√ Setidaknya satu nilai eigen menjadi
positif ketika , sehingga titik tetap
menjadi tak stabil. Berdasarkan Proposisi 1 dan 2, maka
adalah bilangan reproduksi dasar. Jadi, .
Proposisi 3 Jika
maka
stabil global. Bukti:
Karena stabil, maka
. Sehingga
cukup ditunjukkan bahwa .
Karena , maka
Misalkan
Karena atau , dan
persamaan diferensial untuk dan
berbentuk linier, maka untuk
. Karena dan
maka untuk
. Jadi, stabil global.
Untuk kondisi , salah satu nilai
eigen akan bernilai yaitu
Kondisi ini menunjukkan bahwa titik tetap yang diperoleh
berupa titik tetap tak terisolasi. Berdasarkan proposisi-proposisi di atas
diperoleh bahwa kondisi bebas penyakit yang dinyatakan oleh
, stabil lokal dan global ketika
dan tak stabil ketika .
Kestabilan tergantung hanya pada laju
interaksi hepatosit sehat dengan virus , laju
produksi virus , laju kematian sel yang
terinfeksi , dan laju kematian virus .
Laju proliferasi maksimum per kapita dari sel sehat
dan ukuran homeostatik hati tidak mempengaruhi kestabilan. Hal ini dapat
dilihat pada nilai eigen yang tidak memuat parameter
dan .
3.3.2 Analisis Kestabilan untuk
Titik tetap menyatakan terjadinya
infeksi HBV kronis. Titik tetap diberikan
oleh
dengan Penurunan persamaan 3.13-3.15 dapat
dilihat pada lampiran 2.
Titik tetap hanya ada ketika
Untuk mengetahui kestabilan titik tetap digunakan teorema berikut. Untuk itu
misalkan
Teorema 3 Jika
maka stabil lokal asimtotik.
Bukti: Matriks Jacobi untuk titik tetap
adalah
Nilai eigen dari matriks diperoleh
dengan menyelesaikan
persamaan karakteristik berikut:
dengan
Karena dan
positif, maka Karena
maka Perhatikan
[ ]
[ ] Karena
positif dan maka
Sehingga .
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, pada kondisi
diperoleh kondisi kestabilan untuk titik tetap
yaitu stabil lokal asimtotik. Sedangkan pada kondisi
kestabilan titik tetap adalah tak stabil,
sehingga memungkinkan terjadinya bifurkasi Hopf pada kondisi
3.3.3 Transformasi dan hasil untuk
Kestabilan tidak dapat diperoleh
dengan menggunakan cara sebelumnya. Untuk mengatasi
kesulitan ini,
digunakan transformasi yang dilakukan oleh Hwang dan
Kuang 2003, Hsu et al. 2001, dan Berezovsky et al. 2005.
Transformasi yang digunakan bertujuan agar diperoleh kestabilan global pada daerah
yang ada
di sekitar
. Dengan
mendefinisikan variabel maka transformasi akan mengubah variabel
ke Transformasi ini mengubah sistem persamaan 3.2 menjadi
sistem persamaan berikut:
Titik tetap sistem persamaan 3.16-3.18 adalah
dengan
serta dan
diberikan oleh 3.13 –
3.15. Titik tetap
hanya ada ketika dan
tak negatif. Agar dan
tak negatif, maka atau
Titik tetap hanya ada ketika
dan tak negatif, yaitu ketika
Titik tetap yang masih tetap ada yaitu dan
, sementara terpecah
menjadi dua titik tetap, dan
. Hasil di bawah ini membuktikan bahwa
stabil secara global.
Lemma 1
Titik tetap tak stabil
Bukti: Matriks Jacobi dari sistem persamaan 3.16-
3.18 untuk titik tetap adalah
dengan √
√ Karena
maka titik tetap tak
stabil. Ketika
titik tetap adalah satu-satunya titik tetap yang ada pada
sistem persamaan 3.16-3.18. Karena tak
stabil, maka tidak ada titik tetap stabil pada 3.16-3.18. Lemma 2 dan Teorema 4
memperlihatkan bahwa jika dan
, stabil secara global.
Lemma 2 Jika
maka untuk .
Bukti: Berdasarkan persamaan 3.17 berikut:
dan maka
Berdasarkan persamaan 3.18, dan suku keempat pada ruas kanan persamaan
3.18 positif, maka
Misalkan
Satu-satunya titik tetap sistem 3.19- 3.20 adalah titik
dan stabil pada kondisi
Karena tidak terdapat titik tetap yang lain, maka
dengan . Karena
maka .
Teorema 4
Jika dan
maka untuk
.
Bukti: Perhatikan persamaan 3.16 berikut:
Karena maka
atau Agar
untuk , maka cukup dibuktikan bahwa untuk
atau Misalkan
maka
Jika persamaan
3.17 dan
3.18 disubstitusikan ke dalam persamaan di atas,
maka diperoleh [ ]
Karena dan positif, maka
[ ] Karena
Maka menurut definisi limit di ketakhinggaan, diperoleh bahwa untuk
yang diberikan, terdapat
dengan sehingga
Jika pertaksamaan 3.23 disubstitusikan ke dalam 3.22, maka untuk
Jika bentuk di atas diintegralkan terhadap ,
maka diperoleh dengan
Misalkan Karena
dan , maka sehingga
Karena
maka Karena
dan maka bentuk
memberikan Jadi, dapat dipilih
sehingga dengan
Dengan demikian diperoleh atau
yang merupakan persamaan 3.21. Karena
dan sistem persamaan 3.2 terbatas, maka
ketika dan Sehingga,
Teorema 4 dan Lemma 2 membuktikan bahwa pada sistem persamaan 3.2 stabil secara
global, ketika dan
. Hal ini membuktikan bahwa infeksi virus
yang cukup dapat mengakibatkan kegagalan hati yang berakibat fatal.
Berikut ini adalah tabel kondisi kestabilan ketiga titik tetap yang diperoleh. Dari Tabel 1
dapat dilihat bahwa kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh tidak mungkin stabil
secara bersamaan.
Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap Kasus
Kondisi 1
Sadel Stabil
Sadel
2 Sadel
Sadel Spiral stabil
3 Sadel
Sadel Spiral tak
stabil 4
Stabil Sadel
Sadel
3.4 Dinamika Pertumbuhan Populasi
