Simulasi Model pada r • r =1

2 1 K d bK K + + dan sadel jika 2 1 K d bK K + +

3.3 Simulasi Model pada r • r =1

Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu 1 r = , b = , 1.809 K = , 0.372 d = Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4 buah titik tetap yaitu 1 2 3 4 0, 0 1.81, 0 2.24, 1.44 0.45, 0.9 T T T T = = = − = Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameter- parameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut : Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik sebagai berikut : 1. 1 0, 0 T = , 1 2 , R R λ λ + − = = , Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node 2. 2 1.81, 0 T = , 1 2 , R R λ λ + − = = , titik tetap ini memilik tipe titik tetap Saddle Node, karena nilai eigennya berbeda tanda. 3. 3 2.24, 1.44 T = − , 1 2 , R R λ λ − − = = ,dan τ , maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua nilai eigen bertanda sama dan tracenya positif, maka titik tetap tersebut memiliki tipe Node Stabil 4. 4 0.45, 0.9 T = , 1 λ dan 2 λ adalah anggota dari Bilangan Kompleks Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan titik tetap adalah tipe spiral tak stabil. Bidang Fase Dengan memasukkan parameter di atas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica , maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. Bidang Solusi Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1.0511 - - 1 1 1 2 1 - -0.372 1 1 1 x y y x x x x x J x x y x x x ⎡ ⎤ + − + ⎢ ⎥ + + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Gambar 2 Bidang Fase r = 1 Gambar 3 Bidang Solusi r = 1 Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa garis hitam berosilasi pada titik 0.5 sedangkan pemangsa garis redup berosilasi pada titik 1. • r =0.8 Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu 0.8 r = , b = , 1.809 K = , dan 0.372 d = Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4 buah titik tetap yaitu 1 2 3 4 0, 0 1.81, 0 2.24, 1.15 0.45, 0.72 T T T T = = = − = Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameter- parameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut : Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik sebagai berikut : 1. 1 0, 0 T = , 1 2 , R R λ λ + − = = , Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node 2. 3 1.81, 0 T = , 1 2 , R R λ λ + − = = , titik tetap ini memilik tipe titik tetap Saddle Node, karena nilai eigennya berbeda tanda. 3. 2 2.24, 1.15 T = − , 1 2 , R R λ λ − − = = , dan kedua τ , maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua nilai eigen dengan tanda sama dan tracenya negatif, maka titik tetap tersebut memiliki tipe Node Stabil. 4. 4 0.45, 0.72 T = , 1 λ dan 2 λ adalah anggota dari Bilangan Kompleks Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan titik tetap adalah tipe spiral tak stabil. Bidang Fase Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. Bidang Solusi Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa garis hitam berosilasi pada titik 0.5 sedangkan pemangsa garis redup berosilasi pada titik 0.8. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.81- 0.553 - 0.442 - - 1 1 1 2 1 - -0.372 1 1 1 x y y x x x x x x J x x y x x x ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ + + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Gambar 4 Bidang Fase r = 0.8 Gambar 5 Bidang Solusi r = 0.8 • r =0.4 Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu 0.4 r = , b = , 1.809 K = , dan 0.372 d = Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4 buah titik tetap yaitu 1 2 3 4 0, 0 1.81, 0 2.24, 0.58 0.45, 0.36 T T T T = = = − = Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameter- parameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik. Hasil analisis tersebut adalah sebagai berikut : 1. 1 0, 0 T = , 1 2 , R R λ λ + − = = , Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node 2. 2 1.81, 0 T = , 1 2 , R R λ λ + − = = , titik tetap ini memilik tipe titik tetap Saddle Node, karena nilai eigennya berbeda tanda. 3. 3 2.24, 0.58 T = − , 1 2 , R R λ λ − − = = ,dan kedua τ , maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua nilai eigen bertanda sama dan tracenya negatif, maka titik tetap tersebut memiliki tipe Node stabil. 4. 4 0.45, 0.36 T = , 1 λ dan 2 λ adalah anggota dari Bilangan Kompleks Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan titik tetap adalah tipe spiral tak stabil Bidang Fase Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. Bidang Solusi Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa garis hitam berosilasi pada titik 0.6 sedangkan pemangsa garis redup berosilasi pada titik 0.5. Dari simulasi analisis titik tetap di atas, diperoleh sebagai berikut 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.41- 0.553 - 0.221 - - 1 1 1 2 1 - -0.372 1 1 1 x y y x x x x x x J x x y x x x ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ + + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Gambar 6 Bidang Fase r = 0.4 Gambar 7 Bidang Solusi r = 0.4 Tabel 1 Analisis terhadap perubahan r T1 T2 T3 T4 r=1 Saddle Node Saddle Node Node Stabil Spiral Tak Stabil r=0.8 Saddle Node Saddle Node Node Stabil Spiral Tak Stabil r=0.4 Saddle Node Saddle Node Node Stabil Spiral Tak Stabil

3.4 Simulasi Model pada d • d = 0.5