Sifat Kelengkapan R

2.4. Sifat Kelengkapan R

Sejauh ini pada bab ini kita telah membahas sifat aljabar dan sifat urutan sis- tem bilangan real. Pada bagian ini kita akan membahas satu sifat lagi dari R yang ser- ing disebut dengan “ sifat kelengkapan ”. Sistem bilangan rasional Q memenuhi sifat

aljabar 2.1.1 dan sifat ururtan 2.2.1, tetapi seperti kita lihat 2 tidak dapat direpre- sentasikan sebagai bilangan rasional, karena itu 2 tidak termuat di Q . Observasi ini

menunjukan perlunya sifat tambahan untuk bilangan real. Sifat tambahan ini, yaitu sifat kelengkapan, sangat esensial untuk R .

Ada beberapa versi sifat kelengkapan. Di sini kita pilih metode yang paling efisien dengan mengasumsikan bahwa himpunan tak kosong di R mempunyai supre- mum.

Supremum dan Infimum

Sekarang kita akan perkenalkan gagasan tentang batas atas suatu himpunan bilangan real. Gagasan ini akan sangat penting pada pembahasan selanjutnya.

2.4.1 Definisi. Misalkan S suatu sub himpunan dari R . (i). Bilangan u ∈ R dikatakan batas atas dari S bila s ≤ u, untuk semua s ∈ S.

Analisis Real I 46

Pendahuluan (ii). Bilangan w ∈ R dikatakan batas bawah dari S bila w ≤ s, untuk semua s ∈ S

Pembaca seharusnya memikirkan (dengan teliti) tentang apa yang dimaksud dengan suatu bilangan bukan batas atas (atau batas bawah) dari himpunan S. Pem- baca seharusnya menunjukkan bahwa bilangan v ∈ R bukan batas atas dari S jika dan hanya jika terdapat s ’ ∈ S, sehingga v < s ’ . (secara sama, bilangan z ∈ R bukan batas bawah dari S jika dan hanaya jika terdapat s ’’ ∈ S, sehingga s ” < z). Perlu kita cata bahwa subhimpunan S dari R mungkin saja tidak mempunyai batas atas (sbagai contoh, ambil S = R ). Tetapi, bila S mempunyai batas atas, maka S mempunyai tak hingga banyak batas atas sebab bila n batas atas dari S, maka sebarang v dengan v > u juga merupakan batas atas dari S. (Observasi yang serupa juga berlaku untuk batas bawah).

Kita juga catat bahwa suatu himpunan mungkin mempunyai batas bawah tetapi tidak mempunyai batas atas (dan sebaliknya). Sebagai contoh, perhatikan him-

punan S 1 = {x ∈ R :x ≥ 0} dan S 2 = {x ∈ R : x < 0}

Catatan : Bila kita menerapkan definisi di atas untuk himpunan kosong ∅ , kita dipaksa kepada ke- simpulan bahwa setiap bilangan real merupakan batas atas dari ∅ . Karena agar u ∈ R bukan batas atas dari S, unsur s’ ∈ S harus ada, sehingga u < s’. Bila S = ∅ , maka tidak ada unsur di S. Dari sini setiap bilangan real merupakan batas atas dari himpunan kosong. Secara sama, setiap bilangan real meru- pakan batas bawah dari himpunan kosong. Hal ini mungkin artifisial, tetapi merupakan konsekuensi

logis dari definisi.

Pada pembahasan ini, kita katakan bahwa suatu himpunan S di R terbatas di atas bila S mempunyai batas atas. Secara sama, bila himpunan P di R mempunyai batas bawah, kita katakan P terbatas di bawah . Sedangkan suatu himpunan A di R dikatakan tidak terbatas bila A tidak mempunyai (paling tidak satu dari) batas atas

atau batas bawah. Sebagai contoh, {x ∈ R :x ≤ 2} tidak terbatas (walaupun mempun- yai batas atas) karena tidak mempunyai batas bawah.

2.4.2 Definisi. Misalkan S subhimpunan dari R , (i). Bila S terbatas di atas, maka batas atas u dikatakan supremum (atau batas atas ter-kecil) dari S bila tidak terdapat batas atas (yang lain) dari S yang kurang dari u.

Analisis Real I 47

Aljabar Himpunan (ii). Bila S terbatas di bawah, maka batas bawah w dikatakan infimum (atau batas

bawah terbesar) dari S bila tidak terdapat batas bawah (yang lain) dari S yang kurang dari w.

Akan sangat berguna untuk memfarmasikan ulang definisi supremum dari suatu himpunan.

2.4.3 Lemma. Bilangan real u merupakan supremum dari himpunan tak kosong S di R jika dan hanya jika u memenuhi kedua kondisi berikut : (1). s ≤ u untuk semua s ∈ S.

(2). bila v < u, maka terdapat s ’ ∈ S sehingga v < s ’ .

Kita tinggalkan bukti dari lemma ini sebagai latihan yang sangat penting bagi pembaca. Pembaca seharusnya juga memfarmasikan dan membuktikan hal yang se- rupa untuk infimum.

Tidak sulit untuk membuktikan bahwa supremum dari himpunan S di R bersi- fat tunggal. Misalkan u 1 dan u 2 supremum dari S, maka keduanya merupakan batas atas dari S. Andaikan u 1 <u 2 dengan hipotesis u 2 supremum mengakibatkan bahwa u 1 bukan batas atas dari S. Secara sama, pengandaian u 2 <u 1 dengan hipotesis u 1 supre- mum menga-kibatkan bahwa u 2 bukan batas atas dari S. Karena itu, haruslah u 1 =u 2 . (Pembaca seharusnya menggunakan cara serupa untuk menunjukkan infimum dari suatu himpunan di R bersifat tunggal).

Bila supremum atau infimum dari suatu himpunan S ada, kita akan menulis- kan-nya dengan

Kita amati juga bahwa bila u ’ sebarang batas atas dari S, maka sup S ≤ u ’ . Yaitu, bila s ≤ u ’ untuk semua s ∈ S, maka sup S ≤ u ’ . Hal ini mengatakan bahwa sup

S merupakan batas atas terkecil dari S. Kriteria berikut sering berguna dalam mengenali batas atas tertentu dari suatu himpunan merupakan supremum dari himpunan tersebut.

2.4.4 Lemma. Suatu batas atas u dari himpunan tak kosong S di R merupakan supre- mum dari S jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat s ε ∈ S sehingga u - ε

Analisis Real I 48

Pendahuluan Bukti :

Misalkan u batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas. Bila v < u dan kita tetapkan ε = u - v, maka ε > 0, dan kondisi di atas mengakibatkan terdapat s ε ∈ S sehingga v = u - ε <s ε . Karennya v bukan batas atas dari S. Karena hal ini berlaku un- tuk sebarang v yang kurang dari u, maka haruslah u = sup S.

Sebaliknya, misalkan u = sup S dan ε > 0. Karena u - ε < u, maka u - ε bukan batas atas dari S. Karenanya terdapat unsur s ε di S yang lebih dari u - ε , yaitu u - ε < s ε .

Penting juga untuk dicatat bahwa supremum dari suatu himpunan dapat meru- pakan unsur dari himpunan tersebut maupun bukan. Hal ini bergantung pada jenis himpunannya. Kita perhatikan contoh-contoh berikut.

2.4.5 Contoh-contoh

(a). Bila himpunan tak kosong S 1 mempunyai berhingga jumlah unsur, maka S 1 mem- punyai unsur terbesar u dan unsur terkecil w. Lebih dari itu u = sup S 1 dan w = inf S 1 keduanya unsur di S 1 . (Hal ini jelas bila S 1 hanya mempunyai sebuah unsur, dan dapat

digunakan induksi matematika untuk sejumlah unsur dari S 1 ).

(b). Himpunan S 2 = {x : 0 ≤ x ≤ 1} mempunyai 1 sebagai batas atas. Kita akan bukti- kan 1 merupakan supremum sebagai berikut. Bila v < 1, maka terdapat unsur s ’ di S 2 sehingga v < s ’ . (pilih unsur s ’ ). Dari sini v bukan batas atas dari S 2 dan, karena v se- barang bilangan v < 1, haruslah sup S 2 = 1. Secara sama, dapat ditunjukkan inf S 2 = 0.

Catatan : sup S 2 dan inf S 2 keduanya termuat di S 2 .

(c). Himpunan S 3 = {x : 0 < x < 1} mempunyai 1 sebagai batas atas. Dengan meng- gunakan argumentasi serupa (b) untuk S 2 , diperoleh sup S 3 = 1. Dalam hal ini, him- punan S 3 tidak memuat sup S 3 . Secara sama, inf S 3 = 0, tidak termuat di S 3 . (d). Seperti telah disebutkan, setiap bilangan real merupakan batas atas dari himpunan

kosong, karenanya himpunan kosong tidak mempunyai supremum. Secara sama him- punan kosong juga tidak mempunyai infimum.

Sifat Supremum dari R Berikut ini kita akan membahas asumsi terakhir tentang R yang sering disebut dengan Sifat Kelengkapan dari R . Selanjutnya kita katakan R merupakan suatu medan terurut yang lengkap.

Analisis Real I 49

Aljabar Himpunan

2.4.6 Sifat Supremum dari R . Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mem- punyai batas atas mempunyai supremum di R . Sifat infimum yang serupa dapat diturunkan dari sifat supremum. Katakan S

sub himpunan tak kosong yang terbatas di bawah dari R . Maka himpunan S ’ = {-s : s ∈ S} terbatas di atas, dan sifat supremum mengakibatkan bahwa u = sup S ’ ada. Hal ini kemudian diikuti bahwa -u merupakan infimum dari S, yang pembaca harus bukti-

kan.

2.4.7 Sifat Infimum dari R . Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mem- punyai batas bawah mempunyai infimum di R . Pembaca seharusnya menuliskan bukti lengkapnya.

Latihan 2.4

1. Misalkan S 1 = {x ∈ R : x ≥ 0}. Tunjukkan secara lengkap bahwa S 1 mempunyai batas bawah, tetapi tidak mempunyai batas atas. Tunjukkan pula bahwa inf S 1 = 0.

2. Misalkan S 2 = {x ∈ R :x ≥ 0}. Apakah S 2 mempunyai batas bawah ? Apakah S 2 mempunyai batas atas ? Buktikan pernyataan yang anda berikan.

3. Misalkan S 3 = {1/n n ∈ N }. Tunjukkan bahwa sup S 3 = 1 dan inf S 3 ≥ 0. (Hal ini akan diikuti bahwa inf S 3 = 0, dengan menggunakan Sifat Arechimedes 2.5.2 atau

2.5.3 (b)).

4. n Misalkan S

4 = {1 - (-1) /n : n ∈ N }.Tentukan inf S 4 dan sup S 4 .

5. Misalkan S subhimpunan tak kosong dari R yang terbatas di bawah. Tunjukkan bahwa inf S = -sup{-s : s ∈ S}.

6. Bila S ⊆ R memuat batas atasnya, tunjukkan bahwa batas atas tersebut merupakan supremum dari S.

7. Misalkan S ⊆ R yang tak kosong. Tunjukkan bahwa u ∈ R merupakan batas atas dari R jika dan hanya jika kondisi t ∈ R dan t > u mengakibatkan t ∉ S.

8. Misalkan S ⊆ R yang tak kosong. Tunjukkan bahwa u = sup S, kaka untuk setiap n ∈ N , u - 1/n bukan batas atas dari S, tetapi u + 1/n batas atas dari S. (Hal sebali- knya juga benar ; lihat latihan 2.5.3).

Analisis Real I 50

Pendahuluan

9. Tunjukkan bahwa bila A dan B sub himpunan yang terbatas dari R , maka A ∪ B juga terbatas. Tunjukkan bahwa sup (A ∪

B) = sup {sup A, sup B}. 10.Misalkan S terbatas di R dan S sub himpunan tak kosong dari S. Tunjukkan bahwa

inf S ≤ inf S 0 ≤ sup S 0 ≤ sup S. 11.Misalkan S * ⊆ R dan s = sup S termuat di S. Bila u ∉ S, tunjukkan bahwa sup

(S * ∪ {u}) = sup {s ,u}. 12.Tunjukkan bahwa suatu himpunan tak kosong dan berhingga S ⊆ R memuat su-

premumnya. (Gunakan induksi matematika dan latihan nomor 11).