3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1. Tinjauan Pustaka
Bagian ini berisi tentang tinjauan pustaka yang memuat beberapa teori yang digunakan dalam penulisan skripsi ini, antara lain pengertian tentang graf dan
pelabelan, khususnya pelabelan total tak teratur sisi.
2.1.1. Graf Definisi 2.1. Johnsonbaugh, 2001 Suatu graf G graf tidak berarah terdiri dari
himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E sedemikian sehingga setiap sisi E
e ∈ dihubungkan oleh sebuah pasangan tak berurutan dari titik. Sebuah sisi e
yang menghubungkan titik v dan w dapat dituliskan sebagai vw
e =
atau wv
e =
. Jumlah titik dari graf G disebut order yang dinotasikan dengan |V|, sedangkan
jumlah sisi dari graf G disebut size yang dinotasikan dengan |E|. Gambar 2.1 menunjukkan sebuah graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E, yaitu
{ }
4 3
2 1
, ,
, v
v v
v V
= dan
{ }
4 3
4 2
3 2
4 1
2 1
, ,
, ,
v v
v v
v v
v v
v v
E =
. Dengan demikian, order graf G adalah |V | = 4 dan size graf G adalah |E| = 5.
Gambar 2.1. Graf G
Definisi 2.2. Chartrand, 1986 Dua titik u dan v dikatakan adjacent jika
uv ∈EG. Jika
G E
uv e
∈ =
, maka u dan v masing-masing dikatakan incident dengan e.
3
v
1
v
4
v
2
v
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa titik v
1
adjacent dengan titik v
2
dan v
4
, tetapi tidak adjacent dengan titik v
3
. Pada Gambar 2.1 dapat dilihat juga bahwa sisi
3 2
v v
incident dengan titik v
2
dan v
3
, sisi
4 2
v v
incident dengan titik v
2
dan v
4
, tetapi sisi
2 1
v v
tidak incident dengan titik v
3
maupun titik v
4
.
Definisi 2.3. Johnsonbaugh, 2001 Suatu graf tanpa loop dan sisi rangkap
paralel edge disebut graf sederhana simple graph.
Gambar 2.2. Graf dengan loop dan sisi rangkap
Sebuah loop merupakan sebuah sisi yang terhubung pada suatu titik yang
sama. Sisi rangkap adalah dua sisi atau lebih yang menghubungkan pasangan titik yang sama.
Graf G pada Gambar 2.1 merupakan graf sederhana, sedangkan graf pada
Gambar 2.2 bukan graf sederhana karena mengandung loop dan sisi rangkap. Sisi
e
2
dan e
3
merupakan sisi rangkap karena menghubungkan dua titik yang sama yaitu
v
1
dan v
2
. Sedangkan sisi
e
1
dan e
7
merupakan loop karena masing-masing
terhubung pada titik v
1
dan v
4
itu sendiri.
Definisi 2.4. Chartrand and Oellermann, 1993 Cycle merupakan barisan titik-
titik
n
u u
u ...,
, ,
1
, dengan 3
≥ n
,
n
u u
= dan
n
u u
u ...,
, ,
2 1
adalah titik-titik yang berbeda.
Gambar 2.3. Graf
3
C dan
4
C
1
v
2
e
2
v
3
v
4
v
1
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
2
v
2
v
4
v
1
v
3
v
3
C :
4
C :
1
v
3
v
Suatu cycle dengan panjang n atau mempunyai sejumlah n titik disebut
n
C atau n-cycle. Gambar 2.3 merupakan contoh cycle dengan
3 =
n dan
4 =
n
.
Definisi 2.5. Fletcher et al., 1991 Graf lengkap complete graph dengan n titik
yang dinotasikan dengan
n
K , adalah graf sederhana yang setiap titiknya adjacent.
Gambar 2.4 merupakan contoh lima graf lengkap. Terlihat bahwa setiap titik pada masing-masing graf tersebut adjacent.
K
1
K
2
K
3
K
4
K
5
Gambar 2.4. Graf lengkap
Definisi 2.6. Chartrand and Oellermann, 1993 Komplemen graf G yang
dinotasikan dengan G , adalah graf dengan V G = VG dan uv merupakan sisi
dari G jika dan hanya jika sisi tersebut bukan sisi dari G.
Gambar 2.5. Graf dan komplemennya Gambar 2.5 menunjukkan graf lengkap dan komplemennya. Sisi-sisi dari graf
lengkap K
4
tidak dimiliki oleh komplemen dari graf lengkap tersebut.
2
v
4
v
1
v
3
v
4
K :
4
K :
2
v
3
v
4
v
1
v
Definisi 2.7. Chartrand, 1986 Dua buah graf G
1
dan G
2
dikatakan isomorfik
2 1
G G
≅ jika terdapat pemetaan satu-satu
2 1
: G
V G
V →
φ , sedemikian
sehingga dua titik
i
v dan v
j
adjacent dalam graf G
1
jika dan hanya jika titik
i
v φ
dan
j
v φ
adjacent dalam graf G
2
.
Graf G
1
dan G
2
pada Gambar 2.6 merupakan contoh dua buah graf yang isomorfik.
Pemetaannya adalah
2 1
: G
V G
V →
φ , dengan
i
u φ
= 4
, 3
, 2
, 1
, =
i v
i
.
Gambar 2.6. Dua graf yang isomorfik
2 1
G G
≅
Definisi 2.8. Chartrand and Oellermann, 1993 Gabungan dari dua graf G
1
dan G
2
yang dinotasikan dengan
2 1
G G
∪ , adalah graf yang mempunyai
2 1
2 1
G V
G V
G G
V ∪
= ∪
dan
2 1
2 1
G E
G E
G G
E ∪
= ∪
.
Jika G
G G
≅ ≅
2 1
, maka dinotasikan dengan 2 G untuk
2 1
G G
∪ . Pada
umumnya, jika
n
G G
G ...,
, ,
2 1
adalah n graf yang isomorfik dengan G, maka
dinotasikan dengan nG untuk
n
G G
G ∪
∪ ∪
...
2 1
. Dengan kata lain, nG adalah n
kopi graf G, yaitu gabungan dari n graf G. Gambar 2.7 menunjukkan graf
2 3
3 2
K K
∪ .
Gambar 2.7. Gabungan dari graf
3
2K dan
2
3K
2 3
3 2
K K
∪ :
G
1
: G
2
:
1
u
2
u
3
u
4
u
1
v
3
v
2
v
4
v
Definisi 2.9. Chartrand and Oellermann, 1993 Join dari dua graf G
1
dan G
2
yang dinotasikan dengan
2 1
G G
+ , adalah graf yang terdiri dari perpaduan
2 1
G G
∪ dan semua sisi uv, dengan
1
G V
u ∈
dan
2
G V
v ∈
. Graf K
3
+ K
2
ditunjukkan oleh Gambar 2.8. Setiap titik dari masing-masing graf saling dihubungkan oleh sebuah sisi baru sehingga kedua graf terhubung.
Gambar 2.8. Join dari graf K
3
dan K
2
Definisi 2.10. Nurdin dkk., 2005 Graf lintang yang dinotasikan dengan
n
L , adalah join dari graf
2
K dan
n
K , atau graf
n
K K
+
2
.
1 9
v
1 4
v
1 1
v
1 2
v
1 3
v
1 5
v
1 6
v
1 7
v
1 8
v
2 9
v
2 4
v
2 1
v
2 2
v
2 3
v
2 5
v
2 6
v
2 7
v
2 8
v
3 9
v
3 4
v
3 1
v
3 2
v
3 3
v
3 5
v
3 6
v
3 7
v
3 8
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
Gambar 2.9. Graf 3L
9
Gambar 2.9 menunjukkan tiga kopi graf L
9
yang dinotasikan dengan 3L
9
, yaitu
gabungan dari tiga graf lintang L
9
. Suatu graf lintang sL
n
mempunyai sn + 2 titik dan 2ns sisi dengan himpunan titik
} 2
1 ,
1 |
, {
2
s j
n i
v v
sL V
j j
i n
≤ ≤
≤ ≤
=
dan himpunan sisi }
2 1
, 1
| {
2
s j
n i
v v
sL E
j i
j n
≤ ≤
≤ ≤
=
. K
2
: K
3
: K
3
+ K
2
:
Titik
2 j
i
v merupakan anggota dari
n
K V
dan titik
j
v merupakan anggota dari
2
K V
.
Definisi 2.11. Bondy and Murty, 1976 Graf berbobot adalah graf yang setiap
sisinya diberi sebuah bilangan yang disebut bobot.
Gambar 2.10. Graf berbobot Gambar 2.10 adalah contoh dari graf berbobot. Gambar tersebut menunjukkan
bahwa bobot masing-masing sisinya, dinotasikan dengan
j i
v v
wt , adalah
2
2 1
= v
v wt
, 8
6 1
= v
v wt
, 3
3 2
= v
v wt
, 5
6 2
= v
v wt
, 1
6 3
= v
v wt
, 9
4 3
= v
v wt
, 7
5 3
= v
v wt
dan 4
5 4
= v
v wt
.
2.1.2. Pelabelan Graf Definisi 2.12.
Kategori