � ∈ ℝ , _�� ∈

Ker � dan untuk setiap ∈ ℝ , _ℐ ∈

Im �� .

Kemudian, berdasarkan Lema 2.4.10 dan Proposisi 4.2.2, untuk setiap � ∈Ker � dan setiap ∈Im �� berlaku

�� ₌ �_�� ₌_�� _{= 0}

sehingga ∈Im �� (berdasarkan Lema 2.4.10 juga). Karena _ℐ �−1� ∈Im ��

untuk setiap � ∈ ℝ dan setiap � ∈ ℕ serta berdasarkan bagian pertama dari Teorema 4.2.6, maka ��= �−1�= _ℐ �−1� ∈ Im �� untuk setiap � ∈ ℝ .

Berdasarkan Persamaan (5) dan (9) serta bagian pertama dari Teorema 4.2.6, untuk

=� diperoleh �1

= �0

= _�+ �0 = _��0

∈ Ker �

+ �0

∈ Im �� 2

= �1

= _�+ _��0 ∈ Ker �

+ �0 ∈ Im_��

= _{� �} �0

∈ Ker �

+ _� �0

∈ Im_��

+ _{ℐ �}�0 ∈ Ker �

+ �0 ∈ Im ��

= _��0 ∈ Ker �

+�+ �+ 2_�0 ∈ Im ��

= _��0

∈ Ker �

+ 2�0

∈ Im ��

Dengan cara serupa, diperoleh �3

= _��0

∈ Ker �

+ 3�0

∈ Im �� 4

= _��0

∈ Ker �

+ 4�0

∈ Im_��

dan seterusnya, sehingga diperoleh pola dengan bentuk

� � ₌ ��0 ∈ Ker �

+ ��0

∈ Im ��

(11) untuk setiap � ∈ ℕ

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 5). Jadi,

lim

�→∞� � = lim�→∞ �� 0

= lim

�→∞ ��

(14)

Karena _��0_{tidak bergantung pada}_�_{, maka}

lim

�→∞ ��

= _��0.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa

lim

�→∞ �_�0

=�.

yaitu ∀�> 0, ∃�0∈ ℕ sehingga ��0 ₋ � <�, untuk ∀� �0.

Dimisalkan �> 0 sebarang. Karena �> 0 dan �0 0, maka

�0

+� 0 +�

=� > 0

→0 < �

�0 ₊_� 1

→ln �

�0 ₊_� 0.

Karena < 1 (berdasarkan bagian kedua dari Teorema 4.2.6), maka ln < 0. Kemudian dipilih �0∈ ℕ sedemikian sehingga

�0>

ln �

�0 ₊�

ln 0.

Dimisalkan � ∈ ℕ sebarang sedemikian sehingga � �0, maka

� �0>

ln �

�0 ₊_�

→ �ln < ln �

�0 ₊� →ln � < ln �

�0 ₊_� → � < �

�0 ₊�.

Berdasarkan bagian kedua dari Lema 2.4.4, � ₌_⋯

� kali

⋯

� kali

= � < �

�0 ₊_� → �_�0 ₊_�_<_�_.

Berdasarkan bagian pertama dari Lema 2.4.4, �_�0�_�0

< � �0 ₊_�

<�

→ �_�0 _{− �}_<_�_.

Oleh karena itu, terbukti bahwa

lim

�→∞

�_�0 ₌_�_.

Jadi, berdasarkan Lema 2.6.3, diperoleh

lim

�→∞�

� _{= lim} �→∞

�_�0

= _��0 ₊_�

= _��0_. Bukti lengkap. ∎

Berdasarkan Lema 2.4.10, Lema 2.6.3, Teorema 2.6.5, Proposisi 4.2.2, bagian pertama dan kedua dari Teorema 4.2.6, dan Teorema 4.2.7 diperoleh teorema berikut yang menyatakan kekonvergenan barisan penyelesaian hampiran yang dibangun dengan metode Kaczmarz.

Teorema 4.2.8

Untuk setiap matriks � yang berorde ×

dengan baris-baris taknol dan setiap vektor kolom yang berorde × 1, algoritme (5)

� �+1

=� � � ; = � � + , �= 0,1,2,…

membangun suatu barisan vektor � � yang konvergen ke _��0 + , yaitu

lim

�→∞�

� ₌

��0 +

dengan �0 ∈ ℝ adalah vektor penyelesaian hampiran awal sebarang dan matriks =

� − −1 (berorde × ). Bukti:

Berdasarkan Persamaan (5) dan (9) diperoleh �1 ₌ _�0 ₊

�2 ₌ _�1 ₊

= �0 ₊ ₊

= 2_�0 ₊ ₊

= 2�0 + �

�=0

Dengan cara serupa, diperoleh �3 ₌ 3_�0 ₊ �

�=0 �4

= 4�0 + �

�=0

dan seterusnya, sehingga diperoleh pola dengan bentuk

(15)

� � ₌ �_�0 ₊ � �−1 �=0

(12) untuk setiap � ∈ ℕ

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 6). Jadi,

lim

�→∞� � = lim�→∞ �� 0

+ �

�−1 �=0

Berdasarkan Teorema 4.2.7, ��0 konvergen ke _��0, artinya

lim

�→∞ ��

= _��0,

sehingga selanjutnya tinggal dibuktikan bahwa

� �−1 �=0

konvergen ke , yaitu

lim �→∞ � �−1 �=0 = .

Karena _��= _{� �−}1… 2 1 untuk setiap �= 1,2,…, , maka untuk setiap � ∈Ker � , berlaku

�−�1�= �−1 �−2… 2 1�=� untuk setiap �= 1,2,…, (berdasarkan Proposisi 4.2.2), sehingga

��

�−1 _� = _�−�1� � � =�� = 0 untuk setiap �= 1,2,…, .

Oleh karena itu, �� 1

� 2 �−1 � =

� 2� �

�−1 � = 0. Jadi, berdasarkan Lema 2.4.10, vektor-vektor kolom

� 2 �−1 �

dari matriks merupakan anggota dari Im �� , sehingga _ℐ = .

Selanjutnya, berdasarkan Lema 2.4.10 dan Proposisi 4.2.2, untuk setiap � ∈Ker � dan

∈Im �� berlaku

�� ₌ �_�� ₌_�� _{= 0}

sehingga ∈ Im �� (berdasarkan Lema 2.4.10 juga).

Karena vektor-vektor kolom dari matriks merupakan anggota dari Im �� , maka vektor-vektor kolom dari matriks juga

merupakan anggota dari Im �� , sehingga

ℐ = .

Jadi, diperoleh �

� �=0

= 0 ₊ 1 ₊ 2 ₊_⋯₊ �

=� + _ℐ + _ℐ 2 ₊_⋯

+ _ℐ �

= 0 ₊ 1 ₊ 2 ₊_⋯₊ �

= �

� �=0

(berdasarkan bagian pertama dari Teorema 4.2.6).

Karena < 1 (berdasarkan bagian kedua dari Teorema 4.2.6), maka berdasarkan Teorema 2.6.5 diperoleh

� ∞ �=0 = � ∞ �=0

= � − −1 = , sehingga lim �→∞ � �−1 �=0 = lim �→∞ � �−1 �=0 = � ∞ �=0 =

(berdasarkan Definisi 2.6.4). Oleh karena itu,

� �−1 �=0

konvergen ke .

Jadi, berdasarkan Lema 2.6.3, terbukti bahwa � � _{konvergen ke}

��0 + ,

yaitu

lim

�→∞�

� ₌

��0 + .

Bukti lengkap. ∎

Berdasarkan Teorema 4.2.8, apabila SPL pada Persamaan (1) konsisten, maka untuk sebarang penyelesaian hampiran awal �0,

��0 + adalah penyelesaian eksaknya.

(16)

himpunan semua vektor penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL pada Persamaan (1) adalah

�, = _��0 + �0 ∈ ℝ = Ker � + .

Jadi, barisan vektor � � yang dibangun konvergen ke �, .

4.3. Hasil Komputasi

Algoritme untuk metode Kaczmarz diimplementasikan dengan membuat program MATLAB yang hasilnya terdapat pada Lampiran 7. Input dari program ini adalah matriks koefisien, vektor konstanta, dan sebarang vektor penyelesaian hampiran awal. Selain itu, terdapat input tambahan sebagai kriteria pemberhentian, yaitu banyaknya iterasi dan batas toleransi. Input tambahan ini dapat ditentukan sendiri (salah satu atau keduanya) atau disesuaikan dengan nilai default-nya. Nilai default dari banyaknya iterasi dan batas toleransi berturut-turut adalah 100 dan 10-6. Output dari program ini adalah vektor penyelesaian hampiran atas SPL. Sebagai tambahan, ditampilkan pula norm sisaan dari penyelesaian hampiran tersebut.

Pengujian dan pengamatan terhadap program MATLAB dari algoritme untuk metode Kaczmarz ini dilakukan dengan menggunakan sistem persamaan linear yang matriks koefisien dan vektor konstantanya dibangkitkan. Ada tiga jenis SPL yang digunakan. Ketiganya dibangkitkan dengan cara yang berbeda. Setiap jenis diwakili oleh satu SPL. Jadi, ada tiga SPL yang digunakan. Pembangkitan sistem persamaan linear ini menggunakan program MATLAB yang telah disediakan oleh Hansen (1994).

SPL ke-1 dibangkitkan dari masalah pemburaman gambar digital yang dimodelkan dengan fungsi pemancaran titik Gauss berikut:

ℎ , = 1

2�2exp −

2₊ 2

2�2 . Program pembangkit dengan cara ini terdapat pada Lampiran 8. Matriks koefisien yang dihasilkan adalah segi. Pembangkitan ini mempunyai batasan, yakni orde dari matriks koefisien disarankan tidak terlalu kecil dan direkomendasikan lebih besar dari atau sama dengan 256 × 256.

SPL ke-2 dibangkitkan dari diskretisasi persamaan integral Fredholm jenis pertama berikut:

� �,� � ��

−6

=� � ,−6 � 6.

Diskretisasi dilakukan dengan metode Galerkin. Calvetti dan Reichel (2002) memberikan penyelesaian , kernel �, dan ruas kanan � sebagai berikut:

� = 1 + cos

�

3� , � < 3

0, � 3

� �,� = � − �

� � = 6− � 1 +1 2cos

�

3� + 9

2�sin

�

3 � .

Program pembangkit dengan cara ini terdapat pada Lampiran 9. Matriks koefisien yang dihasilkan adalah segi. Pembangkitan ini juga mempunyai batasan, yakni orde dari matriks koefisien kelipatan dari empat, sehingga ukuran SPL yang dibangkitkannya pun kelipatan dari empat.

SPL ke-3 dibangkitkan dari masalah tomografi dua dimensi. Program pembangkit dengan cara ini terdapat pada Lampiran 10. Matriks koefisien yang dihasilkan adalah segi. Pembangkitan ini mempunyai batasan yang sama dengan pembangkitan pertama.

Tabel 1 Karakteristik SPL yang digunakan untuk pengujian dan pengamatan Karakteristik SPL ke-1 SPL ke-2 SPL ke-3

Ukuran 256 × 256 256 × 256 256 × 256

Konsisten Ya Ya Ya

Matriks koefisien sparse Ya Tidak Ya

Nilai maksimum elemen matriks

koefisien 0.3248 0.0937 1.4016

Nilai minimum elemen matriks

koefisien 0 0 0

Nilai maksimum elemen vektor

konstanta 3.2062 1.9483 34.0352

Nilai minimum elemen vektor

konstanta 0 8.1831 × 10

-11

(17)

Karakteristik dari ketiga SPL yang digunakan tersebut disajikan pada Tabel 1. Ketiga SPL tersebut mempunyai ukuran yang sama, yaitu 256 × 256. Ketiga SPL tersebut bersifat konsisten, sehingga himpunan �, = Ker � + untuk ketiga SPL mempunyai minimal satu anggota yang merupakan penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL. Penyelesaian ini juga merupakan penyelesaian eksak dari SPL.

Matriks koefisien dari SPL ke-1 dan ke-3 sparse, sedangkan matriks koefisien dari SPL ke-2 tidak sparse. Hal ini juga dapat dilihat dari pola sparsity yang diperlihatkan oleh Gambar 3, 4, dan 5. Warna biru menunjukkan elemen taknol, sedangkan warna putih menunjukkan elemen nol.

Banyaknya elemen taknol dari matriks koefisien dari SPL ke-1 ada 5 476 atau 8.36% dari banyaknya elemen. Semua elemen taknolnya adalah positif dengan nilai maksimum 0.3248. Semua elemen dari vektor konstanta dari SPL ke-1 adalah taknegatif dengan nilai minimum 0 dan nilai maksimum 3.2062.

Gambar 3 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-1.

Matriks koefisien dari SPL ke-2 mempunyai elemen taknol pada diagonal utama serta pada 64 diagonal di bawah dan 64 diagonal di atas diagonal utama. Matriks seperti ini disebut banded dengan bandwidth 129. Banyaknya elemen taknol ada 28 864 atau 44.04% dari banyaknya elemen. Semua elemen taknol adalah positif dengan nilai maksimum 0.0937. Semua elemen dari vektor konstanta dari SPL ke-2 adalah positif dengan nilai minimum 8.1831 × 10-11 dan nilai maksimum 1.9483.

Gambar 4 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-2.

Banyaknya elemen taknol dari matriks koefisien dari SPL ke-3 ada 5 409 atau 8.25% dari banyaknya elemen. Semua elemen taknolnya adalah positif dengan nilai maksimum 1.4016. Semua elemen dari vektor konstanta dari SPL ke-3 adalah taknegatif dengan nilai minimum 0 dan nilai maksimum 34.0352. Karakteristik SPL ke-3 ini mirip dengan SPL ke-1. Perbedaannya terlihat pada pola sparsity dari matriks koefisien keduanya.

Gambar 5 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-3.

Penyelesaian hampiran awal yang digunakan adalah vektor kolom nol. Penyelesaian hampiran awal seperti ini menyebabkan norm sisaan awal yang berbeda-beda untuk ketiga SPL (dapat dilihat pada Lampiran 11).

Pengamatan terhadap kekonvergenan dilakukan dengan melihat norm sisaan dari penyelesaian hampiran atas ketiga SPL pada iterasi ke-0 sampai iterasi ke-30. Hasilnya diperlihatkan oleh Gambar 6, 7, dan 8. Selain itu, dapat juga dilihat pada Lampiran 11.

(18)

Gambar 6 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-1.

Gambar 7 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-2.

(19)

Pengamatan terhadap kekonvergenan memperlihatkan hasil yang sesuai dengan analisis pada subbab sebelumnya. Hasil menunjukkan bahwa untuk ketiga SPL yang digunakan, algoritme untuk metode Kaczmarz membangun barisan penyelesaian hampiran atas SPL yang konvergen. Hasil ini dapat dilihat dari norm sisaan yang semakin mengecil menuju nol. Norm sisaan yang semakin mendekati nol ini mempunyai arti bahwa penyelesaian hampiran yang dihasilkan semakin mendekati penyelesaian eksaknya.

Norm sisaan untuk ketiga SPL menurun dengan laju yang cukup cepat sebelum iterasi

ke-10. Setelah itu, laju penurunannya melambat. Perlambatan ini juga dapat diamati dari peningkatan yang sangat tajam dari banyaknya iterasi yang diperlukan untuk memperoleh norm sisaan yang semakin kecil. Agar diperoleh norm sisaan yang lebih kecil dari atau sama dengan 10-1 untuk SPL ke-1 sampai ke-3, diperlukan berturut-turut 22, 10, dan 1 249 iterasi. Kemudian, agar diperoleh norm sisaan yang lebih kecil dari atau sama dengan 10-2 untuk SPL ke-1 sampai ke-3, diperlukan berturut-turut 122, 68, dan 50 771 iterasi.

(20)

V. SIMPULAN DAN SARAN

5.1. Simpulan

Metode Kaczmarz merupakan metode iteratif untuk mendapatkan penyelesaian hampiran atas sistem persamaan linear. Proyeksi ortogonal digunakan dalam algoritme untuk metode ini. Proyeksi ortogonal dilakukan berurutan pada semua hiperbidang hingga didapatkan penyelesaian hampiran yang mempunyai norm sisaan sekecil yang diinginkan.

Barisan penyelesaian hampiran atas sistem persamaan linear yang dibangun oleh algoritme untuk Metode Kaczmarz telah dibuktikan konvergen, apapun penyelesaian hampiran awal yang digunakan. Penyelesaian hampiran atas sistem persamaan linear ini konvergen ke penyelesaian kuadrat terkecil dari sistem persamaan linear tersebut. Apabila sistem persamaan linear tersebut konsisten, maka penyelesaian kuadrat terkecilnya juga merupakan penyelesaian eksaknya.

Program MATLAB dari algoritme untuk metode Kaczmarz telah berhasil dibuat. Program ini berjalan dengan benar sesuai dengan algoritmenya. Pengamatan terhadap kekonvergenan barisan penyelesaian hampiran atas sistem persamaan linear yang dibangun melalui program tersebut dilakukan dengan menggunakan tiga sistem persamaan linear

yang dibangkitkan. Barisan penyelesaian hampiran atas ketiga sistem persamaan linear tersebut konvergen dengan melihat norm sisaan yang semakin mengecil menuju nol.

5.2. Saran

Penelitian ini masih dapat dilanjutkan. Ada beberapa hal yang dapat dilakukan, yaitu menentukan orde galat dari penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz, membuat program paralel dari algoritme untuk metode Kaczmarz, dan membandingkan metode Kaczmarz dengan metode iteratif (untuk menyelesaikan sistem persamaan linear) lain seperti metode Conjugate Gradient dalam hal banyaknya iterasi dan waktu eksekusi yang diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian hampiran dengan tingkat kesalahan tertentu. Kemudian, dapat pula dipelajari metode-metode yang telah dikembangkan dari metode Kaczmarz, seperti metode Kaczmarz acak dengan kekonvergenan eksponensial, metode Kaczmarz terboboti, metode Kaczmarz yang diperluas dengan proyeksi taklangsung, dan metode Kaczmarz yang diperluas dengan parameter-parameter relaksasi. Selain itu, metode-metode tersebut dapat pula dibandingkan.

(21)

METODE KACZMARZ UNTUK MENYELESAIKAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

RUHIYAT

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(22)

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, Rorres C. 2005. Elementary Linear

Algebra. Ed ke-9. New Jersey: J Wiley.

Calvetti D, Reichel L. 2002. Tikhonov Regularization of Large Linear Problems. BIT 43: 15-16.

Deskins W E. 1964. Abstract Algebra. New York: Dover Publications.

Hansen PC. 1994. Regularization Tools: A MATLAB Package for Analysis and Solution of Discrete Ill-posed Problems. Numerical Algorithms 6: 1-35.

Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey: Prentice Hall.

Rynne BP, Youngson MA. 2008. Linear Functional Analysis. Ed ke-2. London: Springer.

Tanabe K. 1971. Projection Method for Solving a Singular System of Linear Equation and Its Applications. Numer Math 17: 203-214.

(23)

METODE KACZMARZ UNTUK MENYELESAIKAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

RUHIYAT

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(24)

ABSTRAK

RUHIYAT. Metode Kaczmarz untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan TEDUH WULANDARI.

Kata kunci: sistem persamaan linear, metode Kaczmarz, proyeksi ortogonal, penyelesaian hampiran, konvergen.

(25)

ABSTRACT

RUHIYAT. Kaczmarz Method for Solving System of Linear Equations. Under supervision of SRI NURDIATI and TEDUH WULANDARI.

Keywords: system of linear equations, Kaczmarz method, orthogonal projection, approximate solution, convergent.

(26)

METODE KACZMARZ UNTUK MENYELESAIKAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

RUHIYAT

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(27)

Judul Skripsi : Metode Kaczmarz untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan

Linear

Nama

: Ruhiyat

NIM

: G54070005

Disetujui

Pembimbing I

Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc

NIP. 19601126 198601 2 001

Pembimbing II

Teduh Wulandari M

as’oed

, M.Si

NIP. 19740915 199903 2 001

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

(28)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Metode Kaczmarz untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc selaku dosen pembimbing I dan Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Drs. Agah Drajat Garnadi, Grad Dipl Sc dan Mochamad Tito Julianto, S.Si, M.Kom yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Maret 2011

(29)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 3 Maret 1989 dari bapak Kasmin dan ibu Jumi. Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Cibungbulang dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Statistika Terapan, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1), Pengantar Metode Komputasi (S1), dan Metode Komputasi (S2) pada semester ganjil tahun akademik 2009-2010, asisten mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (S1) pada semester genap tahun akademik 2009-2010, serta asisten mata kuliah Pemodelan Matematika (S1) pada semester genap tahun akademik 2010-2011. Pada tahun 2010 penulis meraih medali perunggu (juara 3) pada kegiatan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA PT) 2010 bidang Matematika yang diselenggarakan oleh DIKTI, mendapatkan dana untuk Program Kreativitas Mahasiswa bidang Penelitian (PKMP) dari DIKTI, serta menjadi mahasiswa berprestasi Departemen Matematika. Penulis mendapatkan beasiswa dari Persatuan Orang Tua Mahasiswa (POM) IPB pada semester genap tahun akademik 2007-2008 dan Tanoto Foundation pada semester ganjil tahun akademik 2008-2009 sampai semester genap tahun akademik 2010-2011.

Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai Wakil Sekretaris Umum Badan Eksekutif Mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama Institut Pertanian Bogor (Kabinet Oryza) dan Staf Departemen Pendidikan Politik dan Kajian Strategi Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor (Kabinet Ksatria Pembaharu).

(30)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii DAFTAR LAMPIRAN ... viii I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 1.3 Ruang Lingkup ... 1 II TINJAUAN PUSTAKA ... 2 2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks ... 2 2.2 Ruang Vektor ... 3 2.3 Transformasi Linear ... 3 2.4 Ortogonalitas ... 3 2.5 Masalah Kuadrat Terkecil ... 5 2.6 Barisan dan Deret ... 5 III METODE ... 6 3.1 Studi Pustaka ... 6 3.2 Implementasi ... 6 3.3 Pengujian dan Pengamatan ... 6 IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 7 4.1 Algoritme untuk Metode Kaczmarz ... 7 4.2 Analisis Kekonvergenan ... 8 4.3 Hasil Komputasi ... 14 V SIMPULAN DAN SARAN ... 18 5.1 Simpulan ... 18 5.2 Saran ... 18 DAFTAR PUSTAKA ... 19 LAMPIRAN ... 20

(31)

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Alur pembuktian kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh

metode Kaczmarz ... 6 2 Ilustrasi proses proyeksi di ℝ2_{... 7} 3 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-1 ... 15 4 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-2 ... 15 5 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-3 ... 15 6 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-1 ... 16 7 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-2 ... 16 8 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-3 ... 16

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Pembuktian Teorema 2.4.15 (Rumus Proyeksi Ortogonal) ... 21 2 Pembuktian Persamaan (6) ... 22 3 Pembuktian Persamaan (9) ... 23 4 Pembuktian Persamaan (10) ... 24 5 Pembuktian Persamaan (11) ... 25 6 Pembuktian Persamaan (12) ... 26 7 Program MATLAB dari algoritme untuk metode Kaczmarz ... 27 8 Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta dari

SPL ke-1 ... 30 9 Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta dari

SPL ke-2 ... 32 10 Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta dari

SPL ke-3 ... 33 11 Norm sisaan dari penyelesaian hampiran atas ketiga SPL yang digunakan yang

(32)

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Metode ini mempunyai peranan penting terhadap perkembangan teknologi computed tomography yang sangat berguna bagi dunia

1.2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

1. Menjelaskan algoritme untuk metode Kaczmarz.

2. Menganalisis (mengonstruksi ulang bukti) kekonvergenan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode Kaczmarz. 3. Mengimplementasikan algoritme untuk

1.3. Ruang Lingkup

(33)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Definisi 2.1.1 (Persamaan Linear)

Suatu persamaan linear dalam variabel adalah persamaan dengan bentuk

dengan , , …, , dan adalah bilangan-bilangan real dan , , …, adalah variabel.

(Leon 1998) Persamaan linear tersebut disebut sebagai hiperbidang pada ruang Euclid berdimensi ,

(Anton & Rorres 2005) Definisi 2.1.2 (Sistem Persamaan Linear)

Suatu sistem persamaan linear (SPL) dari persamaan dalam variabel adalah suatu sistem berbentuk

dengan dan ( , )

adalah bilangan-bilangan real dan , , …, adalah variabel. SPL tersebut disebut sebagai SPL berukuran .

Penyelesaian SPL berukuran adalah sebuah vektor kolom berorde , yaitu

yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut sebagai vektor penyelesaian.

(Leon 1998)

SPL berukuran tersebut dapat

ditulis dalam bentuk

, , , … ,

dengan vektor-vektor kolom dan (masing-masing berorde ) adalah

, , , , … , .

(Anton & Rorres 2005)

Selain itu, SPL berukuran tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk

dengan matriks dan vektor kolom (masing-masing berturut-turut berorde dan ) adalah

Matriks disebut sebagai matriks koefisien, sedangkan vektor kolom disebut sebagai vektor konstanta.

(Leon 1998) Definisi 2.1.3 (Kekonsistenan dari Suatu SPL)

Suatu SPL dikatakan konsisten jika mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dikatakan takkonsisten.

(Leon 1998) Definisi 2.1.4 (Matriks Identitas)

Matriks identitas adalah matriks yang berorde , dengan

, , , .

(Leon 1998) Definisi 2.1.5 (Invers dari Suatu Matriks)

Suatu matriks yang berorde dikatakan taksingular jika terdapat matriks

sehingga . Matriks dikatakan

invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan .

(Leon 1998) Definisi 2.1.6 (Transpos dari Suatu Matriks)

Transpos dari suatu matriks yang berorde adalah matriks yang berorde yang didefinisikan oleh

(34)

untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh .

(Leon 1998) 2.2. Ruang Vektor

Ruang Vektor Euclid

Ruang vektor Euclid dapat dipandang sebagai himpunan semua vektor yang berorde dengan entri-entrinya berupa bilangan real.

(Leon 1998) Ruang Vektor

Ruang vektor dapat dipandang

sebagai himpunan semua matriks yang berorde dengan entri-entrinya berupa bilangan real.

(Leon 1998) Definisi 2.2.1 (Ruang Bagian dari )

Jika adalah suatu himpunan bagian takkosong dari ruang vektor dan memenuhi

1. , , dan

2. , , ,

maka dikatakan suatu ruang bagian dari . (Leon 1998) 2.3. Transformasi Linear

Definisi 2.3.1 (Transformasi Linear dari ke )

Jika adalah suatu matriks yang berorde , maka suatu transformasi linear dari ke dapat dinyatakan sebagai

untuk setiap . Oleh karena itu, setiap

matriks yang berorde dapat

dipandang sebagai transformasi linear dari ke .

(Leon 1998) Transformasi linear juga dapat disebut dengan transformasi matriks .

(Anton & Rorres 2005) Definisi 2.3.2 (Kesamaan Transformasi Matriks)

Misalkan dan adalah transformasi-transformasi matriks dari ke . dan

dikatakan sama (dinotasikan dengan ) jika

untuk setiap .

(Deskins 1964) Definisi 2.3.3 (Kernel dari Suatu Transformasi Matriks)

Misalkan adalah suatu transformasi matriks dari ke . Kernel (ruang nol) dari transformasi matriks dilambangkan dengan Ker dan didefinisikan oleh

Ker | .

(Leon 1998) Definisi 2.3.4 (Image dari Suatu Transformasi Matriks)

Misalkan adalah suatu transformasi

matriks dari ke . Image dari

transformasi matriks dilambangkan dengan

Im dan didefinisikan oleh

Im | .

(Leon 1998) 2.4. Ortogonalitas

Definisi 2.4.1 (Hasil Kali Skalar di )

Misalkan , dengan

, ,

maka hasil kali skalar dari dan adalah

(Leon 1998) Definisi 2.4.2 (Norm dari Suatu Vektor di

)

Misalkan dengan

maka norm dari vektor di adalah

(35)

Definisi 2.4.3 (Norm dari Suatu Matriks di )

Norm dari suatu matriks yang berorde dapat didefinisikan sebagai

max , .

(Leon 1998) Lema 2.4.4

Norm vektor pada Definisi 2.4.2 dan norm matriks pada Definisi 2.4.3 memenuhi

1. , ,

dan

2. , ,

Bukti dapat dilihat di Leon (1998). Definisi 2.4.5 (Proyeksi vektor di )

Misalkan , dan . Proyeksi

vektor pada adalah vektor

(Leon 1998) Definisi 2.4.6 (Ortogonalitas di )

Vektor-vektor dan disebut ortogonal

jika .

(Leon 1998) Definisi 2.4.7 (Ruang Bagian Ortogonal)

Dua ruang bagian dan dari disebut ortogonal jika untuk setiap dan setiap

, . Jika dan ortogonal, maka ditulis

(Leon 1998) Lema 2.4.8

Jika dan adalah dua ruang bagian dari yang ortogonal, maka

Bukti dapat dilihat di Leon (1998). Definisi 2.4.9 (Komplemen Ortogonal)

Misalkan adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di yang ortogonal dengan setiap vektor di dinotasikan dengan , yaitu

| , .

Himpunan disebut komplemen ortogonal dari .

(Leon 1998) Lema 2.4.10

Jika adalah suatu matriks berorde , maka

Ker Im .

Bukti dapat dilihat di Leon (1998). Definisi 2.4.11 (Jumlah Langsung)

Jika dan adalah ruang-ruang bagian dari dan setiap dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dengan dan , maka dikatakan jumlah langsung dari dan , serta dinotasikan dengan

(Leon 1998) Lema 2.4.12

Jika adalah suatu ruang bagian dari , maka

Bukti dapat dilihat di Leon (1998).

Definisi 2.4.13 (Proyeksi Ortogonal di ) Suatu proyeksi ortogonal di adalah suatu transformasi matriks dari ke sedemikian sehingga

(Rynne & Youngson 2008) Definisi 2.4.14 (Proyeksi Ortogonal pada Ruang Bagian)

Misalkan adalah ruang bagian dari . Proyeksi ortogonal pada ruang bagian di dinotasikan dengan yang memenuhi

, dan , .

(Rynne & Youngson 2008) Teorema 2.4.15 (Rumus Proyeksi Ortogonal)

Misalkan suatu hiperbidang di mempunyai persamaan dan misalkan

adalah sebarang titik di , maka proyeksi ortogonal, , dari terhadap hiperbidang tersebut dinyatakan dengan

(36)

(Anton & Rorres 2005) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.5. Masalah Kuadrat Terkecil

Misalkan adalah SPL yang

berukuran . Untuk setiap ,

didefinisikan sisaan sebagai

Norm sisaan diberikan oleh

Penyelesaian dari SPL dapat

dihampiri dengan suatu vektor .

Vektor seperti ini disebut dengan penyelesaian hampiran. Salah satu cara untuk mendapatkan penyelesaian hampiran adalah dengan mencari suatu vektor sehingga norm sisaan

minimum, yakni minimum.

Meminimumkan sama dengan

meminimumkan . Masalah ini disebut dengan masalah kuadrat terkecil. Suatu vektor yang menyelesaikan masalah ini disebut dengan suatu penyelesaian kuadrat terkecil

atas SPL .

(Leon 1998) Selanjutnya, himpunan semua vektor penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL

dinotasikan dengan , . 2.6. Barisan dan Deret

Definisi 2.6.1 (Barisan di )

Barisan di adalah suatu fungsi dari

ke . Misalkan adalah suatu

barisan di dengan

, .

Barisan biasa dilambangkan dengan

(Rynne & Youngson 2008) Definisi 2.6.2 (Kekonvergenan Barisan di

)

Misalkan adalah barisan di . Barisan disebut konvergen ke

jika , sehingga

, untuk dan dinotasikan sebagai

lim .

(Rynne & Youngson 2008) Lema 2.6.3

Jika dan adalah

barisan-barisan di sedemikian sehingga berturut-turut konvergen ke dan , yaitu

lim ,

dan

lim ,

maka barisan di dan

konvergen ke , yaitu

lim .

Bukti dapat dilihat di Rynne & Youngson (2008).

Definisi 2.6.4 (Kekonvergenan Deret Takhingga di )

Misalkan adalah barisan di . Untuk setiap , misalkan

adalah jumlah parsial ke- dari barisan tersebut. Deret

dikatakan konvergen jika

lim

ada di dan

lim .

(Rynne & Youngson 2008) Teorema 2.6.5 (Deret Neumann di )

Jika dengan , maka

taksingular dan

Bukti dapat dilihat di Rynne & Youngson (2008).

(1)

Lampiran 8

Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta

dari SPL ke-1

Fungsi blur

function [A,b] = blur(N,band,sigma)

%--- % Masalah uji BLUR: Memburamkan gambar digital.

% Matriks A adalah matriks simetrik berukuran (N^2)x(N^2), matriks Toeplitz blok % ganda yang memodelkan pemburaman suatu gambar berukuran NxN dengan suatu fungsi % pemancaran titik Gauss. Ini disimpan dalam format matriks sparse.

% Pada setiap blok Toeplitz, hanya elemen-elemen matriks dalam suatu jarak band-1 % dari diagonal yang merupakan taknol (band adalah setengah bandwidth). Jika band % tidak dirinci, digunakan band = 3.

% Parameter sigma mengontrol lebar dari fungsi pemancaran titik Gauss dan % akibatnya jumlah pemulusan. Jika sigma tidak dirinci, digunakan sigma = 0.7. %

% Vektor x adalah suatu versi kolom yang ditumpuk dari suatu gambar uji sederhana, % sedangkan vektor b adalah suatu versi kolom yang ditumpuk dari gambar yang % diburamkan, yaitu b = A*x.

%--- % Inisialisasi

if (nargin < 2) band = 3; end

band = min(band,N); if (nargin < 3) sigma = 0.7; end

% Mengonstruksi matriks koefisien A

z = [exp(-([0:band-1].^2)/(2*sigma^2)),zeros(1,N-band)]; A = toeplitz(z);

A = sparse(A);

A = (1/(2*pi*sigma^2))*kron(A,A);

% Mengonstruksi vektor konstanta b x = zeros(N,N);

N2 = round(N/2); N3 = round(N/3); N6 = round(N/6); N12 = round(N/12); T = zeros(N6,N3); for i = 1:N6 for j = 1:N3

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 1) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T]; T = [flipud(T);T];

x(2+[1:2*N6],N3-1+[1:2*N3]) = T; T = zeros(N6,N3);

for i = 1:N6 for j = 1:N3

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 0.6) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T]; T = [flipud(T);T];

(2)

Lampiran 8

(lanjutan)

f = find(x==3);

x(f) = 2*ones(size(f));

T = triu(ones(N3,N3)); [mT,nT] = size(T);

x(N3+N12+[1:nT],1+[1:mT]) = 3*T;

T = zeros(2*N6+1,2*N6+1); [mT,nT] = size(T);

T(N6+1,1:nT) = ones(1,nT); T(1:mT,N6+1) = ones(mT,1);

x(N2+N12+[1:mT],N2+[1:nT]) = 4*T;

x = reshape(x(1:N,1:N),N^2,1);

b = A*x;

(3)

Lampiran 9

Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta

dari SPL ke-2

Fungsi phillips

function [A,b] = phillips(n)

%--- % Diskretisasi persamaan Fredholm jenis pertama ditemukan oleh D. L. Phillips. % Didefinisikan fungsi

% phi(x) = | 1 + cos(x*pi/3) , |x| < 3 . % | 0 , |x| >= 3

% maka kernel K, penyelesaian f, dan ruas kanan g diberikan oleh: % K(s,t) = phi(s-t) ,

% f(t) = phi(t) ,

% g(s) = (6-|s|)*(1+.5*cos(s*pi/3)) + 9/(2*pi)*sin(|s|*pi/3) . % Interval integrasi adalah [-6,6].

% Didiskretisasi dengan metode Galerkin. %

% Input : n harus kelipatan 4.

%--- % Cek input

if (rem(n,4)~=0)

error('n harus kelipatan 4'); end

% Mengonstruksi matriks koefisien A h = 12/n;

n4 = n/4; r1 = zeros(1,n);

c = cos((-1:n4)*4*pi/n);

r1(1:n4) = h + 9/(h*pi^2)*(2*c(2:n4+1) - c(1:n4) - c(3:n4+2)); r1(n4+1) = h/2 + 9/(h*pi^2)*(cos(4*pi/n)-1);

A = toeplitz(r1);

% Mengonstruksi vektor konstanta b b = zeros(n,1); c = pi/3;

for i = n/2+1:n

t1 = -6 + i*h; t2 = t1 - h; b(i) = t1*(6-abs(t1)/2) ...

+ ((3-abs(t1)/2)*sin(c*t1) - 2/c*(cos(c*t1) - 1))/c ... - t2*(6-abs(t2)/2) ...

- ((3-abs(t2)/2)*sin(c*t2) - 2/c*(cos(c*t2) - 1))/c; b(n-i+1) = b(i);

end

b = b/sqrt(h);

(4)

Lampiran 10

Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta

dari SPL ke-3

Fungsi tomo

function [A,b,x] = tomo(N,f)

%--- % TOMO: Membuat suatu masalah uji tomografi 2D

% Fungsi ini membuat suatu masalah uji tomografi dua dimensi sederhana. Suatu % domain 2D [0,N]x[0,N] dibagi ke dalam N^2 sel dengan ukuran satuan dan sejumlah % round(f*N^2) sinar pada arah acak yang menembus domain ini. Nilai default % adalah f=1.

% Setiap sel bersesuaian dengan suatu nilai dalam vektor x dan setiap sinar % bersesuaian dengan elemen dalam vektor konstanta b, yaitu

% sum_{cells in ray} x_{cell j} * length_{cell j} % dengan length_{cell j} adalah panjang sinar pada sel ke-j. %

% Matriks A adalah sparse, dan setiap baris (bersesuaian dengan suatu sinar) % memegang nilai length_{cell j} pada posisi ke-j. Oleh karena itu:

% b = A*x .

% Apabila suatu penyelesaian x_reg telah dihitung, ini dapat divisualisasikan % dengan mengartikan imagesc(reshape(x_reg,N,N)).

% Penyelesaian eksak, reshape(x,N,N), identik dengan gambar eksak pada fungsi % blur.

%--- % Nilai default

if nargin==1 f = 1; end

% Mengonstruksi matriks koefisien A

A = spalloc(N,N,2*N);

x = (0:N)'; y = x;

for i = 1:round(f*N^2)

x0 = N*rand; x1 = N*rand; y0 = N*rand; y1 = N*rand;

a = (y1-y0)/(x1-x0); b = y0 - a*x0;

yp = a*x + b; xp = (y - b)/a; xp = [x;xp]; yp = [yp;y]; [xp,I] = sort(xp); yp = yp(I);

I = find(xp >= 0 & xp <= N & yp >= 0 & yp <= N); xp = xp(I);

yp = yp(I);

I = find(diff(xp)==0); xp(I) = [];

yp(I) = [];

d = sqrt( diff(xp).^2 + diff(yp).^2 );

xm = 0.5*(xp(1:end-1)+xp(2:end)); ym = 0.5*(yp(1:end-1)+yp(2:end)); j = ( floor(xm) )*N + floor(ym) + 1;

A(i,j) = d';

(5)

Lampiran 10

(lanjutan)

x = zeros(N,N); N2 = round(N/2); N3= round(N/3); N6 = round(N/6); N12 = round(N/12);

T = zeros(N6,N3); for i = 1:N6 for j = 1:N3

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 1) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T]; T = [flipud(T);T];

x(2+(1:2*N6),N3-1+(1:2*N3)) = T;

T = zeros(N6,N3); for i = 1:N6 for j = 1:N3

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 0.6) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T]; T = [flipud(T);T];

x(N6+(1:2*N6),N3-1+(1:2*N3)) = x(N6+(1:2*N6),N3-1+(1:2*N3)) + 2*T;

f = find(x==3);

x(f) = 2*ones(size(f));

T = triu(ones(N3,N3)); [mT,nT] = size(T);

x(N3+N12+(1:nT),1+(1:mT)) = 3*T;

T = zeros(2*N6+1,2*N6+1); [mT,nT] = size(T);

T(N6+1,1:nT) = ones(1,nT); T(1:mT,N6+1) = ones(mT,1);

x(N2+N12+(1:mT),N2+(1:nT)) = 4*T;

x = reshape(x(1:N,1:N),N^2,1);

% Mengonstruksi vektor konstanta b b = A*x;

end

(6)