Analisis Model 2 Simulation on Prey-Predator System with Predators Present Only in the Unreserved Area

Pada saat kondisi � 2 � , � 2 = � , dan � 2 � nilai parameter yang digunakan akan menghasilkan nilai eigen � 1 0, � 2 0 dan � 3 0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap untuk 1 pada ketiga kondisi tersebut bersifat sadel.  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 2 ∗ , ∗ , ∗ Kestabilan titik tetap 2 diperoleh dengan mengamati nilai eigen dari matriks � 3 , yaitu � 3 + � 1 � 2 + � 2 � + � 3 = 0 dengan nilai � 1 , � 2 , � 3 terdapat pada Lampiran 2. Kemudian bentuk dari nilai eigen tersebut akan diberikan nilai parameter untuk dapat ditentukan jenis kestabilan dari titik tetap 2 . bukti dapat dilihat pada Lampiran 2 Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada ketiga titik tetap yang terdapat pada model 1, dapat dilihat pada Tabel 1. Titik Tetap Kasus � 2 � � 2 = � � 2 � Sadel Sadel Sadel 1 Sadel Sadel Sadel 2 Stabil Stabil Spiral Stabil Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap

4.2 Analisis Model 2

Titik tetap pada model persamaan 3.3 diperoleh dengan menentukan � �� = 0, � �� = 0, dan � �� = 0, sehingga dari model persamaan 3.3 diperoleh empat titik tetap non-negatif, yaitu 0,0,0 , 1 0,0, , 2 , ,0 = , 1 σ 2 , 0 , dan 3 ∗ , ∗ , ∗ = ∗ , 1 σ 2 , � � + � 2 ∗ dengan = r 2 K − r − σ 1 x = � + � 1 � 2 � ∗ 2 − � − σ 1 − � 1 ∗ bukti dapat dilihat pada Lampiran 3 Selanjutnya akan dianalisis kestabilan titik tetap yang terdapat pada model persamaan 3.3. Untuk itu, persamaan 3.3 akan dilinearkan ke dalam bentuk = � , dengan = , , dan � merupakan matriks Jacobi yang dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetap yang telah diperoleh pada persamaan ini. � = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � = ℎ � 2 −� 1 � 1 − 2 − � 2 � 2 � − 2 � + � 2 4.2 dengan ℎ = � − 2 � − � 1 − � 1 dimana , , merupakan suatu koordinat titik tetap. Titik tetap yang telah diperoleh dari model persamaan 3.3, yaitu , 1 , 2 , dan 3 disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi di atas, sehingga akan diperoleh matriks Jacobi dari setiap titik tetap sebagai berikut : 1 0,0,0 = � − � 1 � 2 � 1 − � 2 � 2 0,0, = � − � 1 − � 1 � 2 � 1 − � 2 � 2 −� 3 , ,0 = � − 2 � − � 1 � 2 −� 1 � 1 − 2 − � 2 � + � 2 4 ∗ , ∗ , ∗ = � 2 −� 1 ∗ � 1 − 2 ∗ − � 2 � 2 ∗ � dengan = � − 2 � ∗ − � 1 − � 1 ∗ � = � − 2 � ∗ + � 2 ∗  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 0,0,0 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik � − �� = 0, sehingga akan diperoleh nilai eigen dari matriks , yaitu � 1 = � � 2 = − � 2 + � 1 − −� + � 2 + � 1 − −� 2 −4 1 � −�� 2 −� 1 2 � 3 = − � 2 + � 1 − −� − � 2 + � 1 − −� 2 −4 1 � −�� 2 −� 1 2 Karena semua parameter bernilai positif dan nilai parameter � � 1 dan � 2 , maka � 1 0, � 2 0, dan � 3 0. Dengan demikian menurut jenis kestabilannya titik tetap bersifat tak stabil.  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 1 0,0, Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik � − �� = 0, sehingga akan diperoleh nilai eigen dari matriks 1 , yaitu � 1 = −� � 2 = − + 2 −4 2 � 3 = − − 2 −4 2 dengan = � 1 + � 2 + � 1 − − � = � 1 � 2 − � 1 + � − �� 2 − � 1 Karena semua parameter bernilai positif dan nilai parameter � � 1 + � 1 dan � 2 , maka � 1 0, � 2 0, dan � 3 sehingga menurut jenis kestabilannya titik tetap 1 bersifat sadel.  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 2 , ,0 Seperti pada model 1, dalam proses mencari nilai eigen untuk titik tetap ini akan menghasilkan suatu bentuk persamaan aljabar � 3 + 2 + + � = 0 dengan � = � 2 2 � 2 2 , = −2 ��−� 1 � 2 2 , = �−� 1 2 � 2 2 − � −� 2 � 2 , � = �−� 1 −� 2 � 2 − � 1 . Persamaan aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai yang berbeda. Ketiga nilai tersebut akan ditunjukkan pada simulasi. Titik tetap 2 pada saat kondisi � 2 � , � 2 = � , dan � 2 � , nilai parameter yang digunakan akan menghasilkan nilai eigen � 1 0, � 2 0, dan � 3 0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap 2 pada ketiga kondisi tersebut bersifat sadel.  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 3 ∗ , ∗ , ∗ Dalam proses mencari nilai eigen untuk titik tetap 3 juga akan menghasilkan suatu bentuk persamaan aljabar � ∗3 + ∗2 + ∗ + � = 0 dengan � = � 2 2 � + � 1 � 2 � 2 , = −2 � 2 2 � + � 1 � 2 � � − � 1 − � 1 , = � 2 2 � − � 1 − � 1 2 − −� 2 � 2 � + � 1 � 2 � , � = −� 2 � 2 � − � 1 − � 1 − � 1 . Persamaan aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai ∗ yang berbeda. Ketiga nilai ∗ tersebut akan ditunjukkan pada simulasi. Titik tetap 3 pada saat kondisi � 2 � dan � 2 = � , nilai parameter yang digunakan akan menghasilkan nilai eigen � 1 0, � 2 0, dan � 3 0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap 3 bersifat stabil. Sedangkan pada saat kondisi � 2 � , nilai parameter yang digunakan akan menghasilkan nilai eigen � 1 0, � 2 dan � 3 kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap 3 pada kondisi ini bersifat spiral stabil. bukti dapat dilihat pada Lampiran 4 Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada keempat titik tetap pada kasus 2 dapat dilihat pada Tabel 2. Titik Tetap Kasus � 2 � � 2 = � � 2 � Titik tak stabil Titik tak stabil Titik tak stabil 1 Sadel Sadel Sadel 2 Sadel Sadel Sadel 3 Stabil Stabil Spiral Stabil Tabel 2 Jenis Kestabilan Titik Tetap

4.3 Simulasi Model 1 Kasus