Aplikasi Sifat Supremum

2.5 Aplikasi Sifat Supremum

Sekarang kita akan membahas bagaimana supremum dan infimum digunakan. Contoh berikut menunjukkan bagaimana definisi supremum dan infimum digunakan dalam pembuktian. Kita juga akan memberikan beberapa aplikasi penting sifat ini un- tuk menurunkan sifat-sifat fundamental sistem bilangan real yang akan sering diguna- kan.

2.5.1 Contoh-contoh

(a). Sangatlah penting untuk menghubungkan infimum dan supremum suatu .,KKMNBV himpunan dengan sifat-sifat aljabar R . Di sini kita akan sajikan salah satunya ; yaitu tentang penjumlahan, sementara yang lain diberikan sebagai latihan.

Misalkan S sub himpunan tak kosong dari R . Definisikan himpunan

a + S = {a + x : x ∈ S}. Kita akan tunjukkan bahwa sup (a + S) = a + sup S. Bila kita misalkan u = sup S, maka karena x ≤ u untuk semua x ∈ S, kita mempunyai a+x ≤ a + u. Karena itu a + u batas atas dari a + S ; akibatnya kita mempunyai sup (a + S) ≤ a + u. Bila v sebarang batas atas dari himpunan a + S, maka a + x ≤ v untuk semua x ∈ S. Maka x ≤ v - a untuk semua x ∈ S, yang mengakibatkan u = sup S ≤ v-

a, sehingga a + u ≤ v. Karena v sebarang batas atas dari a + S, kita dapat mengganti v

Analisis Real I 51

Aljabar Himpunan dengan sup (a + S) untuk memperoleh a + u ≤ sup (a + S). Dengan menggabungkan

ketaksamaan di atas diperoleh bahwa

sup (a + S) = a + u = a + sup S. (b). Misalkan f dan g fungsi-fungsi bernilai real dengan domain D ⊆ R . Kita asumsi-

kan rangenya f(D) = {f(x) : x ∈ D} dan g(D) = {g(x) : x ∈ D}himpunan terbatas di R . (i). Bila f(x) ≤ g(x) untuk semua x ∈

D, maka sup f(D) ≤ sup g(D). Untuk membuktikan hal ini, kita catat bahwa sup g(D) merupakan batas atas himpunan f(D) karena untuk setiap x ∈

D, kita mempunyai f(x) ≤ g(x) ≤ sup g(D). Karenanya sup f(D) ≤ sup g(D). (ii). Bila f(x) ≤ g(y) untuk semua x,y ∈

D, maka sup f(D) ≤ sup g(D). Buktinya dalam dua tahap. Pertama, untuk suatu y tertentu di D, kita lihat bahwa f(x) ≤ g(y) untuk semua x ∈

D, maka g(y) batas atas dari himpunan f(D). Aki- batnya sup f(D) ≤ g(y). Karena ketaksamaan terakhir dipenuhi untuk semua y ∈ D, maka sup f(D) merupakan batas bawah dari g(D). Karena itu, haruslah sup f(D) ≤ inf g(D). (c). Perlu dicatat bahwa hipotesis f(x) ≤ g(x) untuk semua x ∈

D pada (b) tidak menghasilkan hubungan antara sup f(D) dan inf g(D). Sebagai contoh, bila f(x) = x 2

dan g(x) = x dengan D = {x ∈ R : 0 < x < 1}, maka f(x) ≤ g(x) untuk semua x ∈ D, tetapi sup f(D) = 1 dan inf g(D) = 0, serta sup g(D) = 1. Jadi (i) dipenuhi, sedangkan (ii) tidak.

Lebih jauh mengenai hubungan infimum dan supremum himpunan dari nilai fungsi diberikan sebagai latihan.

Sifat Archimedes

Salah satu akibat dari sifat supremum adalah bahwa himpunan bilangan asli N tidak terbatas di atas dalam R . Hal ini berarti bahwa bila diberikan sebarang bilangan real x terdapat bilangan asli n (bergantung pada x) sehingga x < n. Hal ini tampaknya mudah, tetapi sifat ini tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat aljabar dan

Analisis Real I 52

Pendahuluan urutan yang dibahas pada bagian terdahulu. Buktinya yang akan diberikan berikut ini

menunjukkan kegunaan yang esensial dari sifat supremum R .

2.5.2. Sifat Archimedes. Bila x ∈ R , maka terdapat n x ∈ N sehingga x < n x . Bukti : Bila kesimpulan di atas gagal, maka x terbatas atas dari N . Karenanya, menu- rut sifat supremum, himpunan tak kosong N mempunyai supremum u ∈ R . Oleh karena u -1 < u, maka menurut Lemma 2.4.4 terdapat m ∈ N sehingga u -1 < m. Tetapi hal ini mengakibatkan u < m + 1, sedangkan m + 1 ∈ N , yang kontradiksi den-

gan u batas atas dari N . Sifat Archimedes dapat dinyatakan dalam beberapa cara. Berikut kita sajikan tiga variasi diantaranya.

2.5.3 Teorema Akibat. Misalkan y dan z bilangan real positif. Maka : (a). Terdapat n ∈ N sehingga z < ny. (b). Terdapat n ∈ N sehingga 0 < 1/n < y. (c). Terdapat n ∈ N sehingga n - 1 ≤ z < n.

Bukti : (a). Karena x = z/y > 0, maka terdapat n ∈ N sehingga z/y = x < n dan dari sini diper- oleh z < ny. (b). Tetapkan z = 1 pada (a) yang akan memberikan 1 < ny, dan akibatnya 1/n < y.

(c). Sifat Archimedes menjamin subhimpunan {m ∈ N : z < m} dari N tidak kosong. Misalkan n unsur terkecil dari himpunan ini (lihat 1.3.1). Maka n - 1 bukan unsur himpunan tersebut, akibatnya n - 1 ≤ z < n.

Eksistensi 2

Pentingnya sifat supremum terletak pada fakta yang mana sifat ini menjamin eksistensi bilangan real di bawah hipotesis tertentu. Kita akan menggunakan ini be- berapa kali. Sementara ini, kita akan mengilustrasikan kegunaannya untuk membukti-

kan eksistensi bilangan positif x sehingga x 2 = 2. Telah ditunjukkan (lihat Teorema

Analisis Real I 53

Aljabar Himpunan

2.1.7) bahwa x yang demikian bukan bilangan rasioanl ; jadi, paling tidak kita akan menunjukkan eksistensi sebuah bilangan irrasional.

2.5.4 Teorema 2 . Terdapat bilangan real positif x sehingga x = 2. Bukti :

2 Misalkan S = {s ∈ R 0 ≤ s, s < 2}. Karena 1 ∈ s, maka S bukan himpunan kosong. Juga, S terbatas di atas oleh 2, karena bila t > 2, maka t 2 > 4 sehingga t ∉ S.

Karena itu, menurut sifat supremum, S mempunyai supremum di R , katakan x = sup S. Catatan : x > 1.

2 Kita akan buktikan bahwa x = 2 dengan menanggalkan dua kemungkinan x < 2 dan x 2 > 2.

2 Pertama andaikan x < 2. Kita akan tunjukkan bahwa asumsi ini kontradiksi dengan fakta bahwa x = sup S yaitu dengan menemukan n ∈ N sehingga x + 1/n ∈ S,

yang berakibat bahwa x bukan batas atas dari S. Untuk melihat bagaimana cara memilih n yang demikian, gunakan fakta bahwa 1/n 2 ≤ 1/n, sehingga

1 2 2 2x

( x + n ) = x ++≤ n n 2 x + n ( 2x 1 + )

Dari sini kita dapat memilih n sehingga

n (2x + 1) < 2 - x ,

2 2 maka kita memperoleh (x + 1/n) 2 <x + (2 - x ) = 2. Dari asumsi, kita mempunyai 2 -

2 x 2 > 0, sehingga (2 - x )/(2x + 1) > 0. Dari sini sifat Archimedes dapat digunakan un-

tuk memperoleh n ∈ N sehingga

n 2x 1 + Langkah-langkah ini dapat dibalik untuk menunjukkan bahwa dengan pemilihan n ini

kita mempunyai x + 1 n ∈ S, yang kontradiksi dengan fakta bahwa x batas atas dari S.

Karenanya, haruslah x 2 ≥ 2.

2 Sekarang andaikan x > 2. Kita akan tunjukkan bahwa dimungkinkan untuk menemukan m ∈

sehingga x - 1/m juga merupakan batas atas dari S, yang meng- kontradiksi fakta bahwa x = sup S. Untuk melakukannya, perhatikan bahwa

Analisis Real I 54

Pendahuluan

1 2 2 2x

( x + m ) = x ++ m m 2 > x − m

1 2 2x

Dari sini kita dapat memilih m sehingga 2x

maka (x - 1/m) 2 > x - (x - 2) = 2. Sekarang dengan pengandaian x - 2 > 0, maka x 2 − 2

> 0. Dari sini, dengan sifat Archimedes, terdapat m ∈ N sehingga 2x

2x

Langkah ini dapat dibalik untuk menunjukkan bahwa dengan pemilihan m ini kita

2 2 mempunyai (x - 1/m) 2 > 2. Sekarang bila s ∈ S, maka s < 2 < (x - 1/m) , yang mana menurut 2.2.14(a) bahwa s < x - 1/m. Hal ini mengakibatkan bahwa x - 1/m meru-

pakan batas atas dari S, yang kontradiksi dengan fakta bahwa x = sup S. Jadi tidak mungkin x 2 > 2.

2 2 Karena tidak mungkin dipenuhi x 2 > 2 atau x < 2, haruslah x = 2. (*) Dengan sedikit modifikasi, pembaca dapat menunjukkan bahwa bila a > 0,

maka terdapat b > 0 yang tunggal, sehingga b 2 = a. Kita katakan b akar kuadrat

positif 1/2 dari a dan dituliskan dengan b = a atau b = a . Dengan cara sedikit lebih rumit yang melibatkan teorema binomial dapat diformulasikan eksistensi tunggal dari

akar pangkat-n positif 1/n dari a, yang dituliskan dengan a atau a , untuk n ∈ N .

Densitas (= kepadatan) Bilangan Rasional di R

Sekarang kita mengetahui terdapat paling tidak sebuah bilangan irrasional, yaitu 2 . Sebenarnya terdapat “ lebih banyak ” bilangan irasional dibandingkan bi-

langan rasional dalam arti himpunan bilangan rasional terhitung sementara himpunan bilangan irrasional tak terhitung. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional “ padat ” di R dalam arti bahwa bilangan rasional dapat ditemukan diantara sebarang dua bilangan real yang berbeda.

Analisis Real I 55

Aljabar Himpunan

2.5.5 Teorema Densitas. Bila x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bi- langan rasional r sehingga x < r < y.

Bukti : Tanpa mengurangi berlakunya secara umum, misalkan x > 0. (Mengapa?). De- ngan sifat Archimedes 2.5.2, terdapat n ∈ N .sehingga n > 1/(y - x). Untuk n yang demi-kian, kita mempunyai bahwa ny - nx > 1. Dengan menggunakan Teorema Aki- bat 2.5.3(c) ke nx > 0, kita peroleh m ∈ N sehingga m - 1 ≤ nx < m. Bilangan m ini juga memenuhi m < ny, sehingga r = m/n bilangan rasional yang memenuhi x < r < y. Untuk mengakhiri pembahasan tentang hubungan bilangan rasional dan ira- sional, kita juga mempunyai sifat serupa untuk bilangan irasional.

2.5.6 Teorema akibat. Bila x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilan- gan irasional z sehingga x < z < y. Bukti :

2 dan y

Dengan menggunakan Teorema Densitas 2.5.5 pada bilangan real x

2 , kita peroleh bilangan rasional r ≠ 0 sehingga x

2 <r< y 2. Maka z = r 2 adalah bilangan irrasional (Mengapa?) dan memenuhi x < z < y.

Latihan 2.5