Nilai Eigen dan Vektor Eigen Kriteria Kestabilan Teorema 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear Misalkan suatu sistem persamaaan diferensial biasa dinyatakan sebagai ̇ dengan adalah matriks koefisien berukuran dan adalah vektor konstan. Sistem persamaan 2.1 dinamakan sistem persamaan diferensial biasa linear orde satu. Jika , maka sistem persamaan 2.1 dikatakan homogen, dan jika , maka sistem persamaan 2.1 dikatakan takhomogen. Tu 1994 Definisi 2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai ̇ 2.2 dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan 2.2 disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri autonomous karena fungsi tidak memuat secara eksplisit. Tu 1994

2.2 Titik Tetap

Tinjau persamaan diferensial 2.2. Jika titik memenuhi , maka titik disebut titik tetap, atau titik kritis atau titik kesetimbangan. Verhulst 1990

2.2.1 Titik Tetap Stabil

Misalkan adalah titik tetap SPD mandiri 2.2 dan adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan . Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk sebarang radius terdapat sehingga jika posisi awal memenuhi | | , maka solusi memenuhi | | untuk . Verhulst 1990 2.2.2 Titik Tetap Tak Stabil Misalkan adalah titik tetap SPD mandiri 2.2 dan adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan . Titik dikatakan titik tetap tak stabil jika terdapat radius sehingga jika posisi awal memenuhi | | untuk sebarang, maka solusi memenuhi | | untuk paling sedikit satu . Verhulst 1990

2.2.3 Titik Tetap Stabil Lokal Asimtotik

Titik tetap dikatakan titik tetap stabil lokal asimtotik jika titik tetap stabil dan terdapat sedemikian sehingga jika | | , maka . Szidarovsky Bahill 1998

2.2.4 Titik Tetap Stabil Global Asimtotik

Titik tetap dikatakan titik tetap stabil global asimtotik jika titik tetap stabil dan , maka . Szidarovsky Bahill 1998

2.3 Pelinearan

Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut: ̇ dengan . Jika uraian Taylor digunakan di sekitar titik tetap , maka persamaan 2.4 dapat dituliskan sebagai berikut: ̇ Persamaan 2.4 merupakan SPD taklinear dengan matriks Jacobi yang dinyatakan sebagai berikut: [ ] Suku berorde tinggi dan memenuhi sehingga pada persamaan 2.3 disebut pelinearan dari sistem persamaan 2.3. Jadi, sistem linear dari persamaan 2.3 adalah ̇ . Tu 1994

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan matriks berukuran , maka suatu vektor taknol di disebut vektor eigen dari jika untuk suatu skalar berlaku: 2.5 Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran , maka persamaan 2.5 dapat ditulis sebagai berikut: 2.6 dengan adalah matriks identitas. Persamaan 2.6 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika: | | 2.7 Persamaan 2.7 disebut persamaan karakteristik dari matriks . Anton 1995 2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan matriks berukuran sebagai berikut: dengan persamaan karakteristik dan adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya menjadi sedemikian sehingga diperoleh persamaan: dengan Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut: √ Berikut akan ditinjau tiga kasus untuk nilai :  Kasus . Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda, maka titik tetap bersifat “sadel”.  Kasus .  . - Jika dan kedua nilai eigen real bernilai positif, maka titik tetap bersifat “simpul tak stabil”. - Jika dan kedua nilai eigen real bernilai negatif, maka titik tetap bersifat “simpul stabil”.  . - Jika dan kedua nilai eigen imajiner , maka titik tetap bersifat “spiral tak stabil”. - Jika dan kedua nilai eigen imajiner , maka titik tetap bersifat “spiral stabil”. - Jika dan kedua nilai eigen imajiner murni , maka titik tetap bersifat “center”.  . - Parabola adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star nodes dan degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen bernilai sama, maka titik tetap bersifat “simpul sejati”.  Kasus . Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat “titik tetap tak terisolasi”. Strogatz 1994

2.6 Kriteria Kestabilan Teorema 1

Routh-Hurwitz criterian Misalkan bilangan-bilangan real, jika . Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks M berukuran berikut [ ] adalah positif, dengan Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, untuk suatu nilai disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika Untuk kasus , kriteria Routh-Hurwitz disajikan pada teorema berikut: Teorema 2 Misalkan bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik adalah negatif jika dan hanya jika positif dan . Fisher 1990 Bukti: lihat lampiran 1

2.7 Bilangan Reproduksi Dasar