Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-
simpul pada graf
11
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 14
6
= 4
1
= 23
7
= 22
2
= 2
8
= 5
3
= 26
9
= 25
4
= 3
10
= 8
5
= 31 Dipilih
= 46, maka diperoleh label sisi, sehingga
1
+
2
+
1 2
= 23 + 2 + 21 = 46
2
+
3
+
2 3
= 2 + 26 + 18 = 46
3
+
4
+
3 4
= 26 + 3 + 17 = 46
4
+
5
+
4 5
= 3 + 31 + 12 = 46
5
+
6
+
5 6
= 31 + 4 + 11 = 46
6
+
7
+
6 7
= 4 + 22 + 20 = 46
7
+
8
+
7 8
= 22 + 5 + 19 = 46
8
+
9
+
8 9
= 5 + 25 + 16 = 46
9
+
10
+
9 10
= 25 + 8 + 13 = 46
10
+
1
+
10 1
= 8 + 23 + 15 = 46
+
1
+
0 1
= 14 + 23 + 9 = 46
+
2
+
0 2
= 14 + 2 + 30 = 46
+
3
+
0 3
= 14 + 26 + 6 = 46
+
4
+
0 4
= 14 + 3 + 29 = 46
+
5
+
0 5
= 14 + 31 + 1 = 46
+
6
+
0 6
= 14 + 4 + 28 = 46
+
7
+
0 7
= 14 + 22 + 10 = 46
+
8
+
0 8
= 14 + 5 + 27 = 46
+
9
+
0 9
= 14 + 25 + 7 = 46
+
10
+
0 10
= 14 + 8 + 24 = 46
dan dapat digambarkan sebagai berikut
23 21
2 18
26 17
3 12
31 11
4 20
22 19
16 25
13 8
15
14 9
30 6
29 1
28 10
27 7
24
5
Gambar 32 Pelabelan edge magic pada graf
11
. Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat
dilihat bahwa dengan order dan
mod 4 yaitu
4
dan
8
bukan graf edge magic. Sedangkan
dengan order dan 0 mod 4 yaitu
6
,
9
, dan
11
merupakan graf edge magic.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki
pelabelan graf yang super edge magic. Selain itu ditunjukkan pula bahwa graf cycle
� adalah graf super edge magic jika dan hanya
jika bilangan ganjil. Graf � dengan order
bilangan genap tidak dapat ditunjukkan mempunyai pelabelan super edge magic
hanya dapat ditunjukkan pelabelan edge magic-nya.
Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan bahwa graf wheel
dengan order bukan graf super edge magic, bahkan
dengan 0 mod 4 bukan graf edge magic. Graf
wheel hanya memiliki pelabelan edge
magic pada saat 0 mod 4, sedangkan graf
dengan order dan 0 mod 4 bukan
graf edge magic. Suatu graf
� memiliki pelabelan super edge magic jika graf tersebut memiliki
pelabelan edge magic. Tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya, yaitu suatu graf
� yang memiliki pelabelan edge magic belum tentu
memiliki pelabelan super edge magic.
4.2 Saran
Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf
wheel. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan
super edge magic dapat mencari pada graf selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya
pada graf complete, graf complete bipartite, graf Petersen yang diperumum, atau pada graf
yang lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York: McGraw-Hill. Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T,
Ringel G. 1998. Super edge-magic graphs. SUT Journal of Mathematics
34: 105-109. Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications.
New York: Springer-Verlag. Fukuchi Y. 2001. Edge-magic labelings of
wheel graphs. Tokyo J. Math 24: 153- 167.
LAMPIRAN
Lampiran 1
bukti graf �
4
bukan graf super edge magic. Misalkan diberikan graf
�
4
dengan banyaknya simpul
4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14.
Untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka simpul dan sisinya dilabeli
dengan :
�
4
→ {1, 2, 3, 4} dan : � �
4
→ {5, 6, 7, 8}. Ada beberapa kemungkinan untuk
melabeli graf �
4
, di antaranya: i
Misalkan = 4 dan = 3, maka
yang mungkin adalah = 8 dan
= + +
= 4 + 3 + 8 = 15
Untuk = 2 dan = 1 tidak ada
nilai yang mungkin, sehingga + + = 15
3 + 2 + = 15
= 10 + + = 15
2 + 1 + = 15
= 12 + + = 15
4 + 1 + = 15
= 10 =
= 10 dan = 12
tidak mungkin
karena :
�
4
→ {1, 2, 3, 4} dan
: � �
4
→ {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
1
2 3
8
Gambar 33 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 2,
= 1, dan = 8.
Sedangkan untuk = 1 dan =
2 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga + + = 15
3 + 1 + = 15
= 11 + + = 15
1 + 2 + = 15
= 12 + + = 15
4 + 2 + = 15
= 9 = 11,
= 12, dan =
9 tidak mungkin karena :
�
4
→ {1, 2, 3, 4} dan
: � �
4
→ {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
2
1 3
8
Gambar 34 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 1,
= 2, dan = 8.
ii Misalkan
= 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 7
dan =
+ + = 4 + 3 + 7
= 14 Untuk
= 2 dan = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga
+ + = 14 3 + 2 +
= 14 = 9
+ + = 14 2 + 1 +
= 14 = 11
+ + = 14 4 + 1 +
= 14 = 9
= = 9 dan
= 11 tidak
mungkin karena
: �
4
→ {1, 2, 3, 4} dan
: � �
4
→ {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
1
2 3
7
Gambar 35 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 2,
= 1, dan = 7.
Sedangkan untuk = 1 dan =
2 ada nilai yang mungkin, yaitu + + = 14
4 + 2 + = 14
= 8 Ada dua kemungkinan untuk
yaitu 5 dan 6. Jika
= 5 maka =
+ + = 3 + 1 + 5
= 9 Jika
= 6 maka =
+ + = 3 + 1 + 6
= 10 Karena untuk
= 5 yaitu = 9 dan
= 6 yaitu = 10, maka
= 14 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk
yaitu 5 dan 6 maka
= 14 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
2
1 3
7 8
Gambar 36 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 1,
= 2, = 7, dan = 8.
iii Misalkan
= 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 6
dan =
+ + = 4 + 3 + 6
= 13 Untuk
= 2 dan = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu
+ + = 13 4 + 1 +
= 13 = 8
+ + = 13 3 + 2 +
= 13 = 8
Karena ada nilai yang sama yaitu =
= 8 maka
syarat pelabelan super edge magic tidak
dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu
+ + = 13 2 + 1 +
= 13 = 10
Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut
4
1
2 3
6
Gambar 37 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 2,
= 1, dan = 6.
Sedangkan untuk = 1 dan =
2 ada nilai yang mungkin, yaitu + + = 13
4 + 2 + = 13
= 7 Ada dua kemungkinan untuk
yaitu 5 dan 8. Jika
= 5 maka =
+ + = 3 + 1 + 5
= 9 Jika
= 8 maka =
+ + = 3 + 1 + 8
= 12 Karena untuk
= 5 yaitu = 9 dan
= 8 yaitu = 12, maka
= 13 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk
yaitu 5 dan 8 maka
= 13 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
2
1 3
6 7
Gambar 38 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 1,
= 2, = 6, dan = 7.
iv Misalkan
= 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 5
dan =
+ + = 4 + 3 + 5
= 12
Untuk = 2 dan = 1 ada nilai
yang mungkin, yaitu + + = 12
4 + 1 + = 12
= 7 + + = 12
3 + 2 + = 12
= 7 Karena ada nilai yang sama yaitu
= = 7
maka syarat
pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak
mungkin juga, yaitu + + = 12
2 + 1 + = 12
= 9 Dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
1
2 3
5
Gambar 39 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 2,
= 1, dan = 5.
Sedangkan untuk = 1 dan =
2 ada nilai yang mungkin, sehingga + + = 12
3 + 1 + = 12
= 8 + + = 12
4 + 2 + = 12
= 6
4
2
1 3
5 6
8
Gambar 40 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 4, = 3, = 1,
= 2, = 5, = 8, dan
= 6. Kemungkinan untuk
yaitu 7, sehingga
= + +
= 1 + 2 + 7 = 10
Karena untuk = 7 yaitu = 10
maka = 12 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan seperti pada Gambar 40. v
Misalkan = 1 dan = 2, maka
yang mungkin adalah = 8 dan
= + +
= 1 + 2 + 8 = 11
Untuk = 3 dan = 4 ada nilai
yang mungkin, sehingga + + = 11
2 + 3 + = 11
= 6 + + = 11
3 + 4 + = 11
= 4 + + = 11
1 + 4 + = 11
= 6 Karena ada nilai yang sama yaitu
= = 6
dan =
= 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
1
4
3 2
8
6
Gambar 41 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 1, = 2, = 3,
= 4, = 8, dan = 6.
Sedangkan untuk = 4 dan =
3 ada nilai yang mungkin, sehingga + + = 11
2 + 4 + = 11
= 5 + + = 11
1 + 3 + = 11
= 7 Kemungkinan untuk
yaitu 6, sehingga
= + +
= 4 + 3 + 6 = 13
Karena untuk = 6 yaitu = 13
maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
1
3
4 2
8 7
5
Gambar 42 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 1, = 2, = 4,
= 3, = 8, = 5, dan
= 7. vi
Misalkan = 2 dan = 3, maka
yang mungkin adalah = 6 dan
= + +
= 2 + 3 + 6 = 11
2
1
4 3
6 8
Gambar 43 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 2, = 3, = 4,
= 1, = 6, dan = 8.
Untuk = 4 dan = 1 ada nilai
yang mungkin, sehingga + + = 11
3 + 4 + = 11
= 4 + + = 11
4 + 1 + = 11
= 6 + + = 11
2 + 1 + = 11
= 8 Karena ada nilai yang sama yaitu
= = 6
dan =
= 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan seperti pada Gambar 43. Sedangkan untuk
= 1 dan = 4 ada nilai yang mungkin,
sehingga + + = 11
3 + 1 + = 11
= 7 + + = 11
2 + 4 + = 11
= 5 Kemungkinan untuk
yaitu 8, sehingga
= + +
= 1 + 4 + 8 = 13
Karena untuk = 8 yaitu = 13
maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
2
4
1 3
6 5
7
Gambar 44 Graf �
4
yang dilabeli dengan
= 2, = 3, = 1,
= 4, = 8, = 7, dan
= 5. Dilihat dari beberapa kemungkinan untuk
melabeli graf �
4
tersebut maka graf �
4
bukan graf super edge magic.
2
ABSTRAK
NURUL NUR INDAH SARI
. Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel. Dibimbing oleh
TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.
Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan
edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {1, 2,
… , } serta himpunan sisinya dipetakan ke
{ + 1, + 2,
… , + }, dengan adalah banyaknya simpul dan adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini
digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle � adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf
wheel dengan order bukan graf super edge magic, bahkan
dengan 0 mod 4 bukan
graf edge magic. Kata kunci: pelabelan edge magic, pelabelan super edge magic, graf cycle, graf wheel.
3
ABSTRACT
NURUL NUR INDAH SARI . Super Edge Magic Labeling on Cycle Graph and Wheel Graph.
Supervised by
TEDUH WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.
This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling. Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of
vertices were mapped in to {1, 2,
… , } and a set of edges were mapped in to { + 1, + 2,
… , + }, in which is order and is size on the graph. There are one lemma and two theorems to be discussed.
The lemma
is used to prove the two theorems. The first theorem proves
that cycle graph � is super edge magic if and only if is odd. The second theorem proves that
wheel graph of order is not super edge magic. Moreover
is not edge magic if 0 mod
4. Keywords: edge magic labeling, super edge magic labeling, cycle graph, wheel graph.
ix
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
