 gakibatkan X konvergen ke bilangan real x. Karena X =   .konvergen ke x,

 1  gakibatkan X konvergen ke bilangan real x. Karena X =   .konvergen ke x,

2 menurut Teorema 3.2.3, X . X = (1/n) konvergen x 2 . Karena itu x = 0, akibatnya x =

1 1 1 (b). Misalkan x n =++++ 1 ... untuk n ∈ N.

Karena x n1 + = x n + > x, n kita melihat bahwa (x n ) suatu barisan naik. Dengan n1 +

menggunakan Teorema Konvergensi Monoton 3.3.2, pertanyaan apakah barisan ini konvergensi atau tidak dihasilkan oleh pertanyaan apakah barisan tersebut terbatas atau tidak. Upaya-upaya untuk menggunakan kalkulasi numerik secara langsung tiba pada suatu dugaan mengenai kemungkinan terbatasnya barisan (x n ) mengarah pada frustrasi yang tidak meyakinkan. Dengan perhitungan komputer akan memberikan

nilai aproksiasi x n ≈ 11,4 untuk n = 50.000 dan x n ≈ 12,1 untuk n = 100.000. Fakta numerik ini dapat menyatukan pengamat secara sekilas untuk menyimpulkan bahwa barisan ini terbatas. Akan tetapi pada kenyataannya barisan ini divergen, yang diperli- hatkan oleh

Dari sini barisan (x n ) tak terbatas, oleh karena itu divergen (teorema 3.2.2). (c) Misalkan Y = (y 1 n ) didefenisikan secara induktif oleh Y 1 = 1, Y n+1 =

4 ( 2y n + 3 )

untuk n 3 ≥ 1. Kita akan menunjukkan bahwa lim Y =

Analisis Real I 85

Aljabar Himpunan

4 . Dari sini kita mempunyai y 1 < y 2 < 2. Dengan induksi, kita akan tunjukkan bahwa y n < 2 untuk semua n ∈ N. Ini benar untuk n = 1,2. Jika y k < 2 berlaku untk suatu k ∈ N, maka

5 Kalkulasi langsung menunjukkan bahwa y 2 =

k+1 = 4 ( 2y k +< 3 ) 4 ( 4 +=+< 3 ) 1 4 2

Dengan demikian y k+1 < 2. Oleh karena itu y n < 2 untuk semua n ∈ N. Sekarang, dengan induksi, kita akan tunjukkan bahwa y n < y n+1 untuk semua n ∈ N. Kemudian pernyataan ini tidak dibuktikan untuk n = 1. Anggaplah bahwa y k < y k+1 untuk suatu k ∈ N;

4 ( 2y k +< 3 )( 4 2y k +1 +< 3 ) y k2 +

1 y 1 k+1 =

Jadi y k <y k+1 mengakibatkan y k+1 <y k+2 . Oleh karena itu y n <y n+1 untuk semua n ∈ N. Kita telah menunjukkan bahwa Y = (y n ) adalah barisan naik dan terbatas di

atas oleh 2. Menurut Teorema konvergensi Menoton, Y konvergen ke suatu limit yakni pada kurang dari atau sama dengan 2. Dalam hal ini, tidak mudah untuk

mengevaluasi lim(y n ) dengan menghitung sup{y n : n ∈ N}. Tetapi terdapat cara lain untuk mengevaluasi limitnya. Karena y 1

n+1 = 4 ( 2y n + 3 ) untuk semua n ∈ N, maka suku

ke n dari 1-ekor Y 1 dan suku ke n dari Y mempunyai relasi aljabar sederhana. Dengan Teorema 3.1.9, kita mempunyai y = lim Y 1 = lim Y yang diikuti dengan Teorema

4 ( 2y

+ 3 3 ) yang selanjutnya mengakibatkan y =

3.2.3 diperoleh y = 1

2 . (d). Misalkan Z = (z n ) dengan z 1 = 1, z n+1 = 2z n untuk semua n ∈ N, kita akan lan-

jutkan lim (z n ) = 2. Catatan bahwa z 1 = 1 dan z 2 = 2 ; Dari sini 1 ≤ z 1 ≤ z 2 < 2. Kita klaim bahwa Z tak turun dan terbatas di atas oleh 2. Untuk membuktikannya kita akan lakukan se-

cara induksi, yaitu 1 ≤ z n <z n+1 < 2 untuk semua n ∈ N. Faktor ini dipenuhi untuk n =

1. Misalkan hal ini juga dipenuhi untuk n = K, maka 2 ≤ 2z K < 2z K+1 < 4, yang diikuti

oleh 1< 2 ≤ z K+1 = 2z K <z K+2 = 2z K1 + < 4 = 2.

[Pada langkah terakhir kita menggunakan contoh 2.2.14 (a)]. Dari sini ketaksamaan 1 ≤ z K <z K+1 < 2 mengakibatkan 1 ≤ z K+1 <z K+2 < 2. Karena itu 1 ≤ z n <z n+1 < 2 untuk

semua n ∈ N.

Analisis Real I 86

Pendahuluan Karena Z = (z n ) terbatas dan tak turun, menurut Teorema Konvergensi

Monoton Z konvergen ke z = sup {z n }. Akan ditunjukkan secara langsung bahwa sup{z n }= 2, jadi z = 2. Atau kita dapat menggunakan cara bagian (c). Relasi z n+1

= 2z n memberikan relasi antara suku ke n dari Z 1 dan suku ke n dari Z. Dengan Teorema 3.1.9,kita mempunyai lim Z 1 = z = lim Z. Lebih dari itu, menurut Teorema

3.2.3 dan 3.2.10, z harus memenuhi z = 2z . Ini menghasilkan z = 0, 2. Karena 1 ≤ z ≤ 2. Jadi z = 2

Perhitungan akar kuadrat