PEMODELAN DAN PERANCANGAN SISTEM

BAB III PEMODELAN DAN PERANCANGAN SISTEM

Untuk memenuhi fungsi transfer dari pesawat hal pertama yang sangat penting adalah menurunkan persamaan gerak dari pesawat. Persamaan gerak yang diturunkan menerapkan hukum Newton tentang gerak yang menghubungkan antara penjumlahan dari gaya-gaya luar serta memomentum linier dan angular serta percepatan dari pesawat. Pusat sumbu sistem didefenisikan sebagai pusat dari gravitasi pesawat.pada umumnya, sumbu sistem dianggap tetap atau tidak bergerak.dan ikut berotasi terhadap pesawat. Sebelum memulai proses penurunan terhadap persamaan gerak maka perlu adanya asumsi-asumsi, diantaranya massa pesawat dianggap konstan, pesawat dianggap sebagai benda tegar bumi dan atmosfir dianggap tidak bergerak dan sebagai kerangka acuan inersial. III.1. Penurunan Persamaan Gerak Pesawat Persamaan gerak didapatkan dengan menerapkan hukum II Newton yang menyatakan penjumlahan gaya luar eksternal pada sebuah benda haruslah sama dengan laju perubahan momentum benda terhadap waktu dan penjumlahan momen luar yang bekerja pada benda haruslah sama dengan laju perubahan momentum angular. Pernyataan ini dapat ditulis dalam dua persamaan vektor. ] ∑ = I T mV dt d F …3.1 Dan ] ∑ = I dt dH M …3.2 Dimana ] I menyatakan laju perubahan vektor terhadap kerangka acuan inersial. Apabila persamaan diatas diperluas dengan menganggap bahwa sekarang gaya dan Universitas Sumatera Utara momen total terdiri atas gaya dan momen pada saat setimbang dan pada saat terdapat gangguan maka persamaan 3.1 dan 3.2 dapat ditulis kembali menjadi ∑ ∑ ∑ ∆ + = F F F …3.3 Dan ∑ ∑ ∑ ∆ + = M M M …3.4 Persamaan 3.1 dapat juga diperluas untuk massa dan kecepatan yang berubah menjadi ∑ + = ∆ dt dV m V dt dm F T T …3.5 Dengan menerapkan asumsi diatas yang menyatakan massa pesawat adalah konstan maka persamaan 3.5 akan tereduksi menjadi ∑ = ∆ dt dV m F T …3.6 Komponen vektor kecepatan pada pesawat dapat saja berotasi sementara besarnya berubah, maka derivativ kecepatan pesawat dapat dituliskan sebagai T t T dt dV dt dV V ω 1 T V × + = …3.7 Dimana dt dV T T V 1 adalah perubahan kecepatan linier, ω adalah total kecepatan angular pesawat terhadap bumi. T V dan ω dapat ditulis dalam bentuk komponennya masing-masing sebagai: kW jV iU V T + + = …3.8 Dan untuk ω ω = kR jQ iP + + …3.9 Dari persamaan 3.7 untuk masing masing suku dt dV T T V 1 dan ω dapat dituliskan : Universitas Sumatera Utara dt dV T T V 1 = • • • + + W k V j U i …3.10 ω T V × = W V U R Q P k j i …3.11 Persamaan 3.11 dapat juga ditulis menjadi: ω T V × = UQ VP k WP UR j VR WQ i − + − + − …3.12 ∑ ∆F dapat ditulis untuk ketiga komponen sumbu X, Y dan Z, yaitu ∑ − + = ∆ • VR WQ U m F x ∑ − + = ∆ • WP UR V m F y UQ VP W m F Z − + = ∆ • ∑ …3.13 Untuk mendapatkan persamaan gerak angular, maka dengan mengingat persamaan 3.2 yaitu: ] ∑ = I dt dH M …3.14 Dengan mendefinisikan bahwa H adalah momentum angular. Momentum dari elemen massa dm dengan kecepatan sudut adalah ω akan sama dengan kecepatan tangensial dari elemen massa dm dari pusat rotasi. Kecepatan tangensial dapat dinyatakan sebagai : R ω V × = tan …3.15 Dengan penambahan resultan momentum dari kecepatan tangensial dari elemen massa dapat dinyatakan sebagai : Universitas Sumatera Utara dm d r ω M × = …3.16 Momentum angular dH dapat dinyatakan sebagai : dm d r ω r H × × = …3.17 Tetapi H = ∫ H d meliputi sejumlah massa dari pesawat sehingga : dm d r ω r H H × × = = ∫ ∫ …3.18 Dengan mengevaluasi untuk hasil kali silang, jika R Q P k j i ω + + = z y x k j i r + + = …3.19 Kemudian perkalian silang antara ω dan r adalah : ω × r = xQ yP zP xR yR zQ − + − + − k j i …3.20 Kemudian [ ] [ ] + − − + + − − + = × × xyP yzR Q x z xzR xyQ P z y 2 2 2 2 j i r ω r [ ] yzQ xzP R y x − − + 2 2 k …3.21 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.21 kedalam persamaan 3.18 maka [ ] [ ] ∫ ∫ − − + + − − + = dm xyP yzR Q x z dm xzR xyQ P z y 2 2 2 2 j i H + [ ] ∫ − − + dm yzQ xzP R y x 2 2 k …3.22 Tetapi integral dari ∫ + dm z y 2 2 didefinisikan sebagai momen inersia, x I , dan ∫ xy dm didefisikan sebagai produk inersia xy J . Suku pada persamaan 3.22 juga Universitas Sumatera Utara didefinisikan serupa. Dengan menggunakan asumsi bahwa = = yz xy J J , persamaan 3.22 dapat juga dituliskan menjadi xz x x RJ PI H − = y y QI H = xz z z PJ RI H − = …3.23 Akan tetapi persamaan 3.14 menghendaki adanya laju perubahan H terhadap waktu. Karena H baik besar maupun arahnya maka persamaan 3.14 dapat ditulis menjadi : H ω M × + = ∆ ∑ dt dH H 1 …3.24 Komponen dari dt dH H 1 adalah : xz x x J R I P dt dH • • − = y y I Q dt dH • = xz z z J P I R dt dH • • − = …3.25 Karena telah diasumsikan bahwa pesawat adalah benda tegar dengan massa yang konstan, laju perubahan momen terhadap waktu serta hasil kali inersia adalah nol.maka z y x H H H R Q P + + × + + = × k j i H ω x y z x y z QH PH PH RH RH QH − + − + − = × k j i H ω …3.26 ∑ ∆M dapat juga ditulis sebagai: ∑ ∆M = ∑ ∆ L + ∑ ∆ M + ∑ ∆ N …3.27 Universitas Sumatera Utara Dengan menyamakan komponen-komponen dari persamaan 3.25, 3.26, dan 3.27 dan mensubstitusikannya untuk , , y x H H dan z H persamaan gerak angular adalah: ∑ ∆ L = xz y z xz x PQJ I I QR J R I P − − + − • • ∑ ∆ M = • • − + − + xz z x y J R P I I PR I Q 2 2 ∑ ∆ N = • • + − + − xz x y xz z QRJ I I PQ PJ I R ...3.28 Persamaan untuk gerak linier adalah : ∑ − + = ∆ • VR WQ U m F x ∑ − + = ∆ • WP UR V m F y UQ VP W m F Z − + = ∆ • ∑ …3.29 Persamaan 3.28 dan 3.29 adalah persamaan gerak yang lengkap untuk menggambarkan gerak pesawat. Linierisasi pada persamaan gerak 3.28 dan 3.29 dapat dilakukan untuk menyederhanakan solusi. Keenam persamaan dapat dipecah menjadi dua set dari tiga persamaan simultan. Untuk menyelesaikannya maka pesawat ditinjau terbang lurus dan tidak dipercepat dan terdapat gangguan yaitu penyimpangan defleksi pada elevator. Penyimpangan ini menyebabkan momen ketinggian pitching moment pada sumbu OY, yang menyebabkan rotasi yang kadang-kadang menyebabkan perubahan x F dan z F tetapi tidak menyebabkan pesawat mempunyai momen mengguling Universitas Sumatera Utara rolling atau menggeleng yawing ; lalu P=R=V=0 dan ∑ ∆ y F , ∑ ∆ L ,dan ∑ ∆ N pada persamaan dapat dieliminasi sehingga ∑ + = ∆ • WQ U m F x UQ W m F Z − = ∆ • ∑ ∑ ∆ M = y I Q • …3.30 III.2 Persamaan gerak longitudinal Komponen dari kecepatan linier dan kecepatan angular terhadap sumbu pesawat dinotasikan sebagai U, V, W, P, Q, dan R. Suku-suku ini mengandung harga- harga pada saat kesetimbangan dan perubahan pada keadaan steady state, sehingga dapat dituliskan sebagai: w W W v V V u U U + = + = + = r R R q Q Q p P P + = + = + = Dimana , , V U dan seterusnya adalah harga-harga pada keadaan setimbang, sedangkan u,v, dan seterusnya adalah harga-harga pada saat terjadi gangguan. Universitas Sumatera Utara Gambar 3.1.Sumbu kesetimbangan dan gangguan pesawat Pada gambar 3.1 dapat dilihat bahwa sumbu OX adalah sumbu longitudinal dari pesawat dan segaris dengan arah vektor kecepatan dari pesawat, = W . Dalam gambar 3.1 sumbu E E E Z Y X , , adalah sumbu acuan referensi terhadap bumi, , , Z Y X , adalah sumbu kesetimbangan pesawat dan Z Y X , , adalah sumbu gangguan pada pesawat. Seperti dapat dilihat pada gambar 3.1 Θ dan γ diukur dari horizontal dari sumbu X . Sudut γ adalah sudut jalur penerbangan flight path angle dan didefenisikan sebagai sudut yang diukur pada diantara bidang vertikal dan bidang horizontal dan vektor kecepatan dari pesawat. Dengan menggunakan sumbu kestabilan Θ dan γ adalah sama. Defenisi dari sudut serang adalah sudut diantara vektor kecepatan dan sayap pesawat. Universitas Sumatera Utara Perubahan dari Θ adalah θ , perubahan kecepatan sudut yang disebabkan oleh rotasi terhadap sumbu Y adalah • = θ q , dengan kondisi ini maka u U U + = , W=w dan U adalah konstan, • • = u U dan • • = w W . Ketika pesawat pada awalnya terbang tanpa mempunyai percepatan maka Q =0 dan Q=q. Dengan mensubstitusikan ini ke persamaan gaya pada persamaan 3.30 maka ∑ + = ∆ • wq u m F x ∑ − − = ∆ • uq q U w m F z ...3.31 Dengan membatasi bahwa perubahan pada keadaan kesetimbangan akibat gangguan adalah kecil, maka persamaaannya dapat ditulis sebagai : ∑ • = ∆ u m F x ∑ − = ∆ • q U w m F z = • • − θ U w m ∑ ∆ M = y I • • θ …3.32 Dengan memperluas dan menerapkan gaya dan momen dan menyatakan perubahan yang menyebabkan gangguan. Komponen gaya gravitasi sepanjang sumbu X dan Z adalah fungsi dari sudut Θ , seperti ditunjukkan oleh gambar 3.2 Θ − = sin mg F x g Θ = cos mg F z g ...3.33 Universitas Sumatera Utara Perubahan gaya ini terhadap Θ adalah: Θ − = Θ ∂ ∂ cos mg F x g Θ − = Θ ∂ ∂ sin mg F z g ...3.34 Gaya pada arah sumbu X adalah fungsi dari U,W, Θ • , W , dan • Θ lalu total diferensial dari x F dapat dituliskan sebagai ∑ • • • • Θ Θ ∂ ∂ + Θ Θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = d F d F W d W F dW W F dU U F dF x x x x x x ...3.35 Alasan karena tidak hadirnya suku • ∂ ∂ U F x karena pesawat diasumsikan mengalami aliran quasisteady. Karena u,w, dan variabel-variabel lain adalah perubahan parameter dan gangguan-gangguan dianggap kecil maka persamaan 3.35 dapat dituliskan sebagai berikut: ∑ • • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ θ θ θ θ x x x x x x F F w w F w w F u u F F ...3.36 Dengan mengalikan dan membagikan tiap suku dengan U maka persamaan 3.36 menjadi ∑ • • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ U F U U F U U w w F U U w w F U U u u F U F x x x x x x θ θ θ θ ...3.37 Rasio U w U u , dan U w • dan didefenisikan sebagai: u U u = α = U w dimana sebagai variasi sudut serang dari kesetimbangan dan • • = α U w Universitas Sumatera Utara Dengan mensubstitusikannya ke persamaan 3.37 maka akan didapat hasil ∑ • • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ θ θ θ θ α α x x x x x x F F w F w F u u F U F ...3.38 Dimana α α ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ x x x x F F U w F w F U dan 1 ≡ ∂ ∂ α α Maka dari persamaan 3.32 yang menyatakan bahwa : • • • • = =       = = ∆ ∑ u mU U u mU U U u m u m F x Dengan mensubstitusi pernyataan untuk ∑ ∆ x F pada persamaan 3.38, dengan mengambil suku disebelah kanan dan membagikannya dengan Sq persamamaan untuk gaya pada sumbu x menjadi: Sq F F Sq F Sq F Sq F Sq u u F Sq U u Sq mU a x x x x x x = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − • • • • θ θ α α α α 1 1 1 1 ...3.39 Dimana a x F adalah gaya aerodinamika yang berasal dari sumbu x. S adalah luas sayap, q= 2 2 1 V ρ tekanan dinamik dan ρ adalah massa jenis udara. Substitusi untuk θ ∂ ∂ x F dari persamaan 3.33 dan mengalikan serta membagikan suku keempat dan kelima dari persamaan 3.39 dengan c2U , dimana c adalah panjang busur aerodinamik maka persamaan 3.39 menjadi: − Θ + ∂ ∂           − ∂ ∂ − ∂ ∂ − • • • θ α α α α cos 2 1 2 1 Sq mg F c U Sq U c F Sq u u F Sq U u Sq mU x x x a x a F x x C Sq F F c U Sq U c = = ∂ ∂           • • θ θ 2 1 2 ...3.40 Universitas Sumatera Utara Kadang-kadang Sq mg disimbolkan sebagai - w C sehingga persamaan 3.40 menjadi − Θ + − − − • • • θ α α α α cos 2 w x x x C C U c C u C u Sq mU u a x q F x C C U c = • θ 2 …3.41 Biasanya z F dan M dapat diselesaikan. Pernyataan untuk z F dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: • • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ θ θ θ θ z z z z z z F F w w F w w F u u F F …3.42 Dengan mengalikan dan membagikan setiap suku dengan U dan menggunakan defenisi dari rasio yang telah didefenisikan sebelumnya maka persamaan 3.42 dapat dituliskan menjadi : • • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ ∑ θ θ θ θ α α α α z z z z z z F F F F u u F U F …3.43 Dari persamaan 3.32 ∑ • • − = ∆ θ U w m F z ∑ • • • • − = − = ∆ θ α θ mU mU U U U w m F z ...3.44 Substitusi persamaan 3.44 ke persamaan 3.43 dan mengalikannnya dengan Sq akan menghasilkan : • • • •         ∂ ∂ − − + ∂ ∂ −         ∂ ∂ − + ∂ ∂ − θ θ α α α α z z z z F Sq Sq mU F Sq F Sq Sq mU u u F Sq U 1 1 1 a x a F z z C Sq F F Sq = = ∂ ∂ − θ θ 1 …3.45 Universitas Sumatera Utara Dengan menggunakan koefisien yang terdapat pada tabel L.1 terdapat pada lampiran maka persamaan 3.45 menjadi : a z q u F w z z z x C C C U c Sq mU C C U c Sq mU u C = Θ −     − − + −     − + − • • • θ θ α α α α sin 2 2 ...3.46 Persamaan untuk moment dapat dituliskan sebagai: ∑ ∆ M = • • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θ θ M M M M w w w w u u … 3.47 Dengan mengalikan dan membagi tiga dari suku pertama dengan U dan menggunakan defenisi yang telah ditetapkan sebelumnya maka persamaan 3.47 dapat dituliskan kembali sebagai: a m y C Sqc Sqc Sqc I Sqc Sqc u u Sqc u = = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − • • • • • • a M M M M M θ θ θ α α α α 1 1 1 ...3.48 Dengan menggunakan koefisien yang terdapat pada table L.1 maka persamaan 3.48 menjadi : a q u m m y m m m C C U c Sqc I C C U c u C = − + − − − • • • • • θ θ α α α α 2 2 ...3.49 Persamaan 3.41, 3.46 dan 3.49 adalah persamaan untuk gerak longitudinal pada pesawat yang dituliskan kembali menjadi: Universitas Sumatera Utara a Fx w xq X x xu C C C U c C C U c u C u Sq mU =     Θ − − +       − − +     − • • • θ θ α α α α cos 2 2 α θ θ α α α α Fz w zq z zs zu C C C U c Sq mU C C U c Sq mU U C =       Θ −     − − +       −     − + − • • • sin 2 2     − +       − − + − • • • • • θ θ α α α α q u m y m m m C U c Sqc I C C U c u C 2 2 = a m C ...3.40 Persamaan ini mengasumsikan bahwa : 1. Sumbu X dan Z terletak pada bidang simetris dan ttitik asal sumbu sistem terletak pusat berat dari pesawat dapat dilihat pada gambar 3.2 2. Massa pesawat adalah konstan 3. Pesawat adalah benda tegar 4. Bumi adalah kerangka acuan inersial 5. Gangguan pada pesawat dianggap kecil 6. Aliran udara adalah quasisteady Dengan mentransformasikan persamaan 3.40 ke transformasi laplace maka persamaan 3.40 serta dengan mengabaikan suku-suku • α x C , q x C , dan u m C persamaan tersebut akan menjadi : = Θ − −     − cos s C s C s u C s Sq mU w x x u θ α α 2 2 =       Θ −     − − +       −     − + − • sin s C s C U c Sq mU s C s C U c Sq mU s u C w z z z z q u θ α α α 2 2 2 =     − +         − • s s C U c s Sqc I s C s C U c q m y m m θ α α α ...3.41 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.2.Gerak Longitudinal Pesawat III.3 Permodelan dan penurunan fungsi alih Data fisik pesawat F-16 yang mendukung analisa gerak longitudinal adalah : Massa pesawat m = 9295.4 kg Panjang sayap pesawat B = 9.144 m Luas Sayap S = 27.87 2 m Busur aerodinamik rata-rata c = 3.45 m Momen inersia gerak mengguling roll x I = 12874.8 2 m kg . Momen inersia ketinggian pitch y I = 75673.6 2 m kg . Momen inersia gerak menggeleng yaw z I = 85552.1 2 m kg . Produk momen inersia xz I = 1331.4 Produk momen inersia xy I = 0.0 Produk momen inersia yz I = 0.0 Universitas Sumatera Utara Lokasi pusat titik berat pesawat cg x = 1.035 m Kecepatan Jelajah Pesawat U = 1.2 Mach Data Fisik pesawat berasal dari Sonneveldt,Lars, Non-linier F-16 description ,Delft University . F-16 beroperasi pada range ketinggian 9000-12000 m dan memiliki kecepatan maksimum 2.2 mach 2.2 kecepatan suara sumber; www.globalsecurity.org . Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa pesawat beroperasi pada ketinggian 10.000 m dengan kecepatan jelajah 1.2 mach. untuk itu maka diperlukan menggunakan data atmosfer data ini bersumber dari Sonneveldt,Lars, Non-linier F-16 description ,Delft University. Data Atmosfer : h T T 0065 . − = h T g e 05 287 . − = ρ ρ T a 05 287 4 1 . . × = ...3.42 Dengan : 3 225 1 m kg . = ρ massa jenis udara pada permukaan air laut K T 15 288 . = Suhu Udara pada permukaan laut h 11000 m a= kecepatan suara Berdasarkan data dan asumsi diatas maka : h T T 0065 . − = = 288.15-0.006510.000 =288.15-65 = 223.15 Universitas Sumatera Utara h T g e 05 287 . − = ρ ρ = 1.225 000 10 15 223 05 287 8 9 . . . . − e = 0.265275 3 m kg T a 05 287 4 1 . . × = = . . . 15 223 05 287 4 1 × = 299.46 s m Dengan demikian kecepatan pesawat adalah : U = 1.2299.46 = 359.352 ms Koefisien-koefisien aerodinamika dari pesawat adalah : u x C = - 0.12 a x C = -2.3163 w C = 0.33 u z C =-0.66 c I t = 2.89 • α Z C = 0.04 α z C =0.4 q z C = -9.28 • α m C = 0.0327 q m C =-7.051 α m C =-0.0448 2 2 1 U q ρ = Universitas Sumatera Utara = 2 352 359 265275 2 1 . . = 17128 2 ms kg 08762 12 . = Sq mU 0002 2 . = • α Z C U c 045 2 . − = q z C U c • α m C U c 2 =0.00015697 0337 2 . − = q m C U c 04594 . = Sqc I y Koefisien-koefisien aerodinamika diatas didapatkan berdasarkan data fisik dari pesawat. = Θ − −     − cos s C s C s u C s Sq mU w x x u θ α α 2 2 =       Θ −     − − +       −     − + − • sin s C s C U c Sq mU s C s C U c Sq mU s u C w z z z z q u θ α α α 2 2 2 =     − +         − • s s C U c s Sqc I s C s C U c q m y m m θ α α α Dengan mensubstitusi koefisien-koefisien aerodinamika pesawat ke dalam persamaan 3.41 maka didapatlah: Universitas Sumatera Utara 12.08762s+0.12us + 2.3163 s α - 0.33 = s θ . s u 66 − + 12.08742s-0.04 s α -12.04262s s θ = 0 0+0.00015697s+0.048 s α +0,046 2 s +0.0337s s θ =0 ...3.43 Persamaan 3.43 adalah persamaan linier simultan yang mempunyai variabel-variabel sehingga persamaan 3.43 dapat ditulis dalam bentuk matriks, determinan dari matriks tersebut harus sama dengan nol. 0337 . 046 . 0048 . 00015697 . 04262 . 12 04 . 08742 . 12 66 . 33 . 31613 . 2 12 . 08762 . 12 2 = + + − − − − + = ∇ s s s s s s ...3.44 Determinan dari matriks pada persamaan 3.44 dapat dicari dengan aturan Crammer, yaitu: { } − + − − + − + = ∇ 048 . 00015697 . 04262 . 12 0337 . 046 . 04 . 08742 . 12 12 . 08762 . 12 2 s s s s s { } { } 048 . 00015697 . 66 . 33 . 0337 . 046 . 66 . 3663 . 2 2 = + − − + + − s s s ...3.45 105 . 583 . 089 . 7 997 . 4 72072 . 6 2 3 4 = + + + + = ∇ s s s s ...3.46 dengan membagikan persamaan 3.46 maka dengan 6.72072 maka akan didapat : 015623 . 08675 . 055 . 1 744 . 2 3 4 + + + + = ∇ s s s s ...3.47 Dengan menyusun kembali akar-akar persamaan tersebut maka akan didapat dua bentuk kuadratis dari persamaan 3.47 yaitu: 01582 . 0772 . 9878 . 6634 . 2 2 + + + + s s s s = 0 ...3.48 Universitas Sumatera Utara Akan tetapi bentuk kuadratik untuk mengindikasikan frekuensi natural n ω dan rasio redaman ζ adalah 2 2 2 n n s s ω ζω + + dengan menggunakan defenisi ini pada persamaan 3.48 menjadi : 2 2 2 ns ns s s s ω ω ζ + + 2 2 2 np np s s s ω ω ζ + + ...3.49 dengan = p ζ koefisien redaman phogoid = s ζ koefisien redaman osilasi periode pendek short-period oscillation = ns ω frekuensi natural osilasi periode pendek = np ω frekuensi natural phugiod Dari persamaan diatas maka dapat dilihat bahwa : = s ζ 0.994 = ns ω 0.334 = p ζ 0.126 = np ω 0.307 III.4.Fungsi Alih Dinamik Pesawat Untuk Gerak Longitudinal. Untuk mendapatkan fungsi alih dinamik dari kontrol kecepatan dengan masukan defleksi elevator maka perlu diketahui nilai-nilai dari e m C δ dan e z C δ ,harga dari Universitas Sumatera Utara koefisien-koefisien tersebut adalah untuk e m C δ =-0.2094 dan untuk e z C δ =-0.0725 dan e x C δ diabaikan. Dengan menggunakan persamaan 3.43 dan mensubstitusi harga- harga koefisien dari e m C δ dan e z C δ maka akan didapatkan 12.08762s+0.12us + 2.3163 s α - 0.33 = s θ . s u 66 − + 12.08742s-0.04 s α -12.04262s s θ = -0.0725 s e δ 0.00015697s+0.048 s α +0,046 2 s + 0.0337s s θ =-0.2094 s e δ ...3.50 dengan e δ adalah defleksi dari elevator yang dinyatakan dalam radian. Fungsi transfer dinamik dari kontrol kecepatan dari persamaan diatas dengan e δ sebagai input dan us sebagai output didapat dengan menggunakan metode determinan yaitu : ∇ + + − − − − − = s s s s s s s u e 0337 . 046 . 048 . 00015697 . 2094 . 04262 . 12 04 . 08742 . 12 0725 . 33 . 3163 . 2 2 δ ...3.51 dengan ∇ adalah determinan dari matriks persamaan 3.44 dan hasilnya diberikan oleh persamaan 3.46. ∇ =6.72072 01582 . 0772 . 9878 . 6634 . 2 2 + + + + s s s s ...3.52 maka persamaan 3.51 dapat juga ditulis sebagai : Universitas Sumatera Utara 01582 . 0772 . 9878 . 6634 . 72072 . 6 24 . 1 86 . 864 00774 . 2 2 2 + + + + + − = s s s s s s s s u e δ ...3.53 atau dapat juga dituliskan sebagai : 01582 . 0772 . 9878 . 6634 . 0014 . 86 . 864 001152 . 2 2 + + + + − − = s s s s s s s s u e δ ...3.54 Fungsi alih dinamik untuk kontrol sudut serang dengan fungsi masukan adalah defleksi elevator adalah : ∇ + − − − − − + = s s s s s s e 037 . 096 . 2094 . 04262 . 12 0725 . 66 . 33 . 12 . 08762 . 12 2 δ α ...3.55 01582 . 0772 . 9878 . 6634 . 00845 . 184 . 0793 . 362 08413 . 2 2 2 + + + + + + + − = s s s s s s s s s e δ α ...3.56 Untuk masukan e δ dan keluaran θ maka fungsi alihnya adalah : ∇ − + − − − + = 2094 . 048 . 00015697 . 0725 . 04 . 08742 . 12 66 . 31613 . 2 12 . 08762 . 12 s s s s s e δ θ ...3.57 01582 . 0772 . 9878 . 6634 . 1290 . 1240 . 58 . 4 2 2 + + + + + − − = s s s s s s s s e δ θ ...3.58 Persamaan 3.58 adalah fungsi alih dinamik untuk kontrol ketinggian. Untuk menganalisa sistem maka akan digunakan dua pendekatan yaitu pendekatan periode pendek short-period approximation dan pendekatan phugoid phugoid approximation.Kedua pendekatan ini akan mereduksi sistem diatas yang berorder 4 akan menjadi sistem beroder dua untuk memudahkan analisa. Universitas Sumatera Utara III.4.1.Pendekatan Osilasi Periode Pendek Short – Period Approximation. Pendekatan periode osilasi pendek digunakan dengan mengasumsikan kecepatan pesawat konstan sehingga u = 0 pada persamaan gerak. Persamaan gerak yang mengarah pada sumbu X dapat diabaikan karena tidak memiliki kontribusi yang berarti pada osilasi periode pendek short-period oscillation, karena gaya pada sumbu X mempengaruhi laju dari pesawat. Dengan asumsi ini dan mengabaikan • α z C dan q z C dan menyisipkan nilai-nilai dari e m C δ dan e z C δ maka persamaan 3.41 menjadi : sin 2 =       Θ −     − +         −         − • s C s Sq mU s C s C U c Sq mU w z z θ α α α 2 2 2 =     − +         − • s s C U c s Sqc I s C s C U c q m y m m θ α α α ...3.59 lalu dengan menganggap Θ =0 dan menuliskan persamaan 3.59 ke dalam bentuk matriks maka persamaan tersebut akan menjadi : 2 2 2 = − − − − − • s Cm U c s Sqc I C s C U c s Sq mU C s Sq mU q y m m z α α α ...3.60 Dengan memasukkan nilai-nilai konstanta ke persamaan 3.60 maka persamaan 3.60 akan menjadi : Universitas Sumatera Utara 0337 . 046 . 048 . 0001569 . 04262 . 12 04 . 08742 . 12 2 = + + − − s s s s s ...3.61 dan apabila determinan matriks tersebut diselesaikan maka hasilnya adalah : 5766 . 4076 . 556 . 2 3 = + + s s s ...3.62 sehingga persamaan fungsi alih dinamik untuk sudut serang adalah : s s s s s s s s s s e 0337 . 046 . 048 . 00015697 . 04262 . 12 04 . 08742 . 12 2094 . 0337 . 046 . 0725 . 04262 . 12 2 2 + + − − − + − = δ α ...3.63 Sehingga fungsi alih dinamik untuk kontrol sudut serang adalah : 04 . 1 73 . 556 . 5 . 754 00334 . 2 + + + − = s s s s s s s e δ α 04 . 1 73 . 5 . 754 00601 . 2 + + + − = s s s s s e δ α ...3.64 III.4.2.Pendekatan Phugoid. Osilasi Phugoid terjadi pada keadaan sudut serang hampir konstan, pada pendekatan phogoid ini sudut serang dapat dianggap sama dengan nol. Pada osilasi Universitas Sumatera Utara phogoid nilai θ berubah secara lambat, kemudian gaya inersia dapat diabaikan, sehingga hanya tertinggal persamaan untuk M . 2 s C s s C U c e e m q m δ θ δ = − …3.65 Dengan menggabungkan persamaan pada sumbu X dan sumbu Z serta mengingat bahwa α = 0 dan = Θ , serta mengabaikan q z C , maka persamaan 3.41 akan menjadi : = −     − s C s u C s Sq mU w u x θ =     − − s s Sq mU s u C u z θ …3.66 Sehingga dengan menggunakan persamaan ini maka akan didapat fungsi alih untuk kontrol kecepatan, Sedangkan fungsi alih dinamik untuk kontrol ketinggian dengan menggunakan pendekatan phugoid dalam bentuk determinan adalah sebagai berikut : s s s s s e 08762 . 12 66 . 33 . 12 . 08762 . 12 0725 . 66 . 12 . 08762 . 12 − − − + − − + = δ θ 22 . 4505 . 1 11 . 146 0087 . 8764 . 2 + − − − = s s s s s e δ θ 001506 . 00993 . 00993 . 0077 . 2 + − + − = s s s s s e δ θ …3.67 Fungsi alih dari persamaan 3.66 dan 3.67 adalah persamaan fungsi alih dari masing-masing mode gerak phugoid dan mode gerak osilasi periode pendek. III.5. Spesifikasi sistem Universitas Sumatera Utara Sebelum perancangan kontroler maka perlu terlebih dahulu diberikan spesifikasi sistem yang dibutuhkan. Adapun spesifikasi dari sistem yang dibutuhkan adalah : 1. waktu naik sistem 5 . 2 ≤ r T detik 2. waktu pengaturan 5 ≤ s T detik 3. persentase overshoot ≤ 5 4. error steady state ≤ 2 spesifikasi ini diambil dari Design of Flight controllers using Quantitative Feedback Theory By Prof P.S.V.Nataraj System and Control Engg IIT Bombay III.6. Perancangan Program Program yang digunakan untuk mensimulasikan sistem dari plant dari tugas akhir ini menggunakan Matlab 7.7 Ver R.2008.Simulasi sistem dengan nilai konstanta kontroller menggunakan metode pembentukan lup dilakukan dengan tahapan: 1. Pembuatan diagram alir Flowchart Metode Pembentukan lup 2. Pembuatan Program simulasi III.61.FlowChart Metode Pembentukan Lup 1.Flowchart Penentuan nilai konstanta Untuk kontroller PI Universitas Sumatera Utara Start Input Data Fisik Pesawat Fungsi Alih Plot bode dari plan Perhitungan nilai konstanta kontroler Plot grafik Respon Yang Diinginkan End Y N Nilai Kp dan Ki Penetuan nilai frekuensi gain cross over dan margin fasa Gambar 3.3 Flowchart untuk menenentukan nilai konstanta p K dan i K 2.Flowchart Penentuan Nilai Konstanta Untuk Kontroller PD Universitas Sumatera Utara Start Input Data Fisik Pesawat Fungsi Alih Plot bode dari plan Perhitungan nilai konstanta kontroler Plot grafik Respon Yang Diinginkan End Y N Nilai Kp dan Kd Penetuan nilai frekuensi gain cross over dan margin fasa Gambar 3.4 Flowchart untuk menenentukan nilai konstanta p K dan d K 3.Flowchart Untuk Menentukan Nilai Konstanta Kontroller PID Universitas Sumatera Utara Start Input Data Fisik Pesawat Fungsi Alih Plot bode dari plan Perhitungan nilai konstanta kontroler Plot grafik Respon Yang Diinginkan End Y N Nilai Kp,Ki dan Kd Penetuan nilai frekuensi gain cross over dan margin fasa Gambar 3.5 Flowchart untuk menenentukan nilai konstanta p K , i K dan d K Universitas Sumatera Utara − Universitas Sumatera Utara Fungsi alih dinamik pesawat Servo

Bab IV Desain dan Simulasi Sistem