26
BAB IV HIPERBOLA
Definisi: Hiperbola adalah himpunan t it ik-t it ik yang selisih jaraknya t erhadap dua t it ik t ert ent u t et ap besarnya.
Berdasarkan definisi t ersebut dapat dicari persamaan hiperbola sebagai berikut .
M isalkan t it ik-t it ik api F
1
-c,0, F
2
c,0 pada sumbu-x dan sumbu dari F
1
F
2
adalah sumbu-y. Jika
2 1
F F
= 2c maka F
1
c , 0 dan F
2
-c , 0. M isalkan selisih jarak yang t et ap t ersebut adalah 2a, dengan a
c. Ambil Tx , y sebarang t it ik dari himpunan yang dicari, maka dipenuhi
2 1
TF TF
= 2a Berart i
2 2
y c
x
-
2 2
y c
x
= 2a
2 2
y c
x
= 2a +
2 2
y c
x
Set elah kedua ruas dikuadrat kan dan dijabarkan diperoleh cx – a
2
= a
2 2
y c
x
Jika kedua ruas dikuadrat kan lagi diperoleh c
2
– a
2
x
2
– a
2
y
2
= a
2
c
2
– a
2
Karena a c maka c
2
– a
2
0 sehingga dapat dit uliskan c
2
– a
2
= b
2
sehingga didapat :
F
2
O X
Y
F
1
Tx,y
27 b
2
x
2
– a
2
y
2
= a
2
b
2
Karena T sebarang t it ik pada him punan, maka set iap t it ik dari himpunan t ersebut berlaku:
b
2
x
2
– a
2
y
2
= a
2
b
2
at au
1
2 2
2 2
b y
a x
Persamaan diat as disebut persamaan hiperbola. Tit ik O0 , 0 sebagai t it ik pusat hiperbola.
Tit ik-t it ik F
1
dan F
2
disebut t it ik-t it ik api. Sumbu x dan sumbu y disebut sumbu-sumbu simet ri.
Karena t it ik t it ik pot ong hiperbola dengan sumbu x adalah nyat a, maka sumbu x disebut sumbu nyat a. Sedangkan t it ik pot ong hiperbola dengan sumbu y
adalah khayal, sehingga sumbu y disebut sumbu khayal. Bilangan e =
a c
1 disebut eksent risit as numerik.
Persamaan hiperbola yang pusat nya P
,
dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat diperoleh
1
2 2
2 2
b y
a x
Tit ik-t it ik pot ong hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
dengan garis y = mx adalah F
2
P ,
X’ Y’
F
1
Tx,y
28
2 2
2 2
2 2
, m
a b
mab m
a b
ab
dan
2 2
2 2
2 2
, m
a b
mab m
a b
ab
Jika b
2
– a
2
m
2
0 maka ada dua t it ik pot ong yang berlainan Jika b
2
– a
2
m
2
0 maka t idak ada t it ik pot ong at au t it ik pot ongnya khayal Jika b
2
– a
2
m
2
= 0 maka t it ik pot ongnya di jauh t ak t erhingga. Dalam hal jika m =
a b
maka garis y = mx menyinggung hiperbola di jauh t ak t erhingga. Garis-garis y =
a b
x disebut asimt ot -asimt ot hiperbola. Persamaan asimt ot -asimt ot dapat dinyat akan juga sebagai
b y
a x
dan
b y
a x
, sehingga susunan asimt ot nya adalah
2 2
2 2
b y
a x
.
Definisi hiperbola yang lain adalah sebagai berikut : hiperbola adalah t empat kedudukan t it ik-t it ik yang perbandingan jaraknya t erhadap suat u t it ik dan suat u
garis t ert ent u t et ap besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1. Selanjut nya t it ik t ersebut dinamakan t it ik api dan garisnya dinamakan garis arah direkt rik.
Penjelasannya sebagai berikut . F
2
O X
Y
F
1
Px
1
,y
1
d
2
d
1
c a
x
2
c a
x
2
29 M isalkan Px
1
, y
1
sebarang t it ik pada hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
. M aka jarak P t erhadap t it ik api F
1
c , 0 adalah d
1
=
2 1
2 1
y c
x
Dan jarak P t erhadap t it ik api F
2
-c , 0 adalah d
2
=
2 1
2 1
y c
x
Berart i d
2 2
– d
1 2
= 4cx
1
; sedangkan d
2
– d
1
= 2a …….. 1 Jadi d
2
+ d
1
=
a cx
1
2
……….2
Dari 1 dan 2 diperoleh d
1
=
c
a x
a c
2 1
dan d
2
=
c
a x
a c
2 1
Selanjut nya pandang garis-garis x =
c a
2
M aka d
1
=
c
a x
a c
2 1
=
a c
. Jarak t it ik P ke garis x =
c a
2
M aka d
2
=
c
a x
a c
2 1
=
a c
. Jarak t it ik P ke garis x = -
c a
2
Garis-garis x =
c a
2
disebut garis-garis arah at au direkt rik dari hiperbola. Cont oh
Carilah persamaan hiperbola, jika t it ik-t it ik apinya t erlet ak pada sumbu x, simet ris t erhadap O dan persamaan asimt ot nya y =
x 3
4
sedangkan jarah ant ara kedua t it ik-t it ik apinya 20.
jaw ab:
1 64
36
2 2
y x
Cont oh
30 Carilah persamaan hiperbola, jika t it ik-t it ik apinya t erlet ak pada sumbu x, simet ris
t erhadap O dan persamaan asimt ot nya y =
x 4
3
sedangkan jarak kedua garis arahnya 12
5 4
.
jaw ab:
1 36
64
2 2
y x
Selanjut nya dapat dicari persamaan garis singgung pada hiperbola sebagaimana mencari persamaan garis singgung pada ellips.
Didapat bahw a persamaan garis singgung pada hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
dengan koefisien arah m adalah y = mx
2 2
2
b m
a
. Jika persamaan hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
, maka garis singgung dengan koefisien arah m, persamaannya y -
2 2
2
b m
a x
m
. Persamaan garis singgung parabola
1
2 2
2 2
b y
a x
di t it ik singgung x
1
, y
1
adalah
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
. Jika persamaan hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
, maka persamaan garis singgung di t it ik x
1
, y
1
adalah F
2
P ,
X’ Y’
F
1
Tx,y
y = mx+n
31
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
Adapun sifat ut ama garis singgung adalah sebagai berikut : garis singgung pada suat u t it ik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut ant ara garis-garis
yang menghubungkan t it ik singgung dengan t it ik api. Sepert i pada ellips, t erdapat dua garis singgung melalui sat u t it ik T di luar
ellips, demikian pula pada hiperbola. Tanpa memperhat ikan let ak t it ik Tx
1
, y
1
, persamaan
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
disebut
persamaan garis kut ub dari T t erhadap hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
. Jika T di luar hiperbola maka garis kut ub menjadi t ali busur singgung.
Jika T pada hiperbola maka garis kut ub menjadi garis singgung. Jika T di dalam hiperbola maka garis kut ub berupa garis yang t idak memot ong
hiperbola.
Cont oh Tent ukan persamaan garis singgung pada hiperbola
1 64
16
2 2
y x
yang sejajar garis 10x – 3y + 9 = 0.
jaw ab: 3y = 10x
32
Cont oh Dari t it ik C1 , -10 dibuat garis singgung pada hiperbola
1 32
8
2 2
y x
. Tent ukan persamaan garis yang menghubungkan kedua t it ik singgungnya.
jaw ab: 10y = 32 – 4x
32 Selanjut nya akan dicari syarat agar garis y = mx memot ong garis lengkung
1
2 2
2 2
b
y a
x
. Absis-absis t it ik pot ong dapat dicari sebagai berikut :
1
2 2
2 2
2
b
x m
a x
at au b
2
– a
2
m
2
x
2
= -a
2
b
2
. Berart i x =
2 2
2
b m
a ab
.
Jadi garis y = mx dan garis lengkung
1
2 2
2 2
b
y a
x
akan i
berpot ongan di dua t it ik jika a
2
m
2
– b
2
0 at au m
a b
at au m -
a b
ii t idak berpot ongan jika a
2
m
2
– b
2
0 at au -
a b
m
a b
iii menyinggung di jauh t ak hingga jika m =
a b
.
Persamaan
1
2 2
2 2
b
y a
x
adalah persamaan suat u hiperbola yang t idak memot ong sumbu x t et api memot ong sumbu y di t it ik-t it ik 0 , b dan 0 , -b.
Berart i sumbu x sumbu khayalnya. Sedangkan persamaan asimt ot -asimt ot nya adalah
y =
x a
b
dan y = -
x a
b
Tit ik-t it ik apinya adalah F
1
0 , c dan F
2
0 , -c dan garis-garis arahnya adalah y =
c b
2
dan y = -
c b
2
Eksent risit as numeriknya adalah e =
b c
.
Hiperbola-hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
dan
1
2 2
2 2
b
y a
x
pada suat u susunan sumbu disebut hiperbola sekaw an.
33 Jika suat u hiperbola a = b, maka hiperbola ini disebut juga hiperbola ort hogonal.
Cont oh Tent ukan persamaan hiperbola yang t it ik-t it ik apinyat erlet ak pada sumbu y dan
simet ris t erhadap t it ik O yang memenuhi syarat bahw a jarak kedua garis arahnya 7
7 1
dan sumbu 2b = 10. Jaw ab:
1 25
24
2 2
y
x
Berikut ini adalah t empat kedudukan t it ik-t it ik yang memenuhi syarat -syarat t ert ent u.
1. Perhat ikan persamaan hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
dan garis y = mx. Tempat kedudukan t it ik-t it ik t engah t alibusur-t alibusur hiperbola yang sejajar dengan
garis y = mx adalah y =
x m
a b
2 2
; dan persamaan ini m erupakan persamaan suat u garis t engah hiperbola.
Garis-garis t engah y = mx dan y =
x m
a b
2 2
disebut garis-garis t engah sekaw an
dan m
1
= m dan m
2
=
m a
b
2 2
disebut arah-arah sekaw an. 2.
Persamaan t empat kedudukan t it ik-t it ik pot ong garis-garis singgung pada hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
yang t egak lurus sesamanya, yait u x
2
+ y
2
= a
2
– b
2
. Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O0 , 0 dan jari-jari
2 2
b a
. Selanjut nya lingkaran ini disebut lingkaran ort hopt is dari M onge. 3.
Persamaan t empat kedudukan t it ik-t it ik pot ong dari garis-garis singgung pada hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
dengan garis-garis yang t egak lurus padanya dan melalui t it ik-t it ik api yait u x
2
+ y
2
= a
2
. Persamaan ini adalah persamaan
34 lingkaran dengan pusat O0 , 0 dan jari-jari a. Selanjut nya lingkaran ini
disebut lingkaran t it ik kaki.
Lingkaran ort hopt is dari suat u hiperbola ort hogonal berupa lingkaran t it ik dan garis-garis singgung pada hiperbola it u yang saling t egak lurus adalah asimt ot-
asimt ot nya. M isalkan t it ik P
1
x
1
, y
1
dan Q
1
-x , -y
1
ujung-ujung garis t engah hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
. Ujung-ujung garis t engah sekaw annya dapat dicari sebagai berikut .
Persamaan garis singgung di P
1
x
1
, y
1
pada hiperbola
1
2 2
2 2
b y
a x
adalah
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
.
Berart i gradien garis singgung di P
1
adalah m
1
=
1 2
1 2
y a
x b
Sedangkan gradien P
1
Q
1
adalah m
2
=
1 1
x y
. Jadi m
1
m
2
=
2 2
a b
. Hal ini menunjukkan bahw a garis singgung di P
1
sejajar dengan garis t engah yang sekaw an dengan garis t engah P
1
Q
1
. Persamaan garis t engah yang sekaw an dengan P
1
Q
1
adalah y =
1 2
1 2
y a
x b
x. Absis t it ik-t it ik pot ong garis ini dengan hiperbola dicari sebagai berikut .
b
2
x
2
– a
2
2 2
2 2
1 4
2 1
2
b a
x y
a x
b
at au a
2
y
1 2
– b
2
x
1 2
x
2
= a
2
y
1 2
. Karena P
1
x
1
, y
1
pada
hiperbola maka didapat x
2
=
i y
b a
x atau
b y
b a
y a
1 2
2 1
2 2
2 1
2
.
Berart i t it ik-t it ik pot ongnya khayal yait u
i x
a b
i y
b a
dan i
x a
b i
y b
a
1 1
1 1
, ,
.
35 Akan t et api dapat diperiksa bahw a
2
P
i
x a
b i
y b
a
1 1
,
dan
1 1
2
, x
a b
y b
a Q
t erlet ak pada hiperbola sekaw annya
1
2 2
2 2
b
y a
x
. Jika suat u garis t engah t idak memot ong hiperbola, maka yang dimaksud
dengan ujung-ujungnya
adalah t it ik-t it ik
pot ongnya dengan
hiperbola sekaw annya.
M isalkan OP
1
= a
1
dan OP
2
= a
2
. M aka diperoleh
1
OP
2
= a
1 2
= x
1 2
+ y
1 2
dan
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
x a
b y
b a
b OP
Berart i
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
a x
b y
a b
y a
x b
b a
= a
2
– b
2
Jadi 4a
1 2
– 4b
1 2
= 4a
2
– 4b
2
.
Soal-soal
1. Tit ik A-3 , -5 t erlet ak pada hiperbola yang t it ik apinya F-2 , -3 dan garis arah
yang bersesuaian dengan t it ik api ini adalah x + 1 = 0. Tent ukan persamaan hiperbola yang memenuhi persyarat an diat as.
2. Tent ukan nilai p agar garis y =
2 5
x + p menyinggung hiperbola
. 1
36 9
2 2
y x
3. Tent ukan persamaan garis singgung pada hiperbola
1 5
20
2 2
y x
yang t egak lurus garis 4x + 3y – 7 = 0.
36 4.
Tent ukan koordinat t it ik M pada hiperbola
1 18
24
2 2
y x
yang terdekat ke garis 3x + 2y + 1 = 0.
5. Garis 2x – y – 4 = 0 menyinggung hiperbola yang t it ik-t it ik apinya F
1
-3 , 0 dan F
2
3 , 0. Tent ukan persamaan hiperbola t ersebut . 6.
Tent ukan luas daerah segit iga yang dibent uk oleh asimt ot -asimt ot hiperbola
1 9
4
2 2
y x
dan garis 9x + 2y – 24 = 0.
7. Tit ik-t it ik api suat u hiperbola berimpit dengan t it ik-t it ik api ellips
1 9
25
2 2
y x
. Jika eksent risit as numerik e = 2, maka tent ukan persamaan hiperbola
t ersebut . 8.
Tent ukan persamaan hiperbola yang t it ik-t it ik apinya pada puncak-puncak ellips
1 64
100
2 2
y x
dan garis-garis arahnya melalui t it ik-t it ik api dari ellips t ersebut .
9. Tent ukan persamaan hiperbola yang sumbu-sumbunya berim pit dengan
sumbu koordinat dan menyinggung dua garis 5x – 6y – 16 = 0 dan 13x – 10y – 48 = 0.
10. Tent ukan persamaan t ali busur dari hiperbola
1 4
16
2 2
y x
yang dibagi dua oleh t it ik B6 , 2.
37
BAB V PARABOLA
Kategori