Pelabelan Graf Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel

� 5 : Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5. Definisi 10 Union dari 2 Graf Misalkan � 1 dan � 2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari � 1 dan � 2 , dituliskan � 1 ∪ � 2 , adalah graf yang memiliki � 1 ∪ � 2 = � 1 ∪ � 2 dan � � 1 ∪ � 2 = �� 1 ∪ �� 2 . Chartrand Oellermann 1993 Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. � 3 ∪ 3� 1 : Gambar 6 Union dari 2 graf. Definisi 11 Join dari 2 Graf Misalkan � 1 dan � 2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari � 1 dan � 2 , dituliskan � 1 + � 2 , adalah graf � 1 ∪ � 2 dimana setiap simpul di � 1 adjacent dengan setiap simpul di � 2 ditambah semua sisi bertipe 1 2 dengan 1 ∈ � 1 dan 2 ∈ � 2 . Chartrand Oellermann 1993 Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. � 4 : � 1 : � 4 + � 1 : Gambar 7 Join dari 2 graf. Definisi 12 Graf Wheel Untuk 4, graf wheel dengan order adalah join dari graf cycle � −1 ber-order − 1 dan graf lengkap complete graph � 1 ber-order 1. Fukuchi 2001 Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order 7. 7 : v v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.

2.2 Pelabelan Graf

Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf. Definisi 13 Pelabelan Edge Magic Misalkan � graf dengan simpul dan sisi. Suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan {1, 2, … , + disebut sebagai pelabelan edge magic pada � jika ada konstanta ∈ ℕ disebut magic number sehingga + + = untuk setiap ∈ ��. Enomoto et al. 1998 Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. � 3 : a c b Gambar 9 Graf cycle ber-order 3. Misalkan simpul-simpul pada graf � 3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 4 = 6 = 2 Dipilih = 11, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 4 + 6 + 1 = 11 + + = 4 + 2 + 5 = 11 + + = 6 + 2 + 3 = 11 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 a. Sedangkan untuk = 12 dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu nilai = 6 = 5 = 4 sehingga diperoleh + + = 6 + 5 + 1 = 12 + + = 6 + 4 + 2 = 12 + + = 5 + 4 + 3 = 12 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 b. a 4 5 2 3 6 1 b 6 2 4 3 5 1 Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf � 3 . Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai dapat berubah-ubah dengan memperhatikan label simpulnya. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. Definisi 14 Pelabelan Super Edge Magic Misalkan � graf dengan simpul dan sisi, dan � memiliki pelabelan edge magic . Jika : � → {1, 2, … , } dan : � � → { + 1, + 2, … , + } maka disebut pelabelan super edge magic. Enomoto et al. 1998 Berikut ini diberikan contoh pelabelan super edge magic. Diberikan graf seperti pada Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan super edge magic, maka : � 3 → {1, 2, 3} dan : � � 3 → {4, 5, 6}. Misalkan simpul- simpul pada graf � 3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1 = 3 = 2 Dipilih = 9, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 1 + 3 + 5 = 9 + + = 1 + 2 + 6 = 9 + + = 3 + 2 + 4 = 9 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 6 2 4 3 5 Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada graf � 3 . Definisi 15 Graf Super Edge Magic Suatu graf � disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari �. Enomoto et al. 1998 Gambar 11 merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge magic. III PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas lema dan teorema-teorema yang membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Graf tersebut dilabeli dengan : � 3 → {1, 2, 3} dan : � � 3 → {4, 5, 6}, sehingga diperoleh graf seperti pada Gambar 11. Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya. Lema 3.1 Jika � graf nontrivial yang super edge magic, maka | � � | 2| � | − 3. Enomoto et al. 1998 Bukti : Misalkan � graf nontrivial yang super edge magic. Akan dibuktikan bahwa | � � | 2| � | − 3. Misalkan � memiliki simpul dan sisi. Karena � graf yang super edge magic artinya ada konstanta sehingga + + = dan : � → {1, 2, … , }, : �� → { + 1, + 2, … , + }. Maka akan dilihat nilai yang maksimum dan minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan yang maksimum dan minimumnya. i Akan dilihat nilai yang maksimum. Pilih , ∈ � maka magic number yang maksimum yaitu = , karena magic number yang maksimum maka kemungkinan yang maksimum untuk ialah − 1, sehingga diperoleh + = + − 1 = � + | � | − 1 Karena simpul yang maksimumnya maka = + 1 = | � | + 1 Ini berarti = + + = � + � − 1 +| � | + 1 ii Akan dilihat nilai yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic number yang minimum yaitu = 1 dan untuk pilih magic number yang maksimum yaitu = + . Karena = 1 maka paling tidak sisi yang minimumnya yaitu = 1 + 1 = 2, sehingga diperoleh = + + = 1 + 2 + + = 1 + 2 + � + � � Dari i dan ii dapat diperoleh 1 + 2 + � + � � � + � − 1 + | � | + 1 3 + | � | + |� � | 3| � | | � � | 3| � | − 3 − | � | � � | 2 � | − 3 ∎ Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang super edge magic dan memenuhi | � � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan graf � 3 seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Jadi � � | = � | = 3 dan � � | = 3 2 � | − 3 = 2 3 − 3 = 3. Graf � 3 merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi | � � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan graf � 4 seperti pada Gambar 14, banyaknya simpul dan sisi pada graf � 4 adalah 4. Jadi � � | = � | = 4 dan � � | = 4 2 � | − 3 = 2 4 − 3 = 5 Graf � 4 bukan graf super edge magic bukti dapat dilihat dilampiran dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan tidak memenuhi | � � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan graf 5 seperti pada Gambar 23, banyaknya simpul adalah 5 dan banyaknya sisi adalah 8. Jadi | � � | = 8, | � | = 5, dan � � | = 8 2 � | − 3 = 2 5 − 3 = 7 Graf 5 bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi. Lema 3.1 akan digunakan untuk menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Misalkan diberikan graf cycle ber-order 9 dengan bentuk seperti pada Gambar 12. � 9 : a i h g f e d c b Gambar 12 Graf cycle ber-order 9. Graf � 9 tersebut akan dilabeli dengan : � 9 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan : � � 9 → {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sehingga menjadi graf super edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf � 9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1 = 8 = 6 = 4 = 2 = 9 = 7 = 5 = 3 Dipilih = 24, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 1 + 6 + 17 = 24 + + = 6 + 2 + 16 = 24 + + = 2 + 7 + 15 = 24 + + = 7 + 3 + 14 = 24 + + = 3 + 8 + 13 = 24 + + = 8 + 4 + 12 = 24 + + = 4 + 9 + 11 = 24 + + = 9 + 5 + 10 = 24 + + = 1 + 5 + 18 = 24 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 18 5 10 9 11 4 12 8 13 3 14 7 15 2 16 6 17 Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada graf � 9 . Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema 3.2. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang menyatakan bahwa graf � memiliki pelabelan super edge magic. Teorema 3.2 Cycle � adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. Enomoto et al. 1998 Bukti : Misalkan cycle � adalah graf super edge magic. Akan dibuktikan bilangan ganjil. Bukti : Misalkan � adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge magic dengan sebagai magic number. Artinya ada konstanta sehingga + + = dan � → {1, 2, … , }, � � → { + 1, + 2, … , + }. Karena setiap ∈ �� berlaku = + + akibatnya = + + ∈� � = 2 ∈ � + ∈�� = 2 1 + 2 + + + + 1 + + 2 + + + = 2 =1 + 2 = +1 = 2 =1 + 2 =1 − =1 = 2 + 1 2 + 2 2 + 1 2 − + 1 2 = 2 + 1 2 + 4 2 + 2 − 2 − 2 = 2 + 1 2 + 3 2 + 2 = + 1 + 3 + 1 2 Ini berarti + 1 = − 3 + 1 2 + 1 = − 3 + 1 2 + 1 = − 3 + 1 2 3 + 1 2 = − − 1 Karena dan adalah bilangan bulat maka 3 +1 2 bilangan bulat, sehingga 3 + 1 haruslah genap. Akibatnya 3 ganjil, maka bilangan ganjil. ∎ Misalkan adalah bilangan ganjil. Akan dibuktikan cycle � adalah graf super edge magic. Bukti : Misalkan = 2 + 1 adalah bilangan ganjil dan diberikan graf cycle � . Dimisalkan juga � = { , 1 , … , −1 } � � = { 0 1 , 1 2 , … , −2 −1 , −1 0 }. Didefinisikan = + 2 2 ; genap + + 3 2 ; ganjil −1 0 = 2 +1 = 2 − 1 − dengan − 2. Ambil sembarang +1 dengan − 2 dan ganjil maka = + +1 + +1 = + + 3 2 + + 1 + 2 2 +2 − 1 − = + + 3 2 + + 3 2 + 2 − 1 − = + + 3 + 2 − 1 − = + 2 + 2 = − 1 2 + 2 + 2 = − 1 + 4 + 4 2 = 5 + 3 2 dan untuk −1 0 = −1 + + −1 0 = − 1 + 2 2 + 0 + 2 2 + 2 = + 3 2 + 2 = + 3 + 4 2 = 5 + 3 2 Karena ganjil maka 5 ganjil, sehingga 5 + 3 haruslah genap. Akibatnya 5 +3 2 bilangan bulat, maka bilangan bulat. Jadi, adalah pelabelan super edge magic dengan magic number = 5 +3 2 . ∎ Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.2. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic dan pelabelan super edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf � 4 dengan banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. � 4 : a d c b Gambar 14 Graf cycle ber-order 4. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Misalkan simpul-simpul pada graf � 4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 6 = 3 = 7 = 8 Dipilih = 15, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 6 + 7 + 2 = 15 + + = 7 + 3 + 5 = 15 + + = 3 + 8 + 4 = 15 + + = 6 + 8 + 1 = 15 dan dapat digambarkan sebagai berikut 6 1 8 4 3 5 7 2 Gambar 15 Pelabelan edge magic pada graf � 4 . Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf � 5 dengan banyaknya simpul 5 dan banyaknya sisi 5, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 4. Untuk memperoleh pelabelan graf edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Misalkan simpul- simpul pada graf � 5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 10 = 8 = 6 = 4 = 2 Dipilih = 17, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 10 + 6 + 1 = 17 + + = 6 + 2 + 9 = 17 + + = 2 + 8 + 7 = 17 + + = 8 + 4 + 5 = 17 + + = 10 + 4 + 3 = 17 dan dapat digambarkan sebagai berikut 10 3 4 5 8 7 2 9 6 1 Gambar 16 Pelabelan edge magic pada graf � 5 . Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka dilabeli dengan : � 5 → {1, 2, 3, 4, 5} dan : � � 5 → {6, 7, 8, 9, 10}. Misalkan simpul-simpul pada graf � 5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 Karena graf � 5 ber-order 5 dan 5 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf � 5 super edge magic maka berlaku = 5 +3 2 = 14 dan diperoleh label sisi, sehingga + + = 1 + 3 + 10 = 14 + + = 3 + 5 + 6 = 14 + + = 5 + 2 + 7 = 14 + + = 2 + 4 + 8 = 14 + + = 1 + 4 + 9 = 14 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 9 4 8 2 7 5 6 3 10 Gambar 17 Pelabelan super edge magic pada graf � 5 . Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf � 6 dengan banyaknya simpul 6 dan banyaknya sisi 6, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 18. � 6 : a b c d e f Gambar 18 Graf cycle ber-order 6. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Misalkan simpul-simpul pada graf � 6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 7 = 6 = 2 = 5 = 10 = 12 Dipilih = 20, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 7 + 2 + 11 = 20 + + = 2 + 10 + 8 = 20 + + = 10 + 6 + 4 = 20 + + = 6 + 5 + 9 = 20 + + = 5 + 12 + 3 = 20 + + = 7 + 12 + 1 = 20 dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 2 10 6 5 12 1 11 3 9 8 4 Gambar 19 Pelabelan edge magic pada graf � 6 . Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf � 7 dengan banyaknya simpul 7 dan banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai berikut � 7 : a g f e d c b Gambar 20 Graf cycle ber-order 7. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Misalkan simpul- simpul pada graf � 7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 14 = 10 = 6 = 3 = 5 = 7 = 4 Dipilih = 22, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 14 + 6 + 2 = 22 + + = 6 + 5 + 11 = 22 + + = 5 + 4 + 13 = 22 + + = 4 + 10 + 8 = 22 + + = 10 + 3 + 9 = 22 + + = 3 + 7 + 12 = 22 + + = 14 + 7 + 1 = 22 dan dapat digambarkan sebagai berikut 14 1 7 12 3 9 10 8 4 13 5 11 6 2 Gambar 21 Pelabelan edge magic pada graf � 7 . Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka graf � 7 dilabeli dengan : � 7 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan : � � 7 → {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Misalkan simpul-simpul pada graf � 7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1 = 3 = 5 = 7 = 2 = 4 = 6 Karena graf � 7 dengan order 7 dan 7 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf � 7 super edge magic maka berlaku = 5 +3 2 = 19 dan diperoleh label sisi, sehingga + + = 1 + 5 + 13 = 19 + + = 5 + 2 + 12 = 19 + + = 2 + 6 + 11 = 19 + + = 6 + 3 + 10 = 19 + + = 3 + 7 + 9 = 19 + + = 7 + 4 + 8 = 19 + + = 1 + 4 + 14 = 19 dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 22. 1 14 4 8 7 9 3 10 6 11 2 12 5 13 Gambar 22 Pelabelan super edge magic pada graf � 7 . Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa � dengan order genap yaitu � 4 dan � 6 merupakan graf edge magic, dan � 4 bukan graf super edge magic bukti dapat dilihat dilampiran. Sedangkan � dengan order ganjil yaitu � 5 dan � 7 merupakan graf edge magic dan graf super edge magic. Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema 3.3, akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan graf super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.3 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan edge magic pada suatu graf wheel. Misalkan diberikan graf wheel ber-order 5 dengan bentuk seperti pada Gambar 23. 5 : v 3 v 4 v v 1 v 2 Gambar 23 Graf wheel ber-order 5. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Misalkan simpul- simpul pada graf 5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 7 3 = 1 1 = 4 4 = 12 2 = 11 Dipilih = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga 1 + 2 + 1 2 = 4 + 11 + 6 = 21 2 + 3 + 2 3 = 11 + 1 + 9 = 21 3 + 4 + 3 4 = 1 + 12 + 8 = 21 4 + 1 + 4 1 = 12 + 4 + 5 = 21 + 1 + 0 1 = 7 + 4 + 10 = 21 + 2 + 0 2 = 7 + 11 + 3 = 21 + 3 + 0 3 = 7 + 1 + 13 = 21 + 4 + 0 4 = 7 + 12 + 2 = 21 dan dapat digambarkan seperti berikut 4 6 11 9 1 8 12 5 10 3 13 2 7 Gambar 24 Pelabelan edge magic pada graf 5 . Berikut diberikan beberapa contoh cara untuk memperoleh nilai . Untuk 6 seperti pada Gambar 26, karena 6 memiliki 10 sisi maka 10 = 1 + 2 + 1 2 + 2 + 3 + 2 3 + 3 + 4 + 3 4 + 4 + 5 + 4 5 + 5 + 1 + 5 1 + + 1 + 0 1 + + 2 + 0 2 + + 3 + 0 3 + + 4 + 0 4 + + 5 + 0 5 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + + + + + + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 1 + 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 + 0 5 = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +2 5 + 4 + + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 1 + 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 + 0 5 = 2 5 =1 + 4 + 16 =1 Untuk 7 seperti pada Gambar 8, karena 7 memiliki 12 sisi maka 12 = 1 + 2 + 1 2 + 2 + 3 + 2 3 + 3 + 4 + 3 4 + 4 + 5 + 4 5 + 5 + 6 + 5 6 + 6 + 1 + 6 1 + + 1 + 0 1 + + 2 + 0 2 + + 3 + 0 3 + + 4 + 0 4 + + 5 + 0 5 + + 6 + 0 6 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + + + + + + + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 + 6 1 + 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 + 0 5 + 0 6 = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +2 5 + 2 6 + 5 + + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 + 6 1 + 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 + 0 5 + 0 6 = 2 6 =1 + 5 + 19 =1 Dilihat dari beberapa contoh di atas maka bentuk umum untuk setiap graf adalah sebagai berikut 2 − 1 = 1 + 2 + 1 2 + 2 + 3 + 2 3 + −2 + −1 + −2 −1 + −1 + 1 + −1 1 + + 1 + 0 1 + + 2 + 0 2 + + −1 + −1 2 − 1 = 2 1 + 2 2 + +2 −1 + − 2 + + 1 + + −1 + 1 2 + 2 3 + + −2 −1 + −1 1 + 0 1 + 0 2 + + −1 2 − 1 = 2 −1 =1 + 3 −2 =1 + − 2 1 Cara tersebut akan digunakan untuk mempermudah pembuktian Teorema 3.3. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3. Teorema 3.3 Graf wheel dengan order bukan graf super edge magic. Bahkan dengan mod 4 bukan graf edge magic. Enomoto et al. 1998 Akan dibuktikan: i Graf wheel dengan order bukan graf super edge magic. ii Graf wheel dengan 0 mod 4 bukan graf edge magic. Bukti : i Misalkan diberikan graf wheel dengan order . Dengan Lema 3.1 akan dibuktikan bukan graf super edge magic. Bukti : Misalkan memiliki simpul dan sisi, maka → {1, 2, … , } dan � → { + 1, + 2, … , + }. Andaikan merupakan graf super edge magic. Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh � | 2 | − 3 Sedangkan diketahui bahwa = dan � = 2 − 2, akibatnya | � | 2| | − 3 2 − 2 2 − 3 −2 −3 terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka bukan graf super edge magic. ii Misalkan diberikan graf wheel dengan order dan 0 mod 4. Akan dibuktikan bukan graf edge magic. Bukti : Andaikan adalah graf edge magic artinya ada pelabelan edge magic dengan sebagai magic number, sehingga = + + . Misalkan = { , 1 , … , −1 } dan � = +1 1 − 2 ∪ −1 1 ∪ { |1 − 1} dengan deg = − 1. Karena untuk setiap ∈ � berlaku = + + dan untuk setiap berlaku 2 − 1 = 2 −1 =1 + 3 −2 =1 + − 2 Dari persamaan tersebut diperoleh 3 −2 =1 = 2 − 1 − 2 −1 =1 − − 2 Misalkan 0 mod 4 maka dapat ditulis = 4 dengan ∈ ℤ sehingga 3 −2 =1 = 3 4 −2 =1 3 −2 =1 = 12 −2 =1 = 1 2 12 − 2 12 − 1 = 1 2 2 6 − 1 12 − 1 = 6 − 1 12 − 1 = 72 2 − 18 + 1 = 2 36 2 − 9 + 1 = 2 + 1 dengan bilangan bulat. Jadi 3 −2 =1 merupakan bilangan ganjil. Sedangkan 2 − 1 − 2 −1 =1 − − 2 2 Karena 0 mod 4, yang berarti = 4 untuk suatu bilangan bulat , maka − 2 = 4 − 2 = 2 2 − 1 merupakan bilangan genap. Akibatnya persamaan 2 merupakan bilangan genap, sehingga terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka bukan merupakan graf edge magic. ∎ Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.3. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf wheel diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. 4 : v 1 v v 2 v 3 Gambar 25 Graf wheel ber-order 4. Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf wheel ber-order 4 dengan bentuk seperti pada Gambar 25. Misalkan simpul-simpul pada graf 4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 5 1 2 = 10 0 1 = 8 1 = 2 2 3 = 4 0 2 = 7 2 = 3 3 1 = 6 0 3 = 9 3 = 1 sehingga diperoleh 1 + 2 + 1 2 = 2 + 3 + 10 = 15 2 + 3 + 2 3 = 3 + 1 + 4 = 8 3 + 1 + 3 1 = 1 + 5 + 6 = 12 + 1 + 0 1 = 5 + 2 + 8 = 15 + 2 + 0 2 = 5 + 3 + 7 = 15 + 3 + 0 3 = 5 + 1 + 9 = 15 Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf 4 bukan graf edge magic. Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf wheel ber-order 6 dengan bentuk seperti pada Gambar 26. 6 : v 1 v 2 v 3 v 4 v v 5 Gambar 26 Graf wheel ber-order 6. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Simpul-simpul pada graf 6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 7 3 = 11 1 = 5 4 = 4 2 = 2 5 = 1 Dipilih = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga 1 + 2 + 1 2 = 5 + 2 + 14 = 21 2 + 3 + 2 3 = 2 + 11 + 8 = 21 3 + 4 + 3 4 = 11 + 4 + 6 = 21 4 + 5 + 4 5 = 4 + 1 + 16 = 21 5 + 1 + 5 1 = 1 + 5 + 15 = 21 + 1 + 0 1 = 7 + 5 + 9 = 21 + 2 + 0 2 = 7 + 2 + 12 = 21 + 3 + 0 3 = 7 + 11 + 3 = 21 + 4 + 0 4 = 7 + 4 + 10 = 21 + 5 + 0 5 = 7 + 1 + 13 = 21 dan dapat digambarkan sebagai berikut 5 14 2 8 11 6 4 16 1 15 9 7 12 3 13 10 Gambar 27 Pelabelan edge magic pada graf 6 . Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf wheel ber-order 8 dengan bentuk seperti pada Gambar 28. 8 : v v 2 v 3 v 1 v 4 v 5 v 6 v 7 Gambar 28 Graf wheel ber-order 8. Misalkan simpul-simpul pada graf 4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 10 1 2 = 15 0 1 = 16 1 = 2 2 3 = 8 0 2 = 7 2 = 11 3 4 = 18 0 3 = 3 3 = 9 4 5 = 19 0 4 = 14 4 = 4 5 6 = 22 0 5 = 13 5 = 5 6 7 = 21 0 6 = 17 6 = 1 7 1 = 20 0 7 = 12 7 = 6 sehingga diperoleh 1 + 2 + 1 2 = 2 + 11 + 15 = 28 2 + 3 + 2 3 = 11 + 9 + 8 = 28 3 + 4 + 3 4 = 9 + 4 + 18 = 31 4 + 5 + 4 5 = 4 + 5 + 19 = 28 5 + 6 + 5 6 = 5 + 1 + 22 = 28 6 + 7 + 6 7 = 1 + 6 + 21 = 28 7 + 1 + 7 1 = 6 + 2 + 20 = 28 + 1 + 0 1 = 10 + 2 + 16 = 28 + 2 + 0 2 = 10 + 11 + 7 = 28 + 3 + 0 3 = 10 + 9 + 3 = 22 + 4 + 0 4 = 10 + 4 + 14 = 28 + 5 + 0 5 = 10 + 5 + 13 = 28 + 6 + 0 6 = 10 + 1 + 17 = 28 + 7 + 0 7 = 10 + 6 + 12 = 28 Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf 8 bukan graf edge magic. Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 29. 9 : v v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 8 v 7 Gambar 29 Graf wheel ber-order 9. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul- simpul pada graf 9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 13 5 = 1 1 = 7 6 = 22 2 = 20 7 = 2 3 = 8 8 = 23 4 = 21 Dipilih = 39, maka diperoleh label sisi, sehingga 1 + 2 + 1 2 = 7 + 20 + 12 = 39 2 + 3 + 2 3 = 20 + 8 + 11 = 39 3 + 4 + 3 4 = 8 + 21 + 10 = 39 4 + 5 + 4 5 = 21 + 1 + 19 = 39 5 + 6 + 5 6 = 1 + 22 + 16 = 39 6 + 7 + 6 7 = 22 + 2 + 15 = 39 7 + 8 + 7 8 = 2 + 23 + 14 = 39 8 + 1 + 8 1 = 23 + 7 + 9 = 39 + 1 + 0 1 = 13 + 7 + 19 = 39 + 2 + 0 2 = 13 + 20 + 6 = 39 + 3 + 0 3 = 13 + 8 + 18 = 39 + 4 + 0 4 = 13 + 21 + 5 = 39 + 5 + 0 5 = 13 + 1 + 25 = 39 + 6 + 0 6 = 13 + 22 + 4 = 39 + 7 + 0 7 = 13 + 2 + 24 = 39 + 8 + 0 8 = 13 + 23 + 3 = 39 dan dapat digambarkan sebagai berikut 7 12 20 11 8 10 21 19 1 16 22 15 2 14 23 9 13 6 18 5 25 4 24 3 19 Gambar 30 Pelabelan edge magic pada graf 9 . Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf wheel ber-order 11 dengan bentuk seperti pada Gambar 31. 11 : v v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 Gambar 31 Graf wheel ber-order 11. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul- simpul pada graf 11 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 14 6 = 4 1 = 23 7 = 22 2 = 2 8 = 5 3 = 26 9 = 25 4 = 3 10 = 8 5 = 31 Dipilih = 46, maka diperoleh label sisi, sehingga 1 + 2 + 1 2 = 23 + 2 + 21 = 46 2 + 3 + 2 3 = 2 + 26 + 18 = 46 3 + 4 + 3 4 = 26 + 3 + 17 = 46 4 + 5 + 4 5 = 3 + 31 + 12 = 46 5 + 6 + 5 6 = 31 + 4 + 11 = 46 6 + 7 + 6 7 = 4 + 22 + 20 = 46 7 + 8 + 7 8 = 22 + 5 + 19 = 46 8 + 9 + 8 9 = 5 + 25 + 16 = 46 9 + 10 + 9 10 = 25 + 8 + 13 = 46 10 + 1 + 10 1 = 8 + 23 + 15 = 46 + 1 + 0 1 = 14 + 23 + 9 = 46 + 2 + 0 2 = 14 + 2 + 30 = 46 + 3 + 0 3 = 14 + 26 + 6 = 46 + 4 + 0 4 = 14 + 3 + 29 = 46 + 5 + 0 5 = 14 + 31 + 1 = 46 + 6 + 0 6 = 14 + 4 + 28 = 46 + 7 + 0 7 = 14 + 22 + 10 = 46 + 8 + 0 8 = 14 + 5 + 27 = 46 + 9 + 0 9 = 14 + 25 + 7 = 46 + 10 + 0 10 = 14 + 8 + 24 = 46 dan dapat digambarkan sebagai berikut 23 21 2 18 26 17 3 12 31 11 4 20 22 19 16 25 13 8 15 14 9 30 6 29 1 28 10 27 7 24 5 Gambar 32 Pelabelan edge magic pada graf 11 . Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat dilihat bahwa dengan order dan mod 4 yaitu 4 dan 8 bukan graf edge magic. Sedangkan dengan order dan 0 mod 4 yaitu 6 , 9 , dan 11 merupakan graf edge magic. IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan