Model Sistem Mangsa - Pemangsa Pada Saat Pemangsa Tidak Sangat

lingkungannya serta dipengaruhi dengan adanya laju perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi � 2 , kemudian populasi mangsa pada zona tidak dilindungi ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi � 1 dan dengan adanya interaksi antara mangsa pada zona tidak dilindungi dengan pemangsa yang dapat menyebabkan kematian dari mangsa pada zona tidak dilindungi � 1 . Perubahan laju populasi mangsa yang ada pada zona dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa tersebut dengan daya dukung lingkungannya serta dipengaruhi dengan laju perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi � 1 , kemudian populasi mangsa pada zona ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi � 2 . Sedangkan untuk perubahan laju populasi pemangsa dipengaruhi oleh besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa � 2 , kemudian populasi dari pemangsa akan mengalami kematian secara alami � . Sehingga model persamaan untuk pemangsa sangat bergantung pada mangsanya adalah sebagai berikut : � �� = � 1 − − � 1 + � 2 − � 1 � �� = 1 − + � 1 − � 2 , � �� = � 2 − � , 3.2 0 ≥ 0, 0 ≥ 0, 0 ≥ 0. dengan �, , , , � 1 , � 2 , � , � 1 , � 2

3.3 Model Sistem Mangsa - Pemangsa Pada Saat Pemangsa Tidak Sangat

Bergantung Pada Mangsanya Model 2. Spesies mangsa merupakan sumber makanan bagi pemangsa. Namun pada kasus ini, pemangsa tidak begitu bergantung pada mangsa yang ada dikarenakan pada model ini terdapat jenis spesies mangsa lain yang dapat dijadikan sumber makanan lain bagi pemangsa demi kelangsungan hidupnya. Pada Gambar 3 dapat dilihat skema diagram model matematika untuk model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya. Gambar 3 Skema model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya Dari Gambar 3 terlihat bahwa, perubahan laju populasi mangsa yang ada pada zona tidak dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada zona tidak dilindungi � dengan daya dukung lingkungannya serta dipengaruhi dengan adanya laju perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi � 2 , kemudian populasi mangsa pada zona ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi � 1 dan dengan adanya interaksi antara mangsa pada zona tidak dilindungi dan pemangsa yang dapat menyebabkan kematian dari mangsa pada zona tidak dilindungi � 1 . Perubahan laju populasi mangsa pada zona dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa tersebut dengan daya dukung lingkungannya serta dipengaruhi dengan laju perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi � 1 , kemudian populasi mangsa pada zona ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi � 2 . Sedangkan untuk laju pertumbuhan populasi pemangsa dipengaruhi dengan adanya laju pertumbuhan pemangsa � serta dengan adanya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa � 2 , serta daya dukung lingkungannya . Sehingga model persamaan untuk pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya adalah sebagai berikut : � �� = � 1 − − � 1 + � 2 − � 1 � �� = 1 − + � 1 − � 2 , � �� = � 1 − +� 2 , 3.3 0 ≥ 0, 0 ≥ 0, 0 ≥ 0 dengan �, , �, , , � 1 � 2 , � 1 , � 2 �, � 1 , � 2 � 1 � 2 �, , IV PEMBAHASAN 4.1 Analisis Model 1 Titik tetap pada model persamaan 3.2 dapat dinyatakan ke dalam bentuk = , , dan juga dapat diperoleh dengan menentukan � �� = 0, � �� = 0, dan � �� = 0, � 1 − − � 1 + � 2 − � 1 = 0 1 − + � 1 − � 2 = 0 � 2 − � = 0 sehingga diperoleh tiga titik tetap non- negatif sebagai berikut : = 0,0,0 1 = , ,0 dengan adalah akar dari persamaan = 1 � 2 � 2 − � − � 1 2 = ∗ , ∗ , ∗ = � � 2 , 1 2 � 2 + � , � dengan = � 2 − � 2 � = � 2 2 2 − � 2 2 + 4 � � 2 � 1 � = � 2 � 1 � � 2 ∗ + � � 2 � − � 1 − �� 2 � 2 2 bukti dapat dilihat pada Lampiran 1 Selanjutnya akan dianalisis kestabilan titik tetap dari model persamaan 3.2. Untuk itu, persamaan 3.2 akan dilinearkan ke dalam bentuk = � , dengan = , , dan � merupakan matriks Jacobi yang dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetap yang telah diperoleh pada model persamaan ini. � = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � = ℎ � 2 −� 1 � 1 − 2 − � 2 � 2 � 2 − � 4.1 dengan ℎ = � − 2 � − � 1 − � 1 dimana , , merupakan koordinat titik tetap. Titik tetap yang telah diperoleh dari persamaan 3.2, yaitu , 1 , dan 2 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.1, sehingga diperoleh matriks Jacobi dari setiap titik tetap sebagai berikut : � 1 0,0,0 = � − � 1 � 2 � 1 − � 2 −� � 2 , ,0 = � − 2 � − � 1 � 2 −� 1 � 1 − 2 − � 2 � 2 − � � 3 ∗ , ∗ , ∗ = � � 2 −� 1 ∗ � 1 − 2 ∗ − � 2 � 2 ∗ � 2 ∗ − � dengan � = � − 2 � ∗ − � 1 − � 1 ∗  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 0,0,0 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik � − �� = 0, sehingga akan diperoleh nilai eigen dari matriks � 1 , yaitu � 1 = −� � 2 = − � 2 + � 1 −�− + � 2 + � 1 −�− 2 +41 � 2 �+� 1 −� 2 � 3 = − � 2 + � 1 −�− − � 2 + � 1 −�− 2 +41 � 2 �+� 1 −� 2 Karena semua parameter bernilai positif dan nilai parameter � � 1 dan � 2 , maka � 1 0, � 2 0, dan � 3 0. Dengan demikian menurut jenis kestabilannya titik tetap bersifat sadel.  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 1 , ,0 Dalam proses mencari nilai eigen pada titik tetap ini, akan menghasilkan suatu bentuk persamaan aljabar � 3 + 2 + + � = 0 dengan � = � 2 2 � 2 2 , = −2 � �−� 1 � 2 2 , = �−� 1 2 � 2 2 − � −� 2 � 2 , dan � = �−� 1 −� 2 � 2 − � 1 . Persamaan aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai yang berbeda. Ketiga nilai tersebut akan ditunjukkan pada simulasi. Pada saat kondisi � 2 � , � 2 = � , dan � 2 � nilai parameter yang digunakan akan menghasilkan nilai eigen � 1 0, � 2 0 dan � 3 0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap untuk 1 pada ketiga kondisi tersebut bersifat sadel.  Kestabilan Sistem di Titik Tetap 2 ∗ , ∗ , ∗ Kestabilan titik tetap 2 diperoleh dengan mengamati nilai eigen dari matriks � 3 , yaitu � 3 + � 1 � 2 + � 2 � + � 3 = 0 dengan nilai � 1 , � 2 , � 3 terdapat pada Lampiran 2. Kemudian bentuk dari nilai eigen tersebut akan diberikan nilai parameter untuk dapat ditentukan jenis kestabilan dari titik tetap 2 . bukti dapat dilihat pada Lampiran 2 Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada ketiga titik tetap yang terdapat pada model 1, dapat dilihat pada Tabel 1. Titik Tetap Kasus � 2 � � 2 = � � 2 � Sadel Sadel Sadel 1 Sadel Sadel Sadel 2 Stabil Stabil Spiral Stabil Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap

4.2 Analisis Model 2