5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers Ingat kembali bahwa jika A ⊆ , maka fungsi f : A → dikatakan naik pada

Pasal 5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers Ingat kembali bahwa jika A ⊆ , maka fungsi f : A → dikatakan naik pada

A jika untuk setiap x 1 ,x 2 ∈ A dengan x 1 ≤ x 2 berlaku f(x 1 ) ≤ f(x 2 ). Fungsi f dikatakan naik secara murni pada A jika untuk setiap x 1 ,x 2 ∈ A dengan x 1 <x 2 berlaku f(x 1 )<

f (x 2 ). Demikian juga, g : A → dikatakan turun pada A jika untuk setiap x 1 ,x 2 ∈ A dengan x 1 ≥ x 2 berlaku g(x 1 ) ≥ g(x 2 ). Fungsi g dikatakan turun secara murni pada A

jika untuk setiap x 1 ,x 2 ∈ A dengan x 1 >x 2 berlaku g(x 1 ) > g(x 2 ).

Jika suatu fungsi naik atau turun pada A, maka kita katakan fungsi tersebut monoton pada A . Jika f fungsi naimk murni ayau turun murni pada A, kita katakan

bahwa f monoton murni pada A.

Kita perhatikan bahwa jika f : A → naik pada A maka g = -f turun pada A; demikian juga jika ϕ :A → turun pada A, maka ψ =- ϕ naik pada A. Dalam pasal ini, kita akan bekerja dengan fungsi-fungsi monoton yang dide- finisikan pada suatu interval I ⊆ . Kita akan mendiskusikan fungsi-fungsi naik secara eksplisit, tetapi itu jelas bahwa terdapat persesuaian hasil untuk fungsi-fungsi turun. Hasil-hasil ini dapat diperoleh secara langsung dari hasil-hasil untuk fungsi-fungsi naik atau dibuktikan dengan argumen yang serupa.

Fungsi monoton tidak perlu kontinu. Sebagai cintoh, jika f(x) = 0 untuk x ∈ [0,1] dan f(x) = 1 untuk x ∈ (1,2], maka f merupakan fungsi naik pada [0,1], tetapi tidak kontinu pada x = 1. Akan tetapi, hasil berikut ini menunjukkan bahwa suatu fungsi monoton selalu mempunyai limit-limit sepihak baik limit pihak-kiri maupun pihak-kanan (lihat Definisi 4.3.1) dalam

pada setiap titik yang bukan titik ujung dari domainnya.

Analisis Real I 189

Aljabar Himpunan

5.5.1 Teorema Misalkan I ⊆ suatu interval dan f : I → naik pada I. An- daikan bahwa c ∈ I bukan titik ujung dari I. Maka

(i) lim f = sup{f(x) : x ∈ I , x < c}

(ii) lim f = inf{f(x) : x ∈ I , x > c}

Bukti. Pertama-tama kita perhatikan jika x ∈ I dan x < c, maka f(x) ≤ f(c). Dari sini himpunan {f(x) : x ∈ I , x < c}, yang mana tidak kosong karena c bukan titik ujung dari I, terbatas diatas oleh f(c). Jadi ini menunjukkan bahwa supremumnya ada; kita simbol dengan L. Jika ε > 0 diberikan, maka L - ε bukan suatu batas atas dari him-

punan ini. Dari sini, terdapat y ε ∈ I , y ε < c sedemikian sehingga L - ε < f(y ε ) ≤ L. Karena f fungsi naik, kita simpulkan bahwa jika δ ( ε )=c-y ε dan jika 0 < c – y < δ ( ε ), maka ), maka y ε < y < c dengan demikian

L - ε < f(y ε ) ≤ f(y) ≤ L Oleh karena itu  f (y) - L  < ε bila 0 < c – y < δ ( ε ). Karena ε > 0 sebarang, kita kata- kan bahwa (i) berlaku. Pembuktian bagian (ii) dilakukan dengan cara serupa. Hasil berikut memberikan kriteria untuk kekontinuan dari fungsi naik f pada

suatu titik c yang bukan titik ujung interval pada mana f didefinisikan.

5.5.2 Akibat Misalkan I ⊆ suatu interval dan f : I → naik pada I. An- daikan bahwa c ∈ I bukan titik ujung dari I. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen. (a)

f kontinu pada c.

(b) lim f =f (c) = lim f

(c) sup{f(x) : x ∈ I , x < c} = f(c) = inf{f(x) : x ∈ I , x > c}

Pembuktiannya mudah, tinggal mengikuti Teorema 5.5.1 dan 4.3.3. Kita ting- galkan detailnya untuk pembaca.

Analisis Real I 190

Pendahuluan Misalkan I suatu interval dan f : I → suatu fungsi naik. Jika a titik ujung

kiri dari I, maka merupakan suatu latihan untuk menunjukkan bahwa f kontinu pada a jika dan hanya jika

f (a) = inf{f(x) : x ∈ I , a < x} atau jika hanya jika lim f . Syarat yang serupa diterapkan pada suatu titik ujung

kanan dari I, dan untuk fungsi-fungsi turun.

j f (c)

GAMBAR 5.5.1 Lompatan dari f pada c

Jika f : I → fungsi naik pada I dan jika c bukan suatu titik ujung dari I, kita definisikan lompatan dari f pada c sebagai j f (c) = lim f - lim f . (Lihat Gambar

5.5.1.) Mengikuti Teorema 5.5.1 bahwa j f (c) = inf{f(x) : x ∈ I , x > c} - sup{f(x) : x ∈ I , x < c} untuk suatu fungsi naik. Jika titik ujung kiri a dari I masuk dalam I, kita mendefinisi- kan lompatan dari f pada a menjadi j f (a) = lim f - f(a). Jika titik ujung kanan b

dari I masuk dalam I, kita mendefinisikan lompatan dari f pada b menjadi j f (b) =

f (b) - lim f .

5.5.3 Teorema Misalkan I ⊆ suatu interval dan f : I → naik pada I. Jika

c ∈ I , maka f kontinu pada c jika dan hanya jika j f (c) = 0

Bukti. Jika c bukan suatu titik ujung, ini secara mudah mengikuti Akibat

5.5.2. Jika c ∈ I titik kiri ujung dari I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika f(c) = Analisis Real I 191

Aljabar Himpunan lim f , yang mana ekuivalen dengan j f (c) = 0. Cara serupa juga dapat diperoleh un-

tuk kasus c ∈ I titik ujung kanan dari I.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa bisa terdapat paling banyak sejumlah terhitung titik- titik dimana fungsi monoton diskontinu.

5.5.4 Teorema Misalkan I ⊆ suatu interval dan f : I → fungsi monoton pada I. Maka himpunan titik-titik D ⊆ I dimana f diskontinu adalah himpunan terhi-

tung. Bukti. Kita akan menganggap bahwa f fungsi naik pada I. Mengikuti Teorema

5.5.3 bahwa D = {x ∈ I :j f (x) ≠ 0}. Kita akan memandang kasus bahwa I = [a,b] suatu interval tertutup dan terbatas, ditinggalkan kasus lain sebagai latihan bagi pembaca. Pertama-tama kita perhatikan bahwa karena f fungsi naik, maka j f (c) ≥ 0 untuk semua c ∈ I . Selain itu, jika a ≤ x 1 <…<x n ≤ b, maka (mengapa?) kita mempunyai

f (a) ≤ f(a) + j f (x 1 )<…<j f (x n ) ≤ f(b),

yang mana berarti bahwa

j f (x 1 )<…<j f (x n ) ≤ f(b) – f(a).

(Lihat Gambar 5.5.2.) Akibatnya bisa terdapat paling banyak k buah titik dalam I = [a,b] dimana j f (x) ≥ (f(b) – f(a))/k. Kita simpulkan bahwa terdapat paling banyak satu titik x ∈ I dimana j f (x) ≥ f(b) – f(a); terdapat baling banyak dua titik dalam I dimana j f (x) ≥ (f(b) – f(a))/2; terdapat baling banyak tiga titik dalam I dimana j f (x) ≥ (f(b) –

f (a))/3; dan seterusnya. Oleh karena itu terdapat paling banyak sejuemlah terhitung titik-titik x dimana j f (x) > 0. Akan tetapi karena setiap titik dalam D mesti masuk dalam himpunan ini, kita simpulkan bahwa D himpunan terhitung.

Teorema 5.5.4 beberapa aplikasi yang berguna. Sebagai contoh, diperlihatkan dalam Latihan 5.2.12 bahwa jika h : → memenuhi identitas (*)

h (x + y) = h(x) + h(y)

untuk semua x,y ∈

Analisis Real I 192

Pendahuluan dan jika h kontinu pada satu titik x 0 , maka h kontinu pada setiap titik dalam . Ini

berarti bahwa jika h merupakan fungsi monotan yang memenuhi (*), maka h mesti

j f (x 4 ) {

f (b)

j f (x 3 ) {

f (b) - f(a)

j f (x 2 ) {

j f (x 1 ) {

f(a)

a x 1 x 2 x 3 x 4 b kontinu pada .

GAMBAR 5.5.2 j f (x 1 )+…+j f (x n ) ≤ f(b) – f(a)

Fungsi-fungsi Invers

Sekarang kita akan memandang keberadaan invers suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval I ⊆ . Kita ingat kembali (lihat Pasal 1.2) bahwa suatu fungsi f : I → mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f injektif ( = satu-satu); yaitu x,y ∈ I dan x ≠ y mengakibatkan bahwa f(x) ≠ f(y). Kita perhatikan bahwa suatu fungsi monoton murni adalah injektif dan dengan demikian mempunyai invers. Dalam teo- rema berikut, kita menunjukkan bahwa jika f : I → fungsi kontinu monoton murni, maka f mempunyai suatu fungsi invers g pada J = f(I) yang juga fungsi kontinu monoton murni pada J. Khususnya, jika f fungsi naik murni maka demikian juga den- gan g, dan jika f fungsi turun murni maka demikian juga g.

Analisis Real I 193

Aljabar Himpunan

5.5.5 Teorema Invers Kontinu Misalkan I ⊆ suatu interval dan f : I → monoton murni dan kontinu pada I. Maka fungsi g invers dari f adalaj fungsi monoton murni dan kontinu pada J = f(I).

g (c)

j g (c)

GAMBAR 5.5.3 g(y) ≠ x

untuk y ∈ J

Bukti. Kita pandang kasus f fungsi naik murni, meninggalkan kasus bahwa f fungsi turun murni untuk pembaca. Karena f kontinu dan I suatu interval, maka menurut Teorema Pengawetan In- terval 5.3.10, J = f(I) suatu interval. Selain itu, karena f naik murni pada I, maka f fungsi injektif pada I; oleh karena itu fungsi g : J → invers dari f ada. Kita claim bahwa g naik murni. Memang, jika y 1 <y 2 , maka y 1 = f(x 1 ) dan y 2 = f(x 2 ) untuk suatu x 1 ,x 2 ∈ I. Kita mesti mempunyai x 1 <x 2 ; untuk hal lain x 1 ≥ x 2 , mengakibatkan y 1 =

f (x 1 ) ≥ f(x 2 )=y 2 , bertentangan dengan hipotesis bahwa y 1 <y 2 . Oleh karena itu kita mempunyai

g (y 1 )=x 1 <x 2 = g(x 2 ).

Karena y 1 dan y 2 sebarang unsur dalam J dengan y 1 <y 2 , kita simpulkan bahwa g naik murni pada J.

Analisis Real I 194

Pendahuluan Tinggal menunjukkan bahwa g kontinu pada J. Akan tetapi, ini merupakan

konsekuensi dati fakta bahwa g(J) = I suatu interval. Memang, jika g diskontinu pada suatu titik c ∈ J , maka lompatan dari g pada c tidak nol dengan demikian

lim g < lim g

Jika kita memilih sebarang x ≠ g(c) yang memenuhi lim g < x < lim g , maka x

mempunyai sifat bahwa x ≠ g(y) untuk sebarang y ∈ J . (Lihat Gambar 5.5.3.) Dari sini x ∉ I , yang mana kontradikdi dengan fakta bahwa I suatu interval. Oleh karena itu kita

menyimpulkan bahwa g kontinu pada J.

Fungsi Akar ke-n

Kita kan menggunakan Teorema Invers Kontinu 5.5.5 untuk fungsi pangkat ke-n. Kita perlu membedakan atas dua kasus: (i) n genap, dan (ii) n ganjil.

GAMBAR 5.5.4 Grafik dari f(x) = x n (x ≥ 0, n genap) (i) n genap. Agar diperoleh suatu fungsi yang monoton murni, kita batasi

perhatian kita untuk interval I = [0, n ∞ ). Jadi, misalkan f(x) = x untuk x ∈ I . (Lihat Gambar 5.5.4.) Kita telah melihat (dalam Latihan 2.2.17) bahwa jika 0 ≤ x < y, maka

f n (x) = x < y = f(y); oleh karena itu f monoton murni pada I. Selain itu, mengikuti Contoh 5.2.4(a) bahwa IfI kontinu pada I. Oleh karena itu, menurut Teorema Pen-

gawetan Interval 5.3.10, J = f(I) suatu interval. Kita akan menunjukkan bahwa J =

Analisis Real I 195

Aljabar Himpunan [0, ∞ ). Misalkan y ≥

0 sebarang; menurut Sifat Archimedean, terdapat k ∈ sedemikian sehingga 0 ≤ y < k. Karena (Mengapa?) n f (0) = 0 ≤ y<k ≤ k = f(k), mengikuti Teorema ilai Antara Bolzano 5.3.6 bahwa y ∈ J . Karena y ≥ 0 sebarang, kita simpulkan bahwa J = [0, ∞ ).

Kita menyimpulkan dari Teorema Invers Kontinu 5.5.5 bahwa fungsi g yaitu invers dari f(x) = x n pada I = [0.) naik murni dan kontinu pada J = [0,). Kita lazimnya

menuliskan

1/n

n g (x) = x atau g (x) = x

untuk x n ≥ 0 (n genap), dan menyebut x = x akar ke-n dari x ≥≥≥≥ 0 (n genap). Fungsi g dinamakan fungsi akar ke-n (n genap). (Lihat Gambar 5.5.5.)

1/n

1/ GAMBAR 5.5.5 n Grafik dari f (x) = x (x ≥ 0, n genap)

Karena g invers untuk f, kita mempunyai

untuk semua x ∈ [0, ∞ ). Kita dapat menuliskan persamaan-persamaan ini dalam bentuk berikut:

g (f(x)) = x

dan

f (g(x)) = x

1/n n (x ) =x dan (x ) =x untuk semua x ∈ [0, ∞ ) dan n genap.

n 1/n

(ii) n n ganjil. Dalam kasus ini kita misalkan F(x) = x untuk semua x ∈ ; menurut 5.3.4(a), F kontinu pada . Kita tinggalkan bagi pembaca untuk menunjuk-

kan bahwa F naik murni pada dan F( ) = . (Lihat Gambar 5.5.6.) Analisis Real I

Pendahuluan n Mengikuti Teorema Invers Kontinu 5.5.5, fungsi G yaitu invers dari F(x) = x

untuk x ∈ , adalah fungsi naik murni dan kontinu pada . Kita lazimnay menuliskan

n G (x) = x atau G (x) = x untuk x ∈ , n ganjil Dan menyebut x 1/n sebagai akar ke-n dari x ∈ ∈ ∈ ∈ . Fungsi G disebut fungsi akar ke-n

1/n

(n ganjil). (Lihat Gambar 5.5.7.) Disini kita mempunyai

1/n n (x ) =x dan (x ) =x untuk semua x ∈ dan n ganjil.

n 1/n

GAMBAR 5.5.6 Grafik F(x) = x n (x ∈ , n ganjil)

Pangkat-pangkat Rasional

Telah didefinisikan fungsi-fungsi akar ke-n untuk n ∈ , yang mana hal ini memudahkan untuk mendefinisikan pangkat-pangkat rasional.

1/n m 5.5.6 Definisi (i) Jika m,n ∈ dan x ≥ 0, kita definisikan x = (x ) . (ii)

m /n

1/n Jika m,n -m ∈ dan x > 0, kita definisikan x = (x ) . r Dari sini kita telah mendefinisikan x apabila r bilangan rasional dan x > 0.

-m/n

Grafik dari x r ξ x bergantung pada apakah r > 1, r = 1, 0 < r < 1, r = 0, atau r < 0. (Li- hat Ganbar 5.5.8.) Karena suatu bilangan rasional r ∈ dapat ditulis dalam bentuk r =

m /n dengan m ∈ ,n ∈ , dalam banyak cara, akan diunjukkan bahwa Definisi 5.5.6 tidak berarti ganda. Yaitu, jika r = m/n = p/q dengan m,p ∈ dan n,q ∈ dan jika x >

Analisis Real I 197

Aljabar Himpunan

1/q 0, maka (x p ) = (x ) . Kita tinggalkan sebagai latihan bagi pembaca untuk mem- buktikan hubungan ini.

1/n m

m 1/n 5.5.7 Teorema Jika m ∈ ,n ∈ , dan x > 0, maka x = (x ) .

m /n

n m Bukti. Jika x > 0 dan m,n ∈ , maka (x ) =x = (x ) . Sekarang misalkan y

mn

=x m = (x ) > 0 dengan demikian y = ((x ) ) = ((x ) ) =x . Oleh karena itu

m diperoleh bahwa y = (x 1/n ) .

GAMBAR 5.5.7 Grafik G(x) = x 1/n (x ∈ , n ganjil)

Pembaca akan menunjukkan juga, sebagai latihan, bahwa jika x > 0 dan r ,s ∈ , maka

Latihan-latihan

1. Jika I = [a,b] suatu interval dan f : I → suatu fungsi naik, maka titik a [atau juga, b] suatu titik minimum mutlak [atau juga, titik maksimum absolut] untuk f pada I. Jika f suatu fungsi naik murni, maka a merupakan satu-satunya titik minimum mutlak untuk f pada I.

2. Jika f dan g fungsi-fungsi naik pada suatu interval I ⊆ , tunjukkan bahwa f + g juga suatu fungsi naik pada I. Jika f juga fungsi naik murni pada I, maka f + g fungsi naik murni pada I.

3. Tunjukkan bahwa f(x) = x dan g(x) = x – 1 naik murni pada I = [0,1], akan tetapi hasil kali fg tidak naik pada I.

Analisis Real I 198

Pendahuluan

4. Tunjukkan bahwa jika f dan g fungsi-fingsi positif naik pada suatu interval I, maka fungsi hasil-kalinya fg merupakan fungsi naik pada I.

5. Tunjukkan bahwa jika I = [a,b] dan f : I → fungsi naik pada I, maka f kontinu pada a jika dan hanya jika f(a) = inf{f(x) : x ∈ (a,b]}.