ix
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan
menggunakan graf. Masalah ini pertama kali dipecahkan pada tahun 1736 oleh Leonhard
Euler seorang ahli matematika asal Swiss yang menemukan salah satu cabang dari
matematika yang saat ini dikenal sebagai
“Teori Graf”. Teori graf merupakan pokok bahasan yang
memiliki banyak terapan sampai saat ini, di antaranya dalam model jaringan transportasi,
teknik elektro, kimia, sistem komunikasi, administrasi bisnis, sosiologi, marketing,
desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan yang lainnya. Banyak permasalahan
yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk
merencanakan tempat pembuangan sampah pada suatu perumahan penduduk, diagnosa
dalam jaringan komputer, dan masih banyak lagi permasalahan yang dapat diselesaikan
dengan menggunakan graf.
Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah
suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli.
Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib
magic, pelabelan anti ajaib, dan pelabelan yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan
ajaib magic, dikenal pula pelabelan vertex magic,
pelabelan super
vertex magic,
pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic.
Pelabelan super edge magic pada suatu graf
� yang memiliki simpul dan sisi adalah jika
� memiliki pelabelan edge magic dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya
ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan graf yang
memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Ada satu lema dan dua teorema yang
digunakan untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan pelabelan
graf yang super edge magic. Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis
Enomoto et al. pada tahun 1998.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle
dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf
yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.
2.1
Teori Graf
Definisi 1 Graf Suatu graf
� adalah pasangan terurut ,
� dengan adalah himpunan takkosong dan berhingga dan
� adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan
elemen-elemen .
Graf � dinotasikan
� = , �. Elemen disebut simpul vertex sedangkan elemen
� disebut sisi edge. Himpunan dari simpul-simpul pada graf
� dinotasikan
dengan �, sedangkan
himpunan dari
sisi-sisi pada
graf �
dinotasikan dengan ��.
Foulds 1992 Graf yang dimaksud pada definisi tersebut
adalah graf tak berarah artinya graf yang sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf
tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1. �:
a
b c
d e
Gambar 1 Graf � = , �.
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah
� = { , , , , } � � = { , , , , , , , , , }.
Definisi 2 Order dan Size
Misalkan diberikan graf �. Banyaknya
simpul pada graf � disebut order dan
banyaknya sisi pada graf � disebut size. Order
dari graf � dinotasikan dengan | � | dan
size dari graf � dinotasikan dengan |� � |.
Chartrand Oellermann 1993 Pada Gambar 1, nilai dari
� = 5 dan � � = 5.
Definisi 3 Incident dan Adjacent
Misalkan diberikan graf �. Jika
= { , }
∈ �� dengan , ∈ � maka dan dikatakan adjacent di
� dan dikatakan incident dengan dan .
Chartrand Oellermann 1993 Pada Gambar 1, misalkan
= { , } ∈ ��
maka dan dikatakan adjacent di � dan
dikatakan incident dengan dan . Definisi 4
Degree
Derajat degree dari suatu simpul pada graf
� adalah banyaknya sisi yang incident dengan dan dinotasikan dengan deg .
Chartrand Oellermann 1993 Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah
deg = 2, deg = 3, deg = 3, deg
= 1, dan deg
= 1.
Definisi 5 Walk
Suatu walk pada graf � adalah suatu
barisan simpul dan sisi dari graf � dengan
bentuk {
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
3
,
3
, … ,
−1
, , }
dan dapat dituliskan sebagai {
1
,
2
, … , }
atau
1
,
2
, … , . Suatu walk yang
menghubungkan
1
dengan dikatakan
tertutup jika
1
= . Jika
1
≠ maka walk tersebut dikatakan terbuka.
Foulds 1992 Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu
walk { ,
, , , { , }, , { , }, }.
Definisi 6 Cycle
Cycle pada suatu graf � adalah walk
tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda.
Foulds 1992 Pada Gambar 1 terdapat cycle pada graf
� yang terdiri atas tiga simpul, yaitu
a
c b
Gambar 2 Cycle.
Definisi 7 Graf Nontrivial
Suatu graf � disebut graf nontrivial jika
suatu graf � memiliki order paling sedikit
dua. Chartrand Oellermann 1993
Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial ber-order
3. �:
Gambar 3 Graf � nontrivial.
Definisi 8 Graf
Cycle
Suatu graf ber-order dengan 3 yang
membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan
� . Chartrand Oellermann 1993
Berikut ini diberikan contoh graf cycle ber- order
5. �
5
:
a e
d c
b
Gambar 4 Graf cycle ber-order 5.
Definisi 9 Graf Lengkap
Graf ber-order yang setiap dua
simpulnya adjacent disebut graf lengkap complete graph dan dinotasikan dengan
� . Chartrand Oellermann 1993
Berikut diberikan contoh graf lengkap ber- order
5 seperti pada Gambar 5.
�
5
:
Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5.
Definisi 10 Union dari 2 Graf
Misalkan �
1
dan �
2
adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union
dari �
1
dan �
2
, dituliskan �
1
∪ �
2
, adalah graf yang memiliki
�
1
∪ �
2
= �
1
∪ �
2
dan � �
1
∪ �
2
= ��
1
∪ ��
2
. Chartrand Oellermann 1993
Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. �
3
∪ 3�
1
:
Gambar 6 Union dari 2 graf.
Definisi 11 Join dari 2 Graf
Misalkan �
1
dan �
2
adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari
�
1
dan �
2
, dituliskan �
1
+ �
2
, adalah graf �
1
∪ �
2
dimana setiap simpul di �
1
adjacent dengan setiap simpul di
�
2
ditambah semua sisi bertipe
1 2
dengan
1
∈ �
1
dan
2
∈ �
2
. Chartrand Oellermann 1993
Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. �
4
:
�
1
: �
4
+ �
1
:
Gambar 7 Join dari 2 graf.
Definisi 12 Graf Wheel
Untuk 4, graf wheel
dengan order adalah join dari graf cycle
�
−1
ber-order − 1 dan graf lengkap complete graph �
1
ber-order 1.
Fukuchi 2001 Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order
7.
7
:
v v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.
2.2 Pelabelan Graf
Kategori