I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Hepatitis merupakan pembengkakan atau radang pada hati sehingga menyebabkan hati
tidak dapat berfungsi dengan baik. Hepatitis dapat disebabkan oleh virus, alkohol, atau
obat-obatan. Penyebab yang sering dijumpai pada berbagai kasus hepatitis adalah virus.
Hepatitis B adalah salah satu jenis hepatitis yang disebabkan oleh virus. Adanya infeksi
Hepatitis B Virus HBV yang menyerang hati, dapat menyebabkan penyakit akut dan
kronis. HBV dikatakan akut, jika telah terjadi radang pada hati selama beberapa minggu
kemudian pulih. Jika tidak pulih, maka disebut HBV kronis dan dapat berkembang
menjadi sirosis hati atau kanker hati.
HBV ditularkan melalui kontak dengan darah atau cairan tubuh lain dari orang yang
terinfeksi. Pencegahan HBV dapat dilakukan dengan pemberian vaksin. Meskipun vaksin
telah tersedia
sejak tahun
1982 dan
didistribusikan lebih dari 116 negara, 8-10 dari negara berkembang saat ini masih
terinfeksi HBV. Virus ini 50-100 kali lebih cepat
menular dibandingkan
HIV. Dari mereka yang tertular HBV, 17,5 akan
mengalami infeksi HBV kronis bahkan tidak menutup kemungkinan dapat meninggal
akibat sirosis hati atau kanker hati. Anak- anak, terutama bayi yang terinfeksi HBV
mengalami risiko tertinggi terkena infeksi HBV kronis. Mereka dengan penyakit akut
akan mengalami gejala berat sampai satu tahun, termasuk sakit kuning, kelelahan
ekstrim, mual, muntah, dan nyeri perut Arguin et al. 2007.
Meskipun HBV dapat diobati dengan menggunakan interferon atau lamivudine
therapy, pengobatan
dengan cara
ini membutuhkan biaya yang sangat besar. Jadi,
pemahaman yang lebih baik mengenai HBV dan dinamikanya sangat diperlukan untuk
mengembangkan vaksin dan pengobatan yang lebih murah.
Kebanyakan model matematika yang menjelaskan
perilaku HBV
tidak dikembangkan
secara khusus
untuk menggambarkan dinamika HBV, tetapi lebih
kepada adaptasi dari model matematika yang menjelaskan
perilaku HIV
terhadap HBV. Salah satu model awal telah dipelajari
oleh Nowak et al. 1996 dan kemudian dikembangkan oleh Nowak dan May 2000.
Model matematika tersebut dinamakan Basic Virus Infection Model BVIM. BVIM ini
menjelaskan dinamika jumlah atau massa sel- sel sehat terutama sel hepatosit sehat,
hepatosit yang terinfeksi, dan virus. Hepatosit adalah
sel parenkim
pada hati
yang menempati sekitar 80 dari volume hati.
Eikenberry et
al. 2010
telah mengembangkan model BVIM tetapi dengan
beberapa perubahan.
Perubahan ini
dimaksudkan agar lebih sesuai dengan kehidupan yang sebenarnya, terutama pada
pertumbuhan hepatosit yang menggunakan fungsi logistik. Pada tulisan ini akan
direkonstruksi pembentukan model HBV yang dimodelkan oleh Eikenberry et al. Selanjutnya
dilakukan analisis kestabilan di sekitar titik tetap modelnya. Pertama, ditentukan titik tetap
dari model, kemudian dilakukan pelinearan terhadap
model tersebut.
Selanjutnya ditentukan nilai eigen untuk menganalisis
kestabilan titik tetapnya. Untuk titik tetap yang tidak dapat dicari solusinya dengan
menggunakan pelinearan, maka dicari dengan menggunakan metode kuantitatif dengan
menganalisis dinamika di sekitar titik asal menggunakan transformasi tertentu.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1.
Merekonstruksi ulang pembentukan model BVIM yang dikembangkan oleh
Eikenberry et al. 2010 dan analisis dinamikanya.
2. Menjelaskan dinamika solusi model
dengan memilih parameter model untuk mengetahui suatu infeksi virus dapat
menghilang atau tidak.
3. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf
pada model infeksi virus Hepatitis B dengan pertumbuhan hepatosit yang
bersifat logistik.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat Bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan. Bab kedua berisi
landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Bab ketiga
merupakan pembahasan mengenai model infeksi virus hepatitis B dengan pertumbuhan
hepatosit yang bersifat logistik, penentuan titik tetap model, analisis kestabilan, dan
simulasi model. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan
karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Misalkan suatu
sistem persamaaan
diferensial biasa dinyatakan sebagai ̇
dengan adalah matriks koefisien berukuran
dan adalah vektor konstan. Sistem persamaan 2.1 dinamakan sistem persamaan
diferensial biasa linear orde satu. Jika ,
maka sistem persamaan 2.1 dikatakan homogen, dan jika
, maka sistem persamaan 2.1 dikatakan takhomogen.
Tu 1994
Definisi 2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri
Misalkan suatu
sistem persamaan
diferensial biasa dinyatakan sebagai ̇
2.2 dengan
merupakan fungsi kontinu bernilai real dari
dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan 2.2 disebut
sistem persamaan diferensial biasa mandiri autonomous karena fungsi
tidak memuat secara eksplisit.
Tu 1994
2.2 Titik Tetap
Tinjau persamaan diferensial 2.2. Jika titik
memenuhi , maka titik
disebut titik tetap, atau titik kritis atau titik kesetimbangan.
Verhulst 1990
2.2.1 Titik Tetap Stabil
Misalkan adalah titik tetap SPD
mandiri 2.2 dan adalah solusi yang
memenuhi kondisi awal dengan
. Titik dikatakan titik tetap stabil,
jika untuk sebarang radius terdapat
sehingga jika posisi awal memenuhi
| | , maka solusi memenuhi
| | untuk .
Verhulst 1990 2.2.2 Titik Tetap Tak Stabil
Misalkan adalah titik tetap SPD
mandiri 2.2 dan adalah solusi yang
memenuhi kondisi awal dengan
. Titik dikatakan titik tetap tak
stabil jika terdapat radius sehingga jika
posisi awal memenuhi
| | untuk
sebarang, maka solusi memenuhi |
| untuk paling sedikit satu .
Verhulst 1990
2.2.3 Titik Tetap Stabil Lokal Asimtotik
Titik tetap dikatakan titik tetap stabil
lokal asimtotik jika titik tetap stabil dan
terdapat sedemikian sehingga jika
| | , maka
. Szidarovsky Bahill 1998
2.2.4 Titik Tetap Stabil Global Asimtotik
Titik tetap dikatakan titik tetap stabil
global asimtotik jika titik tetap stabil dan
, maka .
Szidarovsky Bahill 1998
2.3 Pelinearan
Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut:
̇ dengan
. Jika uraian Taylor digunakan di sekitar titik
tetap , maka persamaan 2.4 dapat
dituliskan sebagai berikut: ̇
Persamaan 2.4 merupakan SPD taklinear dengan
matriks Jacobi yang dinyatakan sebagai berikut:
[ ]
Suku berorde tinggi dan memenuhi
sehingga pada
persamaan 2.3 disebut pelinearan dari sistem persamaan 2.3. Jadi, sistem linear dari
persamaan 2.3 adalah ̇ .
Tu 1994
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kategori