�
1
= �
�
2
=
− �
2
+ �
1
− −� + �
2
+ �
1
− −�
2
−4 1 � −��
2
−�
1
2
�
3
=
− �
2
+ �
1
− −� − �
2
+ �
1
− −�
2
−4 1 � −��
2
−�
1
2
Karena semua parameter bernilai positif dan nilai parameter
� �
1
dan �
2
, maka
�
1
0, �
2
0, dan �
3
0. Dengan demikian menurut jenis kestabilannya titik
tetap bersifat tak stabil.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
1
0,0, Untuk memperoleh nilai eigen digunakan
persamaan karakteristik
� − �� = 0, sehingga akan diperoleh nilai eigen dari
matriks
1
, yaitu �
1
= −�
�
2
=
− +
2
−4 2
�
3
=
− −
2
−4 2
dengan
=
�
1
+ �
2
+ �
1
− − � =
�
1
�
2
− �
1
+ � − ��
2
− �
1
Karena semua parameter bernilai positif dan nilai parameter
� �
1
+ �
1
dan �
2
, maka �
1
0, �
2
0, dan �
3
sehingga menurut jenis kestabilannya titik tetap
1
bersifat sadel.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
2
, ,0 Seperti pada model 1, dalam proses
mencari nilai eigen untuk titik tetap ini akan menghasilkan suatu bentuk persamaan
aljabar �
3
+
2
+ + � = 0 dengan
� =
�
2 2
�
2 2
, =
−2 ��−�
1
�
2 2
, =
�−�
1 2
�
2 2
−
� −�
2
�
2
, � =
�−�
1
−�
2
�
2
− �
1
. Persamaan
aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai yang berbeda. Ketiga nilai tersebut akan
ditunjukkan pada simulasi. Titik tetap
2
pada saat kondisi �
2
� ,
�
2
= �
, dan �
2
� , nilai parameter yang
digunakan akan menghasilkan nilai eigen �
1
0, �
2
0, dan �
3
0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap
2
pada ketiga kondisi tersebut bersifat sadel.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
3 ∗
,
∗
,
∗
Dalam proses mencari nilai eigen untuk titik tetap
3
juga akan menghasilkan suatu bentuk persamaan aljabar
�
∗3
+
∗2
+
∗
+ � = 0 dengan � =
�
2 2
�
+
�
1
�
2
� 2
, =
−2 �
2 2
�
+
�
1
�
2
�
� − �
1
− �
1
, =
�
2 2
� − �
1
− �
1 2
−
−�
2
�
2
�
+
�
1
�
2
�
, � =
−�
2
�
2
� − �
1
− �
1
− �
1
. Persamaan aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai
∗
yang berbeda. Ketiga nilai
∗
tersebut akan ditunjukkan pada simulasi.
Titik tetap
3
pada saat kondisi �
2
� dan
�
2
= �
, nilai parameter yang digunakan akan menghasilkan nilai eigen
�
1
0, �
2
0, dan �
3
0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap
3
bersifat stabil. Sedangkan pada saat kondisi �
2
� , nilai parameter yang digunakan
akan menghasilkan nilai eigen �
1
0, �
2
dan �
3
kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga dari nilai-nilai
eigen yang diperoleh titik tetap
3
pada kondisi ini bersifat spiral stabil.
bukti dapat dilihat pada Lampiran 4
Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada keempat titik tetap pada kasus 2
dapat dilihat pada Tabel 2. Titik
Tetap Kasus
�
2
� �
2
= �
�
2
� Titik tak
stabil Titik tak
stabil Titik tak
stabil
1
Sadel Sadel
Sadel
2
Sadel Sadel
Sadel
3
Stabil Stabil
Spiral Stabil
Tabel 2 Jenis Kestabilan Titik Tetap
4.3 Simulasi Model 1 Kasus
�
�
�
�
Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah
= 0.6, � = 1,
= 40, = 40,
�
1
= 0.2, �
2
= 0.4, �
= 0.4, �
1
= 0.7,
�
2
= 0.7, dengan nilai awal 0 = 20,
0 = 10, dan 0 = 10. Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap = 0,0,0 yang
bersifat sadel serta titik tetap
2
= 0.5714285714, 13.88217026,
15.00461924 yang
memiliki jenis
kestabilan bersifat stabil, sedangkan untuk
titik tetap
1
akan menghasilkan suatu bentuk persamaan aljabar
�
3
+
2
+ + � = 0
dengan � =
�
2 2
�
2 2
, =
−2 � �−�
1
�
2 2
, =
�−�
1 2
�
2 2
−
� −�
2
�
2
, dan � =
�−�
1
−�
2
�
2
− �
1
dalam proses pencarian nilai titik tetapnya sehingga dari persamaan
aljabar tersebut akan diperoleh tiga nilai yang
berbeda, yaitu
1
= 23.68146140,
2
= 43.62267459, dan
3
= −3.304135986. Ketiga nilai
tersebut jika
disubstitusi ke
dalam persamaan
akan menghasilkan nilai
1
= −12.31219692,
2
= 31.68825945, dan
3
= 7.290604135. Terlihat bahwa nilai
yang dihasilkan untuk
1
serta nilai
2
yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa
populasi mangsa yang berada pada kedua zona bernilai positif. Sehingga pada kasus
�
2
� terdapat tiga titik tetap, yaitu
,
1
, dan
2
dengan nilai titik tetap
1
= 43.62267459, 31.68825945, 0
yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel. Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan 3.2
Gambar 4 Orbit Kestabilan di sekitar
, , dengan
�
2
= 0.7, dan
� = 0.4.
Gambar 4 memperlihatkan pergerakan kurva dimulai pada sudut bawah dari titik terendah
pada bidang .
Gambar 5 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.7, dan
� = 0.4
Gambar 6 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.7, dan
� = 0.4
Gambar 7 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.7, dan
� = 0.4
Gambar 5, 6, dan 7
merupakan pencerminan 2D dari Gambar 4. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa titik tetapnya.
Berikut akan
diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa
pada zona yang dilindungi, dan populasi pemangsa terhadap waktu
� pada saat �
2
= 0.7 dan �
= 0.4.
Gambar 8 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap
� dengan �
2
= 0.7 dan �
= 0.4.
10 20
30 40
50 t
5 10
15 20
25 30
x, y, z
Keterangan : : Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi : Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi : Populasi pemangsa
Pada Gambar 8 terlihat bahwa populasi pemangsa
yang ada
lebih banyak
dibandingkan dengan populasi mangsa pada kedua zona. Hal ini dapat membuat ancaman
bagi mangsa untuk menuju kepunahan khususnya untuk mangsa yang ada pada
zona tidak dilindungi karena mangsa pada zona ini hidup secara bersamaan dengan
banyaknya
pemangsa tersebut
dan merupakan sumber makanan bagi pemangsa.
Namun mangsa yang ada pada zona dilindungi
akan mengalami
kenaikan populasinya
dikarenakan pada
zona dilindungi tidak terdapat pemangsa yang
hidup dalam zona ini.
Kasus
�
�
= �
�
Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah
= 0.6, � = 1,
= 40, = 40,
�
1
= 0.2, �
2
= 0.4, �
= 0.4, �
1
= 0.7, �
2
= 0.4, dengan nilai awal 0 = 20, 0 = 10, dan 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan diperoleh titik tetap
= 0,0,0 yang bersifat sadel serta titik tetap
2
= 1, 14.26783617, 9.260192096 yang bersifat
stabil, sedangkan untuk titik tetap
1
yang dalam proses mencari nilai titik tetapnya
akan menghasilkan suatu bentuk persamaan aljabar
�
3
+
2
+ + � = 0 dengan
� =
�
2 2
�
2 2
, =
−2 ��−�
1
�
2 2
, =
�−�
1 2
�
2 2
−
� −�
2
�
2
, dan � =
�−�
1
−�
2
�
2
− �
1
sehingga diperoleh tiga nilai yang berbeda
nilainya, yaitu
1
= 23.68146140,
2
= 43.62267459, dan
3
= −3.304135986.
Ketiga nilai tersebut jika disubstitusi ke
dalam persamaan akan menghasilkan nilai
1
= −12.31219692,
2
= 31.68825945, dan
3
= 7.290604135. Terlihat bahwa nilai
yang dihasilkan untuk
1
serta nilai
3
yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa
populasi mangsa yang berada pada kedua zona bernilai positif. Sehingga pada kasus
�
2
= �
terdapat tiga titik tetap, yaitu ,
1
, dan
2
dengan nilai titik tetap
1
= 43.62267459, 31.68825945, 0
yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel. Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan 3.3 Gambar
9 Orbit kestabilan pada bidang , , dengan
�
2
= 0.4, dan
� = 0.4
Gambar 9 memperlihatkan pergerakan kurva dimulai pada sudut bawah dari titik terendah
pada bidang .
Gambar 10 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.4, dan
� = 0.4
Gambar 11 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.4, dan
� = 0.4
Gambar 12 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.4, dan
� = 0.4
Gambar 10 , 11, dan 12 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 9. Dari hasil pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya. Berikut
akan diperlihatkan
grafik dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu � pada saat
�
2
= 0.4 dan �
= 0.4
Gambar 13 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap
� dengan �
2
= 0.4 dan �
= 0.4. Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang tidak dilindungi
: Populasi mangsa pada zona yang dilindungi
: Populasi pemangsa Pada Gambar 13 terlihat bahwa populasi
pemangsa serta populasi mangsa pada zona tidak dilindungi mengalami penurunan
populasi dari populasi awalnya. Namun populasi mangsa pada zona tidak dilindungi
tidak
akan mengalami
kepunahan dikarenakan pada kasus ini banyaknya
populasi pemangsa
lebih sedikit
dibandingkan dengan kasus sebelumnya. Hal ini dikarenakan besarnya laju interaksi
antara mangsa dan pemangsa diperkecil nilainya sehingga dapat membuat populasi
pemangsa mengalami penurunan populasi dan dapat membuat populasi mangsa pada
kedua zona tetap dapat bertahan hidup. Kasus
�
�
�
�
Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah
= 0.6, � = 1,
= 40, = 40,
�
1
= 0.2, �
2
= 0.4, �
= 0.4, �
1
= 0.7, �
2
= 0.1, dengan nilai awal 0 = 20, 0 = 10, dan 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan diperoleh titik tetap
= 0,0,0 yang bersifat sadel serta titik tetap
2
= 4, 16.55493132, 3.364990188 yang bersifat
spiral stabil, sedangkan untuk titik tetap
1
yang dalam proses mencari nilai titik tetapnya akan menghasilkan suatu bentuk
persamaan aljabar �
3
+
2
+ + � = 0
dengan � =
�
2 2
�
2 2
, =
−2 � �−�
1
�
2 2
, =
�−�
1 2
�
2 2
−
� −�
2
�
2
, dan � =
�−�
1
−�
2
�
2
− �
1
sehingga diperoleh tiga nilai yang
berbeda, yaitu
1
= 23.68146140,
2
= 43.62267459, dan
3
= −3.304135986.
Ketiga nilai tersebut jika disubstitusi ke
dalam persamaan akan menghasilkan nilai
1
= −12.31219692,
2
= 31.68825945, dan
3
= 7.290604135. Terlihat bahwa, nilai
yang dihasilkan untuk
1
serta nilai
3
yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa
populasi mangsa yang berada pada kedua zona bernilai positif. Sehingga pada kasus
�
2
� terdapat tiga titik tetap, yaitu
,
1
, dan
2
dengan nilai titik tetap
1
= 43.62267459, 31.68825945, 0
yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel. Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan 3.3 Gambar 14 Orbit kestabilan pada bidang
, , dengan �
2
= 0.1, dan
� = 0.4
10 20
30 40
50 t
5 10
15 20
x, y, z
Gambar 14 memperlihatkan pergerakan kurva dimulai dari sudut bidang
.
Gambar 15 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.1, dan
� = 0.4
Gambar 16 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.1, dan
� = 0.4
Gambar 17 Orbit kestabilan pada bidang ,
dengan �
2
= 0.1, dan
� = 0.4
Gambar 15, 16, dan 17 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 14. Dari hasil pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya. Berikut
akan diperlihatkan
grafik dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu � pada saat
�
2
= 0.1 dan �
= 0.4 Gambar 18 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap � dengan
�
2
= 0.1 dan �
= 0.4. Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang tidak dilindungi
: Populasi mangsa pada zona yang dilindungi
: Populasi pemangsa Pada Gambar 18 terlihat bahwa populasi
pemangsa yang
ada lebih
sedikit dibandingkan dengan populasi mangsa pada
kedua zona serta populasi pemangsa tersebut akan mengalami penurunan populasi yang
cukup drastis dibandingkan dengan kedua kasus sebelumnya. Hal ini dikarenakan
besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa diperkecil lagi nilainya. Dengan
adanya populasi pemangsa yang lebih sedikit dari populasi mangsanya dapat
membuat populasi mangsa pada kedua zona dapat tetap bertahan hidup, namun populasi
mangsa pada zona tidak dilindungi akan tetap mengalami penurunan populasi dengan
adanya sedikit populasi pemangsa tersebut karena pada model ini pemangsa sangat
bergantung dengan mangsanya.
4.4 Simulasi Model 2 Kasus
