Titik
2 j
i
v merupakan anggota dari
n
K V
dan titik
j
v merupakan anggota dari
2
K V
.
Definisi 2.11. Bondy and Murty, 1976 Graf berbobot adalah graf yang setiap
sisinya diberi sebuah bilangan yang disebut bobot.
Gambar 2.10. Graf berbobot Gambar 2.10 adalah contoh dari graf berbobot. Gambar tersebut menunjukkan
bahwa bobot masing-masing sisinya, dinotasikan dengan
j i
v v
wt , adalah
2
2 1
= v
v wt
, 8
6 1
= v
v wt
, 3
3 2
= v
v wt
, 5
6 2
= v
v wt
, 1
6 3
= v
v wt
, 9
4 3
= v
v wt
, 7
5 3
= v
v wt
dan 4
5 4
= v
v wt
.
2.1.2. Pelabelan Graf Definisi 2.12.
Wallis, 2001 Pelabelan suatu graf adalah suatu pemetaan yang
membawa elemen-elemen graf ke bilangan-bilangan bulat positif atau non negatif. Pada umumnya domain dari pemetaan ini adalah himpunan semua titik
dan sisi pelabelan seperti ini disebut pelabelan total, himpunan titik saja pelabelan titik, atau himpunan sisi saja pelabelan sisi. Bobot weight dari
elemen graf adalah jumlah dari semua label yang berhubungan dengan elemen graf tersebut. Bobot dari titik v dengan pelabelan
λ adalah
∑
∈
+ =
E uv
uv v
v wt
λ λ
, dan bobot dari sisi uv adalah
v uv
u uv
wt λ
λ λ
+ +
= .
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
2 8
5 3
1 7
4 9
Gambar 2.11. Pelabelan total pada C
3
Gambar 2.11 merupakan contoh graf yang titik dan sisinya diberi label bilangan bulat positif sehingga disebut pelabelan total. Pelabelan setiap titik pada
C
3
yaitu 1
1
= v
λ ,
1
2
= v
λ dan
2
3
= v
λ ,
sedangkan pelabelan sisi-sisinya yaitu 1
2 1
= v
v λ
, 2
3 2
= v
v λ
dan 1
1 3
= v
v λ
. Bobot titik v
i
atau
i
v wt
dari graf tersebut adalah 3
1 1
1
1
= +
+ =
v wt
, 4
2 1
1
2
= +
+ =
v wt
, 5
1 2
2
3
= +
+ =
v wt
, sedangkan bobot sisi v
i
v
j
atau
j i
v v
wt adalah
3 1
1 1
2 1
= +
+ =
v v
wt , 5
2 2
1
3 2
= +
+ =
v v
wt , 4
1 1
2
1 3
= +
+ =
v v
wt .
Definisi 2.13. Ba
ča et al., 2003 Suatu graf G = V, E dengan himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E yang mempunyai pelabelan
} ,...,
2 ,
1 {
: k
E V
→ ∪
λ disebut pelabelan-k total tak teratur sisi jika untuk sembarang dua sisi
1 1
v u
e =
dan
2 2
v u
f =
yang berbeda di G berlaku f
wt e
wt ≠
, dengan
1 1
v e
u e
wt λ
λ λ
+ +
= dan
2 2
v f
u f
wt λ
λ λ
+ +
= .
Gambar 2.11 menunjukkan pelabelan total tak teratur sisi karena dengan pelabelan tersebut terlihat bahwa bobot setiap sisi berbeda, yaitu
≠
2 1
v v
wt ≠
3 1
v v
wt
3 2
v v
wt .
Selanjutnya ditunjukkan pelabelan total tak teratur sisi graf C
5
seperti pada Gambar 2.12.
2
1
v
2
v
3
v
2 1
1 1
1
Gambar 2.12. Pelabelan-3 total tak teratur sisi pada C
5
Pelabelan setiap titik pada C
5
yaitu 1
1
= v
λ ,
1
2
= v
λ ,
2
3
= v
λ ,
2
4
= v
λ dan
2
5
= v
λ ,
sedangkan label setiap sisinya yaitu 1
2 1
= v
v λ
, 1
3 2
= v
v λ
, 3
4 3
= v
v λ
, 2
5 4
= v
v λ
dan 2
1 5
= v
v λ
. Bobot setiap sisi pada Gambar 2.12 dapat ditentukan dengan menjumlahkan label
sisi dengan label titik yang incident dengan sisi tersebut. Bobot setiap sisi graf C
5
tersebut yaitu 3
1 1
1
2 1
= +
+ =
v v
wt , 6
2 2
2
5 4
= +
+ =
v v
wt ,
4 2
1 1
3 2
= +
+ =
v v
wt , 5
1 2
2
1 5
= +
+ =
v v
wt .
7 2
3 2
4 3
= +
+ =
v v
wt ,
Berdasarkan pelabelan yang diberikan seperti pada Gambar 2.12 terlihat bahwa bobot setiap sisi berbeda, yaitu
≠
2 1
v v
wt ≠
3 2
v v
wt
4 3
v v
wt
1 4
v v
wt ≠
. Inilah yang disebut pelabelan total tak teratur sisi.
Menurut Ba ča et al. 2003, pelabelan pada suatu graf G dapat disajikan dalam
suatu bentuk matriks LG seperti berikut.
L G
n n
n n
n n
n
v v
v v
v v
v v
v v
v v
v v
v v
v v
v v
v
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
1 1
2 1
=
1
v
5
v
4
v
3
v
2
v
2 2
2 1
1 1
1 3
2 2
Karena
1 2
2 1
v v
v v
= ,
1 1
v v
v v
n n
= ,
2 2
v v
v v
n n
=
dan seterusnya, maka matriks LG
merupakan matriks simetris. Diagonal matriks tersebut merupakan label titik, sedangkan label sisinya
adalah label selain diagonal yang tidak nol. Angka nol 0 menunjukkan bahwa dua titik tidak adjacent. Bobot setiap sisi dapat ditentukan dengan menjumlahkan
label sisi dan label titik yang incident dengan sisi tersebut, yaitu label yang berada dalam satu kolom dan satu baris dengan label sisi tersebut.
Sebagai contoh, pelabelan graf
5
C pada Gambar 2.12 disajikan dalam bentuk
matriks L
5
C berikut:
L
5
C 2
2 2
2 2
3 3
2 1
1 1
1 2
1 1
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
v v
v v
v v
v v
v v
=
Bobot setiap sisi graf
5
C dapat ditentukan dari matriks L
5
C , yaitu 3
1 1
1
2 1
= +
+ =
v v
wt ,
6 2
2 2
5 4
= +
+ =
v v
wt ,
7 2
2 3
4 3
= +
+ =
v v
wt ,
5 2
1 2
5 1
= +
+ =
v v
wt .
4 2
1 1
3 2
= +
+ =
v v
wt ,
Definisi 2.14. Ba
ča et al., 2003 Nilai ketakteraturan total sisi graf G yang dinotasikan dengan tesG, adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga G
memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi. Pelabelan graf
5
C pada Gambar 2.12 merupakan pelabelan-3 total tak teratur sisi, sehingga nilai ketakteraturan total sisinya adalah tesC
5
= 3.
2.2. Kerangka Pemikiran
