dengan adalah matriks identitas. Persamaan
2.6 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika:
| | 2.7 Persamaan
2.7 disebut
persamaan karakteristik dari matriks
. Anton 1995
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan matriks
berukuran sebagai berikut:
dengan persamaan karakteristik dan
adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya menjadi
sedemikian sehingga diperoleh persamaan: dengan
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks
sebagai berikut: √
Berikut akan ditinjau tiga kasus untuk nilai :
Kasus . Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda,
maka titik tetap bersifat “sadel”. Kasus .
.
- Jika dan kedua nilai eigen real
bernilai positif, maka titik tetap bersifat “simpul tak stabil”.
- Jika dan kedua nilai eigen real
bernilai negatif, maka titik tetap bersifat “simpul stabil”.
.
- Jika dan kedua nilai eigen
imajiner , maka titik
tetap bersifat “spiral tak stabil”. -
Jika dan kedua nilai eigen imajiner
, maka titik tetap bersifat “spiral stabil”.
- Jika dan kedua nilai eigen
imajiner murni , maka
titik tetap bersifat “center”.
. -
Parabola adalah garis
batas antara simpul dan spiral. Star nodes dan degenerate terletak pada
parabola ini. Jika kedua nilai eigen bernilai sama, maka titik tetap
bersifat “simpul sejati”. Kasus .
Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap
bersifat “titik tetap tak terisolasi”.
Strogatz 1994
2.6 Kriteria Kestabilan Teorema 1
Routh-Hurwitz criterian Misalkan
bilangan-bilangan real,
jika . Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik
mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks M
berukuran berikut
[ ]
adalah positif, dengan Berdasarkan
kriteria Routh-Hurwitz,
untuk suatu nilai disebutkan
bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika
Untuk kasus , kriteria Routh-Hurwitz
disajikan pada teorema berikut: Teorema 2
Misalkan bilangan-bilangan real.
Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
adalah negatif jika dan hanya jika positif
dan .
Fisher 1990
Bukti: lihat lampiran 1
2.7 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah rata- rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi
secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi
tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Bilangan reproduksi
dasar dilambangkan dengan
. Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu
1. Jika
maka penyakit akan menghilang.
2. Jika
, maka penyakit akan menetap.
3. Jika
maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.
Giesecke 1994
2.8 Bifurkasi
Bifurkasi adalah suatu kondisi dimana terjadinya perubahan pada sistem, bisa berupa
perubahan banyaknya
titik tetap
atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang
mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi.
Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus-kasus untuk bifurkasi saddle-node,
bifurkasi transcritical, dan bifurkasi pitchfork. Sedangkan pada kasus dua-dimensi ditemukan
kasus bifurkasi Hopf.
Strogatz 1994
Teorema Bifurkasi Hopf
Perhatikan sistem persamaan diferensial orde-2 berikut:
dengan parameter dan
positif serta vektor fungsi dengan adalah daerah asal pada
Misalkan bahwa sistem 2.8 memiliki titik tetap di sekitar
yaitu sehingga: Misalkan
matriks pelinearan dari 2.8 untuk titik tetap
, maka: Misalkan bahwa
memiliki nilai eigen imajiner murni
, sehingga: Jika matriks
, didefinisikan oleh: maka
sehingga terjadi perubahan kestabilan titik tetap yaitu spiral stabil dan
spiral tak stabil serta ada solusi periodik dari 2.8 untuk
di sekitar dan di sekitar dengan periode
untuk yang kecil.
Murray 1993
2.9 Siklus Limit Limit Cycle
Siklus limit adalah orbit tertutup yang terisolasi, yaitu bahwa orbit di sekelilingnya
menuju atau menjauhi siklus limit. Siklus limit dikatakan stabil jika dikelilingi oleh orbit
yang menuju ke siklus limit tersebut, jika menjauhi, maka siklus limit tak stabil.
Strogatz 1994
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas mengenai model infeksi virus hepatitis B berdasarkan
model awal. Kemudian dilakukan analisis model dan menggambarkannya dalam bentuk
simulasi.
3.1 Model Matematika
