�
5
:
Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5.
Definisi 10 Union dari 2 Graf
Misalkan �
1
dan �
2
adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union
dari �
1
dan �
2
, dituliskan �
1
∪ �
2
, adalah graf yang memiliki
�
1
∪ �
2
= �
1
∪ �
2
dan � �
1
∪ �
2
= ��
1
∪ ��
2
. Chartrand Oellermann 1993
Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. �
3
∪ 3�
1
:
Gambar 6 Union dari 2 graf.
Definisi 11 Join dari 2 Graf
Misalkan �
1
dan �
2
adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari
�
1
dan �
2
, dituliskan �
1
+ �
2
, adalah graf �
1
∪ �
2
dimana setiap simpul di �
1
adjacent dengan setiap simpul di
�
2
ditambah semua sisi bertipe
1 2
dengan
1
∈ �
1
dan
2
∈ �
2
. Chartrand Oellermann 1993
Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. �
4
:
�
1
: �
4
+ �
1
:
Gambar 7 Join dari 2 graf.
Definisi 12 Graf Wheel
Untuk 4, graf wheel
dengan order adalah join dari graf cycle
�
−1
ber-order − 1 dan graf lengkap complete graph �
1
ber-order 1.
Fukuchi 2001 Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order
7.
7
:
v v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.
2.2 Pelabelan Graf
Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf
wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf.
Definisi 13 Pelabelan Edge Magic
Misalkan � graf dengan simpul dan
sisi. Suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan
{1, 2, … , + disebut sebagai pelabelan
edge magic pada � jika ada konstanta ∈ ℕ
disebut magic number sehingga +
+ = untuk setiap
∈ ��. Enomoto et al. 1998
Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada
Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan
banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing
berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
�
3
:
a
c b
Gambar 9 Graf cycle ber-order 3.
Misalkan simpul-simpul
pada graf
�
3
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 4
= 6 = 2
Dipilih = 11, maka diperoleh label sisi,
sehingga + + = 4 + 6 + 1 = 11
+ + = 4 + 2 + 5 = 11 + + = 6 + 2 + 3 = 11
dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 a. Sedangkan untuk
= 12 dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu
nilai = 6
= 5 = 4
sehingga diperoleh + + = 6 + 5 + 1 = 12
+ + = 6 + 4 + 2 = 12 + + = 5 + 4 + 3 = 12
dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 b. a
4 5
2 3
6 1
b
6 2
4 3
5 1
Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf �
3
. Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat
bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai
dapat berubah-ubah
dengan memperhatikan
label simpulnya.
Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada
graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.
Definisi 14 Pelabelan
Super Edge Magic
Misalkan � graf dengan simpul dan
sisi, dan � memiliki pelabelan edge magic .
Jika :
� → {1, 2, … , } dan : � � → { + 1,
+ 2, … , + } maka
disebut pelabelan super edge magic.
Enomoto et al. 1998 Berikut ini diberikan contoh pelabelan super
edge magic. Diberikan graf seperti pada Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan
super edge magic, maka :
�
3
→ {1, 2, 3} dan
: � �
3
→ {4, 5, 6}. Misalkan simpul- simpul pada graf
�
3
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 1 = 3
= 2 Dipilih
= 9, maka diperoleh label sisi, sehingga
+ + = 1 + 3 + 5 = 9 + + = 1 + 2 + 6 = 9
+ + = 3 + 2 + 4 = 9 dan dapat digambarkan sebagai berikut
1 6
2 4
3 5
Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada graf
�
3
. Definisi 15 Graf
Super Edge Magic
Suatu graf � disebut super edge magic jika
terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari
�. Enomoto et al. 1998
Gambar 11 merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge
magic.
III PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini membahas lema dan teorema-teorema yang membuktikan bahwa
graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.
Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah
3. Graf tersebut dilabeli dengan
: �
3
→ {1, 2, 3} dan
: � �
3
→ {4, 5, 6}, sehingga diperoleh graf seperti pada Gambar 11.
Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan
untuk membuktikan
teorema selanjutnya.
Lema 3.1 Jika
� graf nontrivial yang super edge magic, maka
| � � | 2| � | − 3.
Enomoto et al. 1998
Bukti :
Misalkan � graf nontrivial yang super
edge magic.
Akan dibuktikan
bahwa |
� � | 2| � | − 3.
Misalkan � memiliki simpul dan sisi.
Karena � graf yang super edge magic artinya
ada konstanta sehingga
+ + =
dan :
� → {1, 2, … , }, :
�� → { + 1, + 2, … , + }. Maka
akan dilihat nilai yang maksimum dan
minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan yang maksimum
dan minimumnya. i
Akan dilihat nilai yang maksimum. Pilih
, ∈ � maka magic number
yang maksimum yaitu = , karena
magic number yang maksimum maka kemungkinan yang maksimum untuk
ialah − 1, sehingga diperoleh
+ = + − 1 =
� + | � | − 1 Karena simpul yang maksimumnya
maka = + 1
= | � | + 1
Ini berarti =
+ + =
� + � − 1 +|
� | + 1 ii
Akan dilihat nilai yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic
number yang minimum yaitu = 1
dan untuk pilih magic number
yang maksimum yaitu = + .
Karena = 1 maka paling tidak sisi
yang minimumnya yaitu = 1 +
1 = 2, sehingga diperoleh =
+ + = 1 + 2 + +
= 1 + 2 + � + � �
Dari i dan ii dapat diperoleh 1 + 2 +
� + � � � + � − 1
+ | � | + 1
3 + | � | + |� � | 3| � |
| � � | 3| � | − 3 − | � |
� � | 2 � | − 3 ∎
Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang
super edge magic dan memenuhi |
� � | 2|
� | − 3. Misalkan diberikan graf �
3
seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah
3. Jadi � � | = � | = 3 dan
� � | = 3 2 � | − 3 = 2
3 − 3 = 3.
Graf �
3
merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi.
Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi
| � � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan
graf �
4
seperti pada Gambar 14, banyaknya simpul dan sisi pada graf
�
4
adalah 4. Jadi
� � | = � | = 4 dan � � | = 4 2 � | − 3
= 2 4 − 3
= 5 Graf
�
4
bukan graf super edge magic bukti dapat dilihat dilampiran dan pertaksamaan
pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang
bukan super edge magic dan tidak memenuhi |
� � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan graf
5
seperti pada Gambar 23, banyaknya simpul adalah
5 dan banyaknya sisi adalah 8. Jadi
| � � | = 8, | � | = 5, dan
� � | = 8 2 � | − 3 = 2
5 − 3 = 7
Graf
5
bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi
sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi. Lema
3.1 akan
digunakan untuk
menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.
Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super
edge magic pada suatu graf cycle. Misalkan diberikan graf cycle ber-order
9 dengan bentuk seperti pada Gambar 12.
�
9
:
a i
h g
f e
d c
b
Gambar 12 Graf cycle ber-order 9.
Graf �
9
tersebut akan dilabeli dengan :
�
9
→ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan
: � �
9
→ {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sehingga menjadi graf super edge magic.
Misalkan simpul-simpul
pada graf
�
9
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1 = 8
= 6 = 4 = 2 = 9
= 7 = 5 = 3
Dipilih = 24, maka diperoleh label sisi,
sehingga + + = 1 + 6 + 17 = 24
+ + = 6 + 2 + 16 = 24 + + = 2 + 7 + 15 = 24
+ + = 7 + 3 + 14 = 24 + + = 3 + 8 + 13 = 24
+ + = 8 + 4 + 12 = 24 + + = 4 + 9 + 11 = 24
+ + = 9 + 5 + 10 = 24 + + = 1 + 5 + 18 = 24
dan dapat digambarkan sebagai berikut
1 18
5 10
9 11
4 12
8 13
3 14
7 15
2 16
6 17
Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada graf
�
9
. Cara pelabelan tersebut merupakan salah
satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan
untuk membuktikan Teorema 3.2. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang
menyatakan bahwa
graf � memiliki
pelabelan super edge magic.
Teorema 3.2 Cycle
� adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil.
Enomoto et al. 1998
Bukti :
Misalkan cycle � adalah graf super
edge magic. Akan dibuktikan bilangan ganjil.
Bukti : Misalkan
� adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge
magic dengan
sebagai magic number. Artinya ada konstanta
sehingga + +
= dan
� → {1, 2, … , }, � � → { + 1, + 2, … , + }.
Karena setiap ∈ �� berlaku
= + + akibatnya
= + +
∈� �
= 2
∈ �
+
∈��
= 2 1 + 2 + + + + 1
+ + 2 + + +
= 2
=1
+
2 = +1
= 2
=1
+
2 =1
−
=1
= 2 + 1
2 +
2 2 + 1 2
− + 1
2 = 2
+ 1 2
+ 4
2
+ 2 −
2
− 2
= 2 + 1
2 +
3
2
+ 2
= + 1 + 3 + 1
2 Ini berarti
+ 1 = −
3 + 1 2
+ 1 = −
3 + 1 2
+ 1 = −
3 + 1 2
3 + 1 2
= − − 1
Karena dan adalah bilangan bulat maka
3 +1 2
bilangan bulat, sehingga
3 + 1 haruslah genap. Akibatnya 3 ganjil, maka bilangan ganjil.
∎ Misalkan
adalah bilangan ganjil. Akan dibuktikan cycle
� adalah graf super edge magic.
Bukti : Misalkan
= 2 + 1 adalah bilangan
ganjil dan diberikan graf cycle � .
Dimisalkan juga � = {
,
1
, … ,
−1
} � � =
{
0 1
,
1 2
, … ,
−2 −1
,
−1 0
}. Didefinisikan
= + 2
2 ; genap
+ + 3
2 ; ganjil
−1 0
= 2
+1
= 2 − 1 −
dengan − 2.
Ambil sembarang
+1
dengan − 2 dan ganjil maka
= +
+1
+
+1
= +
+ 3 2
+ + 1 + 2
2 +2
− 1 − =
+ + 3
2 +
+ 3 2
+ 2 − 1 −
= + + 3 + 2
− 1 − =
+ 2 + 2 =
− 1 2
+ 2 + 2 =
− 1 + 4 + 4 2
= 5 + 3
2 dan untuk
−1 0
=
−1
+ +
−1 0
= − 1 + 2
2 +
0 + 2 2
+ 2 =
+ 3 2
+ 2 =
+ 3 + 4 2
= 5 + 3
2 Karena
ganjil maka 5 ganjil,
sehingga 5 + 3 haruslah genap.
Akibatnya
5 +3 2
bilangan bulat, maka bilangan bulat. Jadi, adalah pelabelan
super edge magic dengan magic number
=
5 +3 2
. ∎
Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.2. Ada beberapa
ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic dan pelabelan
super edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan
label yang ada.
Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf �
4
dengan banyaknya
simpul 4 dan
banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti
pada Gambar 14. �
4
: a
d
c b
Gambar 14 Graf cycle ber-order 4.
Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Misalkan simpul-simpul pada graf
�
4
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 6
= 3 = 7
= 8 Dipilih
= 15, maka diperoleh label sisi, sehingga
+ + = 6 + 7 + 2 = 15 + + = 7 + 3 + 5 = 15
+ + = 3 + 8 + 4 = 15 + + = 6 + 8 + 1 = 15
dan dapat digambarkan sebagai berikut
6 1
8 4
3 5
7 2
Gambar 15 Pelabelan edge magic pada graf �
4
. Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf
�
5
dengan banyaknya simpul 5 dan banyaknya
sisi 5, dengan bentuk graf seperti pada
Gambar 4. Untuk memperoleh pelabelan graf edge magic maka simpul dan sisi berlabel
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Misalkan simpul-
simpul pada graf �
5
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 10 = 8
= 6 = 4
= 2 Dipilih
= 17, maka diperoleh label sisi, sehingga
+ + = 10 + 6 + 1 = 17 + + = 6 + 2 + 9 = 17
+ + = 2 + 8 + 7 = 17 + + = 8 + 4 + 5 = 17
+ + = 10 + 4 + 3 = 17 dan dapat digambarkan sebagai berikut
10 3
4 5
8 7
2 9
6 1
Gambar 16 Pelabelan edge magic pada graf �
5
. Sedangkan untuk memperoleh pelabelan
super edge magic maka dilabeli dengan :
�
5
→ {1, 2, 3, 4, 5} dan :
� �
5
→ {6, 7, 8, 9, 10}. Misalkan simpul-simpul pada
graf �
5
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1
= 2 = 3
= 4 = 5
Karena graf �
5
ber-order 5 dan 5 merupakan
bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf
�
5
super edge magic maka berlaku
=
5 +3 2
= 14 dan diperoleh label sisi, sehingga
+ + = 1 + 3 + 10 = 14 + + = 3 + 5 + 6 = 14
+ + = 5 + 2 + 7 = 14 + + = 2 + 4 + 8 = 14
+ + = 1 + 4 + 9 = 14 dan dapat digambarkan sebagai berikut
1 9
4 8
2 7
5 6
3 10
Gambar 17 Pelabelan super edge magic pada graf
�
5
. Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf
�
6
dengan banyaknya simpul 6 dan banyaknya
sisi 6, dengan bentuk graf seperti pada
Gambar 18. �
6
:
a
b
c d
e f
Gambar 18 Graf cycle ber-order 6.
Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Misalkan simpul-simpul
pada graf �
6
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 7 = 6
= 2 = 5
= 10 = 12
Dipilih = 20, maka diperoleh label sisi,
sehingga + + = 7 + 2 + 11 = 20
+ + = 2 + 10 + 8 = 20 + + = 10 + 6 + 4 = 20
+ + = 6 + 5 + 9 = 20 + + = 5 + 12 + 3 = 20
+ + = 7 + 12 + 1 = 20 dan dapat digambarkan sebagai berikut
7
2
10 6
5 12
1 11
3 9
8 4
Gambar 19 Pelabelan edge magic pada graf �
6
. Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf
�
7
dengan banyaknya
simpul 7 dan
banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai
berikut �
7
:
a g
f e
d c
b
Gambar 20 Graf cycle ber-order 7.
Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Misalkan simpul-
simpul pada graf �
7
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 14 = 10
= 6 = 3
= 5 = 7
= 4 Dipilih
= 22, maka diperoleh label sisi, sehingga
+ + = 14 + 6 + 2 = 22 + + = 6 + 5 + 11 = 22
+ + = 5 + 4 + 13 = 22 + + = 4 + 10 + 8 = 22
+ + = 10 + 3 + 9 = 22 + + = 3 + 7 + 12 = 22
+ + = 14 + 7 + 1 = 22 dan dapat digambarkan sebagai berikut
14 1
7 12
3 9
10 8
4 13
5 11
6 2
Gambar 21 Pelabelan edge magic pada graf �
7
. Sedangkan untuk memperoleh pelabelan
super edge magic maka graf �
7
dilabeli dengan
: �
7
→ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan :
� �
7
→ {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Misalkan
simpul-simpul pada
graf �
7
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 1
= 3 = 5
= 7 = 2
= 4 = 6
Karena graf �
7
dengan order 7 dan 7
merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf
�
7
super edge magic maka berlaku
=
5 +3 2
= 19 dan diperoleh label sisi, sehingga
+ + = 1 + 5 + 13 = 19 + + = 5 + 2 + 12 = 19
+ + = 2 + 6 + 11 = 19 + + = 6 + 3 + 10 = 19
+ + = 3 + 7 + 9 = 19 + + = 7 + 4 + 8 = 19
+ + = 1 + 4 + 14 = 19 dan dapat digambarkan seperti pada Gambar
22.
1 14
4 8
7 9
3 10
6 11
2 12
5 13
Gambar 22 Pelabelan super edge magic pada graf
�
7
. Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa
� dengan order genap yaitu �
4
dan �
6
merupakan graf edge magic, dan �
4
bukan graf super edge magic bukti dapat dilihat
dilampiran. Sedangkan � dengan order
ganjil yaitu �
5
dan �
7
merupakan graf edge magic dan graf super edge magic.
Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema 3.3, akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan
graf super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.3 akan diperlihatkan contoh cara
pelabelan edge magic pada suatu graf wheel.
Misalkan diberikan graf wheel ber-order 5
dengan bentuk seperti pada Gambar 23.
5
:
v
3
v
4
v v
1
v
2
Gambar 23 Graf wheel ber-order 5.
Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Misalkan simpul-
simpul pada graf
5
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 7
3
= 1
1
= 4
4
= 12
2
= 11 Dipilih
= 21, maka diperoleh label sisi, sehingga
1
+
2
+
1 2
= 4 + 11 + 6 = 21
2
+
3
+
2 3
= 11 + 1 + 9 = 21
3
+
4
+
3 4
= 1 + 12 + 8 = 21
4
+
1
+
4 1
= 12 + 4 + 5 = 21
+
1
+
0 1
= 7 + 4 + 10 = 21
+
2
+
0 2
= 7 + 11 + 3 = 21
+
3
+
0 3
= 7 + 1 + 13 = 21
+
4
+
0 4
= 7 + 12 + 2 = 21
dan dapat digambarkan seperti berikut
4 6
11 9
1 8
12 5
10 3
13 2
7
Gambar 24 Pelabelan edge magic pada graf
5
. Berikut diberikan beberapa contoh cara
untuk memperoleh nilai . Untuk
6
seperti pada Gambar 26, karena
6
memiliki 10 sisi maka
10 =
1
+
2
+
1 2
+
2
+
3
+
2 3
+
3
+
4
+
3 4
+
4
+
5
+
4 5
+
5
+
1
+
5 1
+ +
1
+
0 1
+ +
2
+
0 2
+ +
3
+
0 3
+ +
4
+
0 4
+ +
5
+
0 5
=
1
+
1
+
1
+
2
+
2
+
2
+
3
+
3
+
3
+
4
+
4
+
4
+
5
+
5
+
5
+ +
+ +
+ +
1 2
+
2 3
+
3 4
+
4 5
+
5 1
+
0 1
+
0 2
+
0 3
+
0 4
+
0 5
= 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+2
5
+ 4 +
+
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
1 2
+
2 3
+
3 4
+
4 5
+
5 1
+
0 1
+
0 2
+
0 3
+
0 4
+
0 5
= 2
5 =1
+ 4 +
16 =1
Untuk
7
seperti pada Gambar 8, karena
7
memiliki 12 sisi maka
12 =
1
+
2
+
1 2
+
2
+
3
+
2 3
+
3
+
4
+
3 4
+
4
+
5
+
4 5
+
5
+
6
+
5 6
+
6
+
1
+
6 1
+ +
1
+
0 1
+ +
2
+
0 2
+ +
3
+
0 3
+ +
4
+
0 4
+ +
5
+
0 5
+ +
6
+
0 6
=
1
+
1
+
1
+
2
+
2
+
2
+
3
+
3
+
3
+
4
+
4
+
4
+
5
+
5
+
5
+
6
+
6
+
6
+ +
+ +
+ +
+
1 2
+
2 3
+
3 4
+
4 5
+
5 6
+
6 1
+
0 1
+
0 2
+
0 3
+
0 4
+
0 5
+
0 6
= 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+2
5
+ 2
6
+ 5 +
+
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
1 2
+
2 3
+
3 4
+
4 5
+
5 6
+
6 1
+
0 1
+
0 2
+
0 3
+
0 4
+
0 5
+
0 6
= 2
6 =1
+ 5 +
19 =1
Dilihat dari beberapa contoh di atas maka bentuk umum untuk setiap graf
adalah sebagai berikut
2 − 1 =
1
+
2
+
1 2
+
2
+
3
+
2 3
+
−2
+
−1
+
−2 −1
+
−1
+
1
+
−1 1
+ +
1
+
0 1
+ +
2
+
0 2
+ +
−1
+
−1
2 − 1 = 2
1
+ 2
2
+ +2
−1
+ − 2 +
+
1
+ +
−1
+
1 2
+
2 3
+ +
−2 −1
+
−1 1
+
0 1
+
0 2
+ +
−1
2 − 1 = 2
−1 =1
+
3 −2
=1
+ − 2
1
Cara tersebut akan digunakan untuk mempermudah pembuktian Teorema 3.3.
Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3.
Teorema 3.3
Graf wheel dengan order bukan graf
super edge magic. Bahkan dengan
mod 4 bukan graf edge magic.
Enomoto et al. 1998 Akan dibuktikan:
i Graf wheel
dengan order bukan
graf super edge magic.
ii Graf wheel
dengan 0 mod 4
bukan graf edge magic. Bukti :
i Misalkan diberikan graf wheel
dengan order . Dengan Lema 3.1 akan dibuktikan
bukan graf super edge magic.
Bukti : Misalkan
memiliki simpul dan sisi, maka
→ {1, 2, … , } dan � → { + 1, + 2, … , + }.
Andaikan merupakan graf super edge
magic. Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh � | 2 | − 3
Sedangkan diketahui bahwa =
dan � = 2 − 2, akibatnya
| � | 2| | − 3
2 − 2 2 − 3
−2 −3 terjadi
kontradiksi. Akibatnya
pengandaian salah, maka bukan graf
super edge magic. ii
Misalkan diberikan graf wheel dengan order dan
0 mod 4. Akan dibuktikan
bukan graf edge magic. Bukti :
Andaikan adalah graf edge magic
artinya ada pelabelan edge magic dengan
sebagai magic number, sehingga
= + + .
Misalkan = {
,
1
, … ,
−1
} dan � =
+1
1 − 2 ∪
−1 1
∪ { |1
− 1} dengan
deg = − 1.
Karena untuk setiap ∈ � berlaku
= + + dan untuk
setiap berlaku
2 − 1 = 2
−1 =1
+
3 −2
=1
+ − 2
Dari persamaan tersebut diperoleh
3 −2
=1
= 2 − 1 − 2
−1 =1
− − 2 Misalkan
0 mod 4 maka dapat ditulis
= 4 dengan ∈ ℤ sehingga
3 −2
=1
=
3 4 −2
=1 3
−2 =1
=
12 −2
=1
= 1
2 12 − 2 12 − 1
= 1
2 2 6 − 1 12 − 1
= 6 − 1 12 − 1
= 72
2
− 18 + 1 = 2
36
2
− 9 + 1 = 2 + 1
dengan bilangan bulat. Jadi
3 −2
=1
merupakan bilangan ganjil. Sedangkan
2 − 1 − 2
−1 =1
− − 2
2 Karena
0 mod 4, yang berarti = 4 untuk suatu bilangan bulat ,
maka − 2 = 4 − 2
= 2 2 − 1
merupakan bilangan genap. Akibatnya persamaan 2 merupakan bilangan
genap, sehingga terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka
bukan merupakan graf edge magic. ∎
Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.3. Ada beberapa
ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf wheel
diperoleh
dengan mencoba-coba
semua kemungkinan label yang ada.
4
:
v
1
v v
2
v
3
Gambar 25 Graf wheel ber-order 4.
Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf wheel ber-order
4 dengan bentuk seperti pada Gambar 25. Misalkan simpul-simpul pada
graf
4
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 5
1 2
= 10
0 1
= 8
1
= 2
2 3
= 4
0 2
= 7
2
= 3
3 1
= 6
0 3
= 9
3
= 1 sehingga diperoleh
1
+
2
+
1 2
= 2 + 3 + 10 = 15
2
+
3
+
2 3
= 3 + 1 + 4 = 8
3
+
1
+
3 1
= 1 + 5 + 6 = 12 +
1
+
0 1
= 5 + 2 + 8 = 15 +
2
+
0 2
= 5 + 3 + 7 = 15 +
3
+
0 3
= 5 + 1 + 9 = 15 Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf
4
bukan graf edge magic. Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 6 dengan bentuk seperti pada
Gambar 26.
6
:
v
1
v
2
v
3
v
4
v v
5
Gambar 26 Graf wheel ber-order 6.
Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Simpul-simpul
pada graf
6
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 7
3
= 11
1
= 5
4
= 4
2
= 2
5
= 1 Dipilih
= 21, maka diperoleh label sisi, sehingga
1
+
2
+
1 2
= 5 + 2 + 14 = 21
2
+
3
+
2 3
= 2 + 11 + 8 = 21
3
+
4
+
3 4
= 11 + 4 + 6 = 21
4
+
5
+
4 5
= 4 + 1 + 16 = 21
5
+
1
+
5 1
= 1 + 5 + 15 = 21
+
1
+
0 1
= 7 + 5 + 9 = 21
+
2
+
0 2
= 7 + 2 + 12 = 21
+
3
+
0 3
= 7 + 11 + 3 = 21
+
4
+
0 4
= 7 + 4 + 10 = 21
+
5
+
0 5
= 7 + 1 + 13 = 21
dan dapat digambarkan sebagai berikut
5 14
2 8
11 6
4 16
1 15
9 7
12 3
13 10
Gambar 27 Pelabelan edge magic pada graf
6
. Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 8 dengan bentuk seperti pada
Gambar 28.
8
:
v v
2
v
3
v
1
v
4
v
5
v
6
v
7
Gambar 28 Graf wheel ber-order 8.
Misalkan simpul-simpul pada graf
4
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu = 10
1 2
= 15
0 1
= 16
1
= 2
2 3
= 8
0 2
= 7
2
= 11
3 4
= 18
0 3
= 3
3
= 9
4 5
= 19
0 4
= 14
4
= 4
5 6
= 22
0 5
= 13
5
= 5
6 7
= 21
0 6
= 17
6
= 1
7 1
= 20
0 7
= 12
7
= 6 sehingga diperoleh
1
+
2
+
1 2
= 2 + 11 + 15 = 28
2
+
3
+
2 3
= 11 + 9 + 8 = 28
3
+
4
+
3 4
= 9 + 4 + 18 = 31
4
+
5
+
4 5
= 4 + 5 + 19 = 28
5
+
6
+
5 6
= 5 + 1 + 22 = 28
6
+
7
+
6 7
= 1 + 6 + 21 = 28
7
+
1
+
7 1
= 6 + 2 + 20 = 28
+
1
+
0 1
= 10 + 2 + 16 = 28
+
2
+
0 2
= 10 + 11 + 7 = 28
+
3
+
0 3
= 10 + 9 + 3 = 22
+
4
+
0 4
= 10 + 4 + 14 = 28
+
5
+
0 5
= 10 + 5 + 13 = 28
+
6
+
0 6
= 10 + 1 + 17 = 28
+
7
+
0 7
= 10 + 6 + 12 = 28
Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf
8
bukan graf edge magic. Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 29.
9
:
v v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
8
v
7
Gambar 29 Graf wheel ber-order 9.
Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-
simpul pada graf
9
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 13
5
= 1
1
= 7
6
= 22
2
= 20
7
= 2
3
= 8
8
= 23
4
= 21 Dipilih
= 39, maka diperoleh label sisi, sehingga
1
+
2
+
1 2
= 7 + 20 + 12 = 39
2
+
3
+
2 3
= 20 + 8 + 11 = 39
3
+
4
+
3 4
= 8 + 21 + 10 = 39
4
+
5
+
4 5
= 21 + 1 + 19 = 39
5
+
6
+
5 6
= 1 + 22 + 16 = 39
6
+
7
+
6 7
= 22 + 2 + 15 = 39
7
+
8
+
7 8
= 2 + 23 + 14 = 39
8
+
1
+
8 1
= 23 + 7 + 9 = 39
+
1
+
0 1
= 13 + 7 + 19 = 39
+
2
+
0 2
= 13 + 20 + 6 = 39
+
3
+
0 3
= 13 + 8 + 18 = 39
+
4
+
0 4
= 13 + 21 + 5 = 39
+
5
+
0 5
= 13 + 1 + 25 = 39
+
6
+
0 6
= 13 + 22 + 4 = 39
+
7
+
0 7
= 13 + 2 + 24 = 39
+
8
+
0 8
= 13 + 23 + 3 = 39
dan dapat digambarkan sebagai berikut
7 12
20 11
8 10
21 19
1 16
22 15
2 14
23 9
13 6
18 5
25 4
24 3
19
Gambar 30 Pelabelan edge magic pada graf
9
. Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 11 dengan bentuk seperti
pada Gambar 31.
11
:
v v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
9
v
10
Gambar 31 Graf wheel ber-order 11.
Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-
simpul pada graf
11
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
= 14
6
= 4
1
= 23
7
= 22
2
= 2
8
= 5
3
= 26
9
= 25
4
= 3
10
= 8
5
= 31 Dipilih
= 46, maka diperoleh label sisi, sehingga
1
+
2
+
1 2
= 23 + 2 + 21 = 46
2
+
3
+
2 3
= 2 + 26 + 18 = 46
3
+
4
+
3 4
= 26 + 3 + 17 = 46
4
+
5
+
4 5
= 3 + 31 + 12 = 46
5
+
6
+
5 6
= 31 + 4 + 11 = 46
6
+
7
+
6 7
= 4 + 22 + 20 = 46
7
+
8
+
7 8
= 22 + 5 + 19 = 46
8
+
9
+
8 9
= 5 + 25 + 16 = 46
9
+
10
+
9 10
= 25 + 8 + 13 = 46
10
+
1
+
10 1
= 8 + 23 + 15 = 46
+
1
+
0 1
= 14 + 23 + 9 = 46
+
2
+
0 2
= 14 + 2 + 30 = 46
+
3
+
0 3
= 14 + 26 + 6 = 46
+
4
+
0 4
= 14 + 3 + 29 = 46
+
5
+
0 5
= 14 + 31 + 1 = 46
+
6
+
0 6
= 14 + 4 + 28 = 46
+
7
+
0 7
= 14 + 22 + 10 = 46
+
8
+
0 8
= 14 + 5 + 27 = 46
+
9
+
0 9
= 14 + 25 + 7 = 46
+
10
+
0 10
= 14 + 8 + 24 = 46
dan dapat digambarkan sebagai berikut
23 21
2 18
26 17
3 12
31 11
4 20
22 19
16 25
13 8
15
14 9
30 6
29 1
28 10
27 7
24
5
Gambar 32 Pelabelan edge magic pada graf
11
. Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat
dilihat bahwa dengan order dan
mod 4 yaitu
4
dan
8
bukan graf edge magic. Sedangkan
dengan order dan 0 mod 4 yaitu
6
,
9
, dan
11
merupakan graf edge magic.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan