i j
λ λ
untuk i dan j sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat takstabil.
[Tu, 1994]
2.5 Bidang Fase
Suatu persamaan diferensial x
f x =
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka
diperlukan solusi kualitatif. Salah satu solusi kualitatif adalah diagram fase. Diagram fase
akan menggambarkan perubahan kecepatan
x
terhadap
x
2.6 Bidang Solusi
Bidang solusi merupakan bidang yang menggambarkan solusi persamaan
differensial terhadap parameter yang telah ditentukan.
2.7 Model Logistik
Model logistik adalah model yang diperkenalkan oleh Verhulst pada 1838.
Model ini dapat dituliskan sebagai berikut :
1 N
N rN
K ⎛
⎞ =
− ⎜
⎟ ⎝
⎠
dimana: N adalah populasi pada waktu t
K adalah Konstanta r adalah tingkat pertumbuhan
Dari persamaan di atas dapat ditentukan titik tetapnya dengan menjadikan
N =
sehingga diperoleh pada saat
N =
atau
N K
=
, yang dapat dilihat pada gambar berikut.
Dalam gambar juga dapat dilihat aliran
bahwa =
N adalah titik tetap tak stabil
dan K
N =
adalah titik tetap stabil.
2.8 Model mangsa Pemangsa Lotka-
Volterra
Persamaan Lotka-Volterra, juga dikenal sebagai persamaan predator-mangsa,
yang merupakan sepasang persamaan diferensial orde pertama dan non-linear.
Persamaan diferensial sering digunakan untuk menggambarkan dinamika sistem
biologi dimana dua spesies berinteraksi, sebagai contoh predator dan mangsa yang
lainnya. Mereka berkembang dalam waktu sesuai dengan sepasang persamaan:
dx x
y dt
dy y
x dt
α β γ δ
= −
= − −
dimana
x
: banyaknya mangsa
y
: banyaknya pemangsa dx
dt : menggambarkan pertumbuhan
mangsa pada waktu t dy
dt : menggambarkan pertumbuhan
pemangsa pada waktu t t
: waktu α
: laju kelahiran mangsa γ
: laju kematian pemangsa
N N
K2
K
Gambar 1 Plot antara
N
terhadap N
III PEMBAHASAN
3.1 Model Mangsa Pemangsa dengan Respon Fungsional Tak Monoton
Sistem mangsa pemangsa yang telah dikenal banyak orang dan sering
dikembangkan di antaranya sistem mangsa pemangsa Lotka-Volterra.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model mangsa pemangsa dengan
respon fungsional tak monoton yang dipelajari oleh Zhu, Campbell dan
Wolkowicz Xiao dan Zhu, 2006 dimana respon fungsional adalah tingkat asupan
konsumen sebagai fungsi dari kepadatan makanan. Dalam penelitian ini digunakan
kelas respon fungsional tak monoton.
2
2
1 1
3.1 1
x xy
x rx
K x
bx x
y y
d x
bx ⎛
⎞ =
− −
⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − +
⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠
di mana : Banyaknya populasi mangsa pada
waktu t : Banyaknya populasi pemangsa
pada waktu t : Tingkat pertumbuhan maksimum
r 0 : Tingkat kematian pemangsa
: Konstanta b R : Carrying Capacity K 0
Berikut ini akan ditentukan titik tetap dari persamaan 3.1 dengan menjadikan:
x y
= =
diperoleh empat buah titik tetap berikut perhitungan secara analitis di Lampiran 1
dan dengan Mathematica 7.0 di Lampiran 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 3
2 2
3 4
1 1 2
1 2 4
2 1
0, 0 , 0
1 2 4
2 1 2
4 1
1 2 1 2
1 4
1 ,
2
1 4
1 ,
4 2
2 d
b d bd
d b d
d K d
bd d
b d K
b T
T K
bd d
bd d
T d
bd d
b d dK r
d b d
bd d
b d d K
bd d
bd d
T d
− + −
− −
− +
+ +
− −
+ +
+ −
= =
⎛ ⎞
− + −
+ − + ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
− +
− ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− + −
+ − + −
= − +
− −
− −
+ −
+
2 2
2 2
2 2
1 1 2
4 2
1 2 4
bd d
b d K
bd bd
d b d
dK r ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ +
− −
+ +
+ −
− +
−
Sistem persamaan 3.1 mempunyai matriks Jacobi sebagai berikut :
3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Akan dilakukan penentuan kestabilan titik tetap pada masing-masing
titik. 1.
1
0, 0 T
= kemudian kita subsititusikan
kedalam matriks Jacobi di atas akan diperoleh matriks Jacobi sebagai
berikut r
J d
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎣
⎦ sehingga kita
peroleh bahwa nilai
1
r λ = dan
2
d λ = − sehingga kestabilan titik tetap
tersebut adalah sadel. 2.
2
, 0 T
K =
kemudian kita subsititusikan kedalam matriks Jacobi
di atas akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
2 2
1 1
K r
bK K
J K
d bK
K ⎡
⎤ −
− ⎢
⎥ +
+ = ⎢
⎥ ⎢
⎥ − +
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
,
sehingga kita peroleh
1
r λ = − dan
2 2
1
K d
bK K
λ
= − + +
+
maka kestabilan titik tetap tersebut adalah stabil jika
2 2 2
2 2 2
2 2
2 1
1 1
1 2
1 1
1 1
rx x
x b x y
y x
r K
K bx
x bx
x bx
x J
x b x
x y
d bx
x bx
x bx
x ⎡
+ ⎤
⎛ ⎞
− +
− +
− −
⎜ ⎟
⎢ ⎥
+ +
+ +
+ +
⎝ ⎠
⎢ ⎥
= ⎢
⎥ ⎛
⎞ +
− +
− + ⎢
⎥ ⎜
⎟ +
+ +
+ +
+ ⎝
⎠ ⎣
⎦
2
1 K
d bK
K +
+ dan sadel jika
2
1 K
d bK
K +
+
3.3 Simulasi Model pada r • r =1
