2
1 K
d bK
K +
+ dan sadel jika
2
1 K
d bK
K +
+
3.3 Simulasi Model pada r • r =1
Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah
diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu
1 r
=
, b
= ,
1.809 K
=
, 0.372
d =
Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4
buah titik tetap yaitu
1 2
3 4
0, 0 1.81, 0
2.24, 1.44 0.45, 0.9
T T
T T
= =
= −
= Selanjutnya akan dibentuk matriks
Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameter-
parameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut :
Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing
titik sebagai berikut : 1.
1
0, 0 T
=
,
1 2
, R
R
λ λ
+ −
= =
, Menurut teori kestabilan titik tetap
jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe
Saddle Node
2.
2
1.81, 0 T
=
,
1 2
, R
R
λ λ
+ −
= =
, titik tetap ini memilik tipe titik tetap
Saddle Node,
karena nilai eigennya berbeda tanda.
3.
3
2.24, 1.44 T
= −
,
1 2
, R
R
λ λ
− −
= =
,dan
τ
, maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua
nilai eigen bertanda sama dan tracenya positif, maka titik tetap
tersebut memiliki tipe Node Stabil
4.
4
0.45, 0.9 T
=
,
1
λ
dan
2
λ
adalah anggota dari Bilangan Kompleks
Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan
titik tetap adalah tipe spiral tak stabil.
Bidang Fase
Dengan memasukkan parameter di atas kita akan mencari bidang fase dengan
menggunakan software
Mathematica
, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai
berikut.
Bidang Solusi
Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah
Maple
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 1 1.0511
- -
1 1
1 2
1 -
-0.372 1
1 1
x y
y x
x x
x x
J x
x y
x x
x ⎡
⎤ +
− +
⎢ ⎥
+ +
+ ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⎛ ⎞
+ +
⎢ ⎥
⎜ ⎟
+ +
+ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ Gambar 2 Bidang Fase r = 1
Gambar 3 Bidang Solusi r = 1
Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa garis hitam berosilasi pada titik 0.5
sedangkan pemangsa garis redup berosilasi pada titik 1.
•
r =0.8
Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah
diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu
0.8 r
=
, b
= ,
1.809 K
=
, dan 0.372
d =
Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4
buah titik tetap yaitu
1 2
3 4
0, 0 1.81, 0
2.24, 1.15 0.45, 0.72
T T
T T
= =
= −
= Selanjutnya akan dibentuk matriks
Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameter-
parameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut :
Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing
titik sebagai berikut : 1.
1
0, 0 T
=
,
1 2
, R
R
λ λ
+ −
= =
, Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai
eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe
Saddle Node
2.
3
1.81, 0 T
=
,
1 2
, R
R
λ λ
+ −
= =
, titik tetap ini memilik tipe titik tetap
Saddle Node,
karena nilai eigennya berbeda tanda.
3.
2
2.24, 1.15 T
= −
,
1 2
, R
R
λ λ
− −
= =
, dan kedua
τ
, maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua nilai
eigen dengan tanda sama dan tracenya negatif, maka titik tetap
tersebut memiliki tipe Node Stabil.
4.
4
0.45, 0.72 T
=
,
1
λ
dan
2
λ
adalah anggota dari Bilangan Kompleks
Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan
titik tetap adalah tipe spiral tak stabil.
Bidang Fase
Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan
menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai
berikut.
Bidang Solusi
Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple
Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa garis hitam berosilasi pada titik 0.5
sedangkan pemangsa garis redup berosilasi pada titik 0.8.
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 0.81- 0.553 - 0.442
- -
1 1
1 2
1 -
-0.372 1
1 1
x y
y x
x x
x x
x J
x x
y x
x x
⎡ ⎤
+ +
⎢ ⎥
+ +
+ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎛
⎞ +
+ ⎢
⎥ ⎜
⎟ +
+ +
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
Gambar 4 Bidang Fase r = 0.8
Gambar 5 Bidang Solusi r = 0.8
•
r =0.4
Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah
diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu
0.4 r
=
, b
= ,
1.809 K
=
, dan 0.372
d =
Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4
buah titik tetap yaitu
1 2
3 4
0, 0 1.81, 0
2.24, 0.58 0.45, 0.36
T T
T T
= =
= −
= Selanjutnya akan dibentuk matriks
Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameter-
parameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :
Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing
titik. Hasil analisis tersebut adalah sebagai berikut :
1.
1
0, 0 T
=
,
1 2
, R
R
λ λ
+ −
= =
, Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai
eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe
Saddle Node
2.
2
1.81, 0 T
=
,
1 2
, R
R
λ λ
+ −
= =
, titik tetap ini memilik tipe titik tetap
Saddle Node,
karena nilai eigennya berbeda tanda.
3.
3
2.24, 0.58 T
= −
,
1 2
, R
R
λ λ
− −
= =
,dan kedua
τ
, maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua
nilai eigen bertanda sama dan tracenya negatif, maka titik tetap
tersebut memiliki tipe Node stabil.
4.
4
0.45, 0.36 T
=
,
1
λ
dan
2
λ
adalah anggota dari Bilangan Kompleks
Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan
titik tetap adalah tipe spiral tak stabil
Bidang Fase
Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan
menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai
berikut.
Bidang Solusi
Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple
Pada bidang solusi terlihat bahwa
mangsa garis hitam berosilasi pada titik 0.6 sedangkan pemangsa garis redup berosilasi
pada titik 0.5. Dari simulasi analisis titik tetap di
atas, diperoleh sebagai berikut
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 0.41- 0.553 - 0.221
- -
1 1
1 2
1 -
-0.372 1
1 1
x y
y x
x x
x x
x J
x x
y x
x x
⎡ ⎤
+ +
⎢ ⎥
+ +
+ ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⎛ ⎞
+ +
⎢ ⎥
⎜ ⎟
+ +
+ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦
Gambar 6 Bidang Fase r = 0.4
Gambar 7 Bidang Solusi r = 0.4
Tabel 1 Analisis terhadap perubahan
r
T1 T2
T3 T4
r=1 Saddle
Node Saddle
Node Node
Stabil Spiral
Tak Stabil
r=0.8 Saddle
Node Saddle
Node Node
Stabil Spiral
Tak Stabil
r=0.4 Saddle
Node Saddle
Node Node
Stabil Spiral
Tak Stabil
3.4 Simulasi Model pada d • d = 0.5