Sistem Persamaan Diferensial Linear Titik Tetap Pelinearan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Analisis Kestabilan Titik Tetap

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut + � � = � 1 dengan �� dan � adalah fungsi dari waktu �. Bila �� adalah suatu matriks � x � dengan koefisien konstan dan � dinyatakan sebagai vektor konstan , maka akan diperoleh bentuk sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut � �� ≡ = � + , 0 = 2 Farlow 1994

2.2 Titik Tetap

Diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut = � 1 , 2 , … , 1 , 2 , … R � 3 suatu titik yang memenuhi � ∗ = 0 disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem. Verhulst 1990

2.3 Pelinearan

Diketahui = � , = , 4 Andaikan ∗ , ∗ adalah titik tetap pada persamaan 4, maka � ∗ , ∗ = 0 dan ∗ , ∗ = 0 Misalkan, = − ∗ dan = − ∗ , maka didapatkan = = � ∗ + , ∗ + = � ∗ , ∗ + � + � + � � , � , = � + � + � � , � , = = ∗ + , ∗ + = ∗ , ∗ + � + + � � , � , = � + + � � , � , Dalam bentuk matriks, = � � � � � � � � + � � + � + . Matriks � = � � ∗ , ∗ disebut matriks Jacobi pada titik tetap ∗ , ∗ . Karena � � , � , → �, maka dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan linear = � � 5 Strogatz 1994

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

� adalah matriks � x �, maka suatu vektor taknol di dalam R � disebut vektor eigen dari � jika untuk suatu skalar � berlaku � = � 6 Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen �. Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran � x �, maka persamaan 6 dapat ditulis kembali sebagai berikut : � − �I = 0 7 dengan I adalah matriks identitas. Persamaan 7 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika, � � � − �� = � − �I = 0 8 Persamaan 8 disebut persamaan karakteristik dari matriks �. Anton 1995

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Diberikan sistem persamaan diferensial sembarang = � , R � 9 Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks �. Penentuan kestabilan titik tetap diperoleh dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu � dengan = 1,2,3, . . , � yang diperoleh dari � � � − �I = 0. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut : 1. Stabil, jika  Setiap nilai eigen real bernilai negatif � 0 untuk semua ,  Setiap bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai lebih kecil atau sama dengan nol � 0 untuk semua . 2. Tak stabil, jika  Setiap nilai eigen real bernilai positif � 0 untuk semua ,  Setiap bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai lebih besar atau sama dengan nol � ≥ 0 untuk semua . 3. Sadel, jika perkalian dari kedua nilai eigen real sembarang adalah negatif � , � � 0 untuk semua dan � sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil. Tu 1994 Misalkan diberikan matriks � berukuran 2 2 sebagai berikut � = � � dengan persamaan karakteristik � �� − �I = 0 dan I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya menjadi � � � − � � − � = 0 sedemikian sehingga diperoleh persamaan: � 2 − �� + Δ = 0 dimana, � = ��� � = � + � = � 1 + � 2 Δ = � � � = �� − = � 1 � 2 Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks �, yaitu: � 1,2 = �± � 2 −4Δ 2 Terdapat tiga kasus untuk nilai Δ:  Kasus Δ 0. Jika nilai eigen real berbeda tanda � 1 0, � 2 0, maka titik tetap bersifat “sadel”.  Kasus ∆ 0.  � 2 − 4Δ 0.  Jika � 0 dan kedua nilai eigen real bernilai positif � 1 0, � 2 0, maka titik tetap bersifat “simpul tidak stabil”.  Jika � 0 dan kedua nilai eigen real bernilai negatif � 1 0, � 2 0, maka titik tetap bersifat “simpul stabil”.  � 2 − 4Δ 0.  Jika � 0 dan kedua nilai eigen imajiner � 1,2 = ± �, maka titik tetap bersifat “spiral tidak stabil”.  Jika � 0 dan kedua nilai eigen imajiner � 1,2 = ± �, maka titik tetap bersifat “spiral stabil”.  Jika � = 0 dan kedua nilai eigen imajiner murni � 1,2 = ± �, maka titik tetap bersifat “center”.  � 2 − 4∆= 0.  Parabola � 2 − 4∆= 0 adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star nodes dan degenerate nodes yang terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen bernilai sama, maka titik tetap tersebut bersifat “simpul sejati”.  Kasus ∆= 0. Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik asal bersifat “titik tetap tak terisolasi”. Strogatz 1994 Gambar jenis-jenis kestabilan titik tetap seperti yang dijelaskan di atas dapat dilihat dalam Gambar 1. Simpul Stabil Simpul Tak Stabil Sadel Spiral Tak Stabil Simpul Terisolasi Spiral Stabil Simpul Sejati Center Gambar 1 Jenis Kestabilan Titik Tetap III PEMODELAN

3.1 Model Mangsa-Pemangsa