14
BAB IV PEMBAHASAN
Bab ini membahas tentang nilai ketakteraturan total sisi graf lintang
n
sL ,
untuk suatu bilangan bulat positif 1
≥ s
dan 2
≥ n
. Dimisalkan graf
n
sL mempunyai himpunan titik
} 2
1 ,
1 |
, {
2
s j
n i
v v
sL V
j j
i n
≤ ≤
≤ ≤
=
dan himpunan sisi }
2 1
, 1
| {
2
s j
n i
v v
sL E
j i
j n
≤ ≤
≤ ≤
=
. Menurut Nurdin dkk. 2005, nilai ketakteraturan total sisi graf
n
sL adalah
+
3 2
2ns .
Sebelumnya dibahas juga tentang batas nilai ketakteraturan total sisi untuk sembarang graf yang diberikan oleh Ba
ča et al. 2003.
4.1. Batas Nilai Ketakteraturan Total Sisi Sembarang Graf
Suatu graf yang diberi pelabelan total tak teratur sisi dapat ditentukan nilai ketakteraturan total sisinya. Nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf
G mempunyai batas atas dan batas bawah seperti yang dituliskan dalam
Teorema 4.1.
Teorema 4.1. Ba
ča et al., 2003 Misal E
V G
, =
suatu graf dengan himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E, maka
E G
tes E
≤ ≤
+ 3
2 .
Bukti.
Untuk menentukan batas atas, setiap titik dari G diberi label 1 dan setiap sisi dari G secara terurut diberi label 1, 2, …, E . Dengan menggunakan label
tersebut akan diperoleh f
wt e
wt ≠
untuk sembarang dua sisi e dan f yang
berbeda dari G. Hal ini menunjukkan bahwa pelabelan tersebut adalah pelabelan total tak teratur sisi dengan label terbesar E , sehingga batas atas nilai
ketakteraturan total sisi yang dinotasikan dengan G
tes , adalah E .
Untuk batas bawah, dimisalkan λ adalah pelabelan total tak teratur sisi yang
optimal dari G. Bobot terbesar sisi e dari G, yaitu 2
+ ≥ E
e wt
. Bobot tersebut merupakan jumlah dari tiga label, sehingga terdapat satu sisi atau titik yang diberi
label paling sedikit 3
2 +
E . Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa batas
bawah G
tes adalah
+ 3
2 E
. ■
Menurut Teorema 4.1, nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf G yang dinotasikan dengan
G tes
, tidak kurang dari
+
3 2
E dan tidak melebihi jumlah
sisinya. Sebagai ilustrasi dari pembuktian Teorema 4.1, diberikan contoh pelabelan untuk menentukan batas atas seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Pelabelan total tak teratur sisi Ketiga graf pada Gambar 4.1 diberi label 1 pada setiap titiknya dan sisi-sisinya
diberi label secara terurut 1, 2, ..., E . Gambar 4.1.a menunjukkan graf C
3
dengan bobot setiap sisinya adalah
3
2 1
= v
v wt
, 4
3 2
= v
v wt
dan 5
3 1
= v
v wt
. Gambar 4.1.b menunjukkan graf C
4
dengan bobot setiap sisinya adalah a.
b. c.
1
v
2
v
1
x
1
w
3
v
2
w
3
w
4
w
5
x
4
x
3
x
2
x
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2 3
3 3
4 4
5
3
2 1
= w
w wt
, 4
3 2
= w
w wt
, 5
4 3
= w
w wt
dan 6
4 1
= w
w wt
. Gambar 4.1.c menunjukkan graf C
5
dengan bobot setiap sisinya adalah 3
2 1
= x
x wt
, 4
3 2
= x
x wt
, 5
4 3
= x
x wt
, 6
5 4
= x
x wt
dan 7
5 1
= x
x wt
. Terlihat bahwa bobot setiap sisi dari masing-masing graf berbeda. Hal ini
menunjukkan bahwa ketiga pelabelan tersebut merupakan pelabelan total tak teratur sisi. Nilai ketakteraturan total sisi masing-masing graf tersebut merupakan
jumlah sisinya, yaitu 3
3
= C
tes ,
4
4
= C
tes dan
5
5
= C
tes .
Pelabelan yang lebih besar daripada pelabelan seperti pada Gambar 4.1 tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf
tidak mungkin lebih dari jumlah sisinya, E .
Selanjutnya diberikan contoh pelabelan optimal dari graf yang sama untuk menentukan batas bawah seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.2.
Gambar 4.2. Pelabelan total tak teratur sisi yang optimal Ketiga graf pada Gambar 4.2 merupakan graf yang diberi pelabelan optimal.
Gambar 4.2.a menunjukkan graf C
3
dengan bobot setiap sisinya adalah 3
2 1
= v
v wt
, 5
3 2
= v
v wt
dan 4
3 1
= v
v wt
. Bobot sisi terbesarnya adalah
5 2
5
3 2
= +
≥ =
E v
v wt
. Oleh karena itu, label terbesar dari graf C
3
tersebut paling sedikit 2
3 2 =
+ E
. Pada Gambar 4.2.a menunjukkan bahwa label terbesarnya adalah 2, sehingga diperoleh
b. c. a.
1
v
2
v
3
v
2 1
1 1
2 1
1
w
2
w
3
w
4
w
2 2
1 1
1 2
2 1
1
x
5
x
4
x
3
x
2
x
2 2
2 1
1 1
1 3
2 2
2 3
2 2
C
3
=
+
≥ =
E tes
. Gambar 4.2.b menunjukkan graf C
4
dengan bobot setiap sisinya adalah 3
2 1
= w
w wt
, 5
3 2
= w
w wt
, 6
4 3
= w
w wt
dan 4
4 1
= w
w wt
. Bobot sisi terbesarnya adalah
6 2
6
4 3
= +
≥ =
E w
w wt
. Oleh karena itu, label terbesar dari graf C
4
tersebut paling sedikit 2
3 2 =
+ E
. Pada Gambar 4.2.b menunjukkan bahwa label terbesarnya adalah 2, sehingga diperoleh
2 3
2 2
C
4
=
+
≥ =
E tes
. Gambar 4.2.c menunjukkan graf C
5
dengan bobot setiap sisinya adalah 3
2 1
= x
x wt
, 4
3 2
= x
x wt
, 7
4 3
= x
x wt
, 6
5 4
= x
x wt
dan 5
5 1
= x
x wt
. Bobot sisi terbesarnya adalah
7 2
7
4 3
= +
≥ =
E x
x wt
. Oleh karena itu, label terbesar dari graf C
5
tersebut paling sedikit 3
3 2 =
+ E
. Pada Gambar 4.2.c menunjukkan bahwa label terbesarnya adalah 3, sehingga diperoleh
3 3
2 3
C
5
=
+
≥ =
E tes
. Pelabelan yang lebih kecil daripada pelabelan seperti pada Gambar 4.2 tidak
mungkin dilakukan. Oleh karena itu, nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf tidak mungkin kurang dari
+ 3
2 E
.
Selanjutnya akan dibahas tentang nilai ketakteraturan total sisi graf lintang
n
sL untuk suatu bilangan bulat positif
1 ≥
s dan
2 ≥
n berdasarkan batas bawah dari
Teorema 4.1, menurut Nurdin dkk. 2005.
4.2. Nilai Ketakteraturan Total Sisi s Kopi Graf Lintang
Kategori