II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear
SPDL
Persamaan diferensial linear orde-1 dinyatakan sebagai berikut:
x a t x
g t +
= 2.1
dengan a t dan
g t adalah fungsi dari waktu t. Bila
a t adalah suatu matriks berukuran
n n ×
dengan koefisien konstan dan
g t dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai
berikut:
, dx
Ax b x
x dt
= +
=
. 2.2 Farlow,
1990
2.2 Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan differensial sebagai berikut
1 2
, ,...
n
f x x x
=
x
,
1 2
, ,...,
n n
x x x
∈ ℜ
. 2.3 Suatu titik
x yang memenuhi
f x =
disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem.
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks
n n ×
, maka suatu vektor taknol
x
di dalam
n
R
disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar
λ
berlaku Ax
x
λ
= 2.4
vektor
x
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
λ
. Untuk mencari nilai eigen dari
matriks A yang berukuran
n n ×
maka persamaan 2.4 dapat dituliskan kembali
sebagai berikut A
I x λ
− = 2.5
denganI matriks identitas. Persamaan 2.5 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika
det A
I A
I λ
λ −
= −
= . 2.6 Persamaan 2.7 disebut persamaan
karakteristik dari matriks A. [Tu, 1994]
2.4 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan differensial sembarang
x f x
= ,
n
x ∈ℜ . 2.7
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks
J
. Penentuan kestabilan titik tetap
didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu
i
λ dengan
1, 2, 3, ..., i
n =
yang diperoleh dari
det A
I
λ
− =
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah
negatif
i
λ untuk semua i
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih kecilatau sama dengan nol
Re
i
λ
≤
untuk semua i. 2.
Takstabil, jika a.
Setiap nilai eigen real adalah negatif
i
λ untuk semua i.
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol
Re
i
λ
≤
untuk semua i. 3.
Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
i j
λ λ
untuk i dan j sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat takstabil.
[Tu, 1994]
2.5 Bidang Fase