dengan
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 2. 3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Berdasarkan persamaan 3.2, maka dapat dinotasikan
Dengan melakukan pelinearan pada fungsi
maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
atau dapat dinyatakan sebagai:
3.3.1 Analisis Kestabilan untuk
Titik tetap menyatakan kondisi hati
yang sehat. Kestabilan sistem di titik tetap diperoleh dengan memasukkan
titik tetap ke persamaan 3.8
sehingga dihasilkan matriks Jacobi:
Nilai eigen
diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan
karakteristik . Nilai eigen untuk
matriks Jacobi adalah
√ Pada kondisi
atau
maka bernilai negatif. Sedangkan pada
kondisi atau
maka bernilai positif.
Selanjutnya, notasikan Proposisi-proposisi
berikut ini
menyatakan bahwa kestabilan dari bergantung pada
. Proposisi 1
Jika maka
stabil lokal asimtotik. Bukti:
Dengan memperhatikan nilai eigen yang didapat pada persamaan 3.9 dan 3.10 serta
asumsi bahwa semua parameter bernilai positif, maka
. Karena maka
√
√ dan
bernilai negatif sehingga stabil lokal asimtotik ketika
Proposisi 2 Jika
maka
tak stabil. Bukti:
Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh pada persamaan 3.9 dan 3.10 serta asumsi
bahwa semua parameter bernilai positif, maka
. Karena maka √
√ Setidaknya satu nilai eigen menjadi
positif ketika , sehingga titik tetap
menjadi tak stabil. Berdasarkan Proposisi 1 dan 2, maka
adalah bilangan reproduksi dasar. Jadi, .
Proposisi 3 Jika
maka
stabil global. Bukti:
Karena stabil, maka
. Sehingga
cukup ditunjukkan bahwa .
Karena , maka
Misalkan
Karena atau , dan
persamaan diferensial untuk dan
berbentuk linier, maka untuk
. Karena dan
maka untuk
. Jadi, stabil global.
Untuk kondisi , salah satu nilai
eigen akan bernilai yaitu
Kondisi ini menunjukkan bahwa titik tetap yang diperoleh
berupa titik tetap tak terisolasi. Berdasarkan proposisi-proposisi di atas
diperoleh bahwa kondisi bebas penyakit yang dinyatakan oleh
, stabil lokal dan global ketika
dan tak stabil ketika .
Kestabilan tergantung hanya pada laju
interaksi hepatosit sehat dengan virus , laju
produksi virus , laju kematian sel yang
terinfeksi , dan laju kematian virus .
Laju proliferasi maksimum per kapita dari sel sehat
dan ukuran homeostatik hati tidak mempengaruhi kestabilan. Hal ini dapat
dilihat pada nilai eigen yang tidak memuat parameter
dan .
3.3.2 Analisis Kestabilan untuk
