Sistem Persamaan Diferensial Linear Titik Tetap Nilai Eigen dan Vektor Eigen Analisis Kestabilan Titik Tetap

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear

SPDL Persamaan diferensial linear orde-1 dinyatakan sebagai berikut: x a t x g t + = 2.1 dengan a t dan g t adalah fungsi dari waktu t. Bila a t adalah suatu matriks berukuran n n × dengan koefisien konstan dan g t dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut: , dx Ax b x x dt = + = . 2.2 Farlow, 1990

2.2 Titik Tetap

Diberikan sistem persamaan differensial sebagai berikut 1 2 , ,... n f x x x = x , 1 2 , ,..., n n x x x ∈ ℜ . 2.3 Suatu titik x yang memenuhi f x = disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem.

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan A adalah matriks n n × , maka suatu vektor taknol x di dalam n R disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku Ax x λ = 2.4 vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n × maka persamaan 2.4 dapat dituliskan kembali sebagai berikut A I x λ − = 2.5 denganI matriks identitas. Persamaan 2.5 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika det A I A I λ λ − = − = . 2.6 Persamaan 2.7 disebut persamaan karakteristik dari matriks A. [Tu, 1994]

2.4 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Diberikan sistem persamaan differensial sembarang x f x = , n x ∈ℜ . 2.7 Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks J . Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu i λ dengan 1, 2, 3, ..., i n = yang diperoleh dari det A I λ − = Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut 1. Stabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif i λ untuk semua i b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecilatau sama dengan nol Re i λ ≤ untuk semua i. 2. Takstabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif i λ untuk semua i. b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol Re i λ ≤ untuk semua i. 3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif i j λ λ untuk i dan j sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat takstabil. [Tu, 1994]

2.5 Bidang Fase