12
BAB II LINGKARAN
Definisi
Lingkaran adalah himpunan t it ik-t it ik pada bidang dat ar yang jaraknya dari suat u t it ik t ert ent u sama panjangnya.
Pada gambar diat as t it ik pusat lingkaran di O0 , 0 dan jari-jari r sat uan panjang. Unt uk menent ukan persamaan lingkaran dapat diambil sebarang t it ik pada
lingkaran m isalnya Tx , y. Jarak t it ik T dan t it ik O adalah
2 2
y x
. Padahal jarak t it ik-t it ik t dan t it ik O adalah r, maka diperoleh hubungan bahw a
2 2
y x
= r at au x
2
+ y
2
= r
2
. Karena Tx , y adalah sebarang t it ik pada lingkaran, maka set iap t it ik pada
lingkaran berlaku x
2
+ y
2
= r
2
. Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O0 , 0 dan jari-jari r adalah x
2
+ y
2
= r
2
. Dengan cara yang mirip, dapat dit ent ukan persamaan lingkaran dengan pusat t it ik
Pa , b dan jari-jari r sat uan sebagai berikut . Y
X Tx,y
O r
Y
O X
Tx,y Pa,b
13 M isalkan gambar diat as adalah lingkaran dengan pusat Pa , b dan jari-jari r
sat uan. Unt uk menent ukan persamaan lingkaran ini dapat diambil sebarang t it ik pada lingkaran, misalnya Tx , y. Jarak t it ik-t it ik T dan P adalah
2 2
b y
a x
. Padahal jarak t it ik-t it ik T dan P adalah jari-jari lingkaran yait u r; maka diperoleh
hubungan
2 2
b y
a x
= r at au x – a
2
+ y – b
2
= r
2
. Karena Tx , y adalah sebarang t it ik pada lingkaran it u, maka set iap t it ik pada
lingkaran it u memenuhi hubungan t ersebut . Ini berart i bahw a persamaan lingkaran yang berpusat di t it ik Pa , b dengan jari-jari r sat uan adalah x – a
2
+ y – b
2
= r
2
.
Cont oh 1 Tent ukan persamaan lingkaran yang berpusat di t it ik 4 , -3 dan berjari-jari 5
sat uan. jaw ab: x – 4
2
+ y + 3
2
= 25.
Cont oh 2 Tent ukan persamaan lingkaran yang berpusat di t it ik P1 , 3 dan melalui t it ik Q-2
, 5. jaw ab: x – 1
2
+ y – 3
2
= 13.
Perhat ikan persamaan suat u lingkaran dengan pusat a , b dan jari-jari r, yait u x – a
2
+ y – b
2
= r
2
. Ruas kiri dari persamaan ini dapat diuraikan menjadi:
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + a
2
+ b
2
– r
2
= 0. Selanjut nya persamaan t erakhir ini dapat dit uliskan dalam bent uk
14 x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0. Persamaan bent uk t erakhir ini dinamakan persamaan bent uk umum suat u
lingkaran. Apabila diket ahui persamaan bent uk umum suat u lingkaran: x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0, maka dapat dicari koordinat -koordinat t it ik pusat dan jari-jarinya. Persamaan
bent uk umum t ersebut dapat diubah menjadi: x
2
+ Ax +
4 1
A
2
+ y
2
+ By +
4 1
B
2
= A
2
+
4 1
B
2
– C x +
2 1
A
2
+ y +
2 1
B
2
= A
2
+ B
2
– C. Dari persamaan t erakhir ini, dapat disimpulkan bahw a t it ik pusat lingkaran adalah
-
2 1
A , -
2 1
B dan jari-jarinya adalah
C B
A
2 2
4 1
4 1
Cont oh 3 Tent ukan koordinat -koordinat t it ik pusat dan jari-jari sebuah lingkaran dengan
persamaan 4x
2
+ 4y
2
– 4x + 16y – 19 = 0. jaw ab: Tit ik pusat nya
2 1
, -2 dan jari-jari 3.
Cont oh 4 Tent ukan persamaan lingkaran yang melalui t iga t it ik P1 , 0, Q0 , 1 dan T2 , 2.
jaw ab: 3x
2
+ 3y
2
– 7x – 7y + 4 = 0 Y
X y = mx + n
O
15 Pada gambar diat as diket ahui garis y = mx + n dan lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
. Selanjut nya dapat dicari persamaan garis singgung pada lingkaran yang sejajar
garis dengan persamaan y = mx + n. Karena garis singgung yang dicari harus sejajar garis dengan persamaan y = mx + n, maka dapat dimisalkan garis singgung
t ersebut adalah y = mx + k. Karena garis ini menyinggung pada lingkaran, maka ada sebuah t it ik yang
koordinat -koordinat nya memenuhi pada persamaan garis maupun persamaan lingkaran. Sehingga dapat diperoleh
x
2
+ mx + k
2
+ r
2
1 + m
2
x
2
+ 2mk + k
2
- r
2
= 0 Persamaan ini dipandang sebagai persamaan kuadrat dalam x. Karena garis
singgung dan lingkaran hanya mempunyai t it ik persekut uan, maka persamaan kuadrat hanya mempunyai sat u harga x, syarat nya adalah diskriminan dari
persamaan t ersebut harus sama dengan nol; sehingga didapat : k =
r
2
1 m
. Jadi persamaan garis singgungnya adalah
y = mx + r
2
1 m
dan y = mx – r
2
1 m
Dengan cara yang sama dapat dit urunkan bahw a persamaan garis singgung pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
yang sejajar dengan garis y = mx + n adalah y – b = mx – a + r
2
1 m
dan y – b = mx – a - r
2
1 m
.
Cont oh 5 Tent ukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut dan yang mengapit
sudut 60
o
dengan sumbu-x arah posit if. a. x
2
+ y
2
= 16 b. x
2
+ y
2
– 4x – 6y – 3 = 0 jaw ab : a x
3 + 8 dan x
3 – 8, b y = x
3 + 11 - 2
3 dan y = x
3 - 5 - 2
3.
16 Pada gambar dibaw ah ini lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
dan t it ik Px
1
, y
1
yangt erlet ak pada lingkaran. Akan dicari persamaan garis singgung pada lingkaran di t it ik P.
Diambil t it ik Qx
2
, y
2
pada lingkaran pula, maka persamaan garis PQ adalah y – y
1
=
1 2
1 2
x x
y y
x – x
1
. Karena t it ik P dan Q pada lingkaran, maka berlaku
x
2 2
+ y
2 2
= r
2
dan x
1 2
+ y
1 2
= r
2
. Apabila kedua persamaan ini dikurangkan, maka diperoleh
1 2
1 2
x x
y y
= -
1 2
1 2
y y
x x
Dengan persamaan ini, persamaan garis PQ diat as dapat dit ulis menjadi y – y
1
= -
1 2
1 2
y y
x x
x – x
1
Jika Q mendekat i P sehingga hampir x
2
= x
1
dan y
2
= y
1
maka garis PQ berubah menjadi garis singgung lingkaran di t it ik P, yait u: x
1
x + y
1
y = r
2
. Jadi persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
di t it ik x
1
,y
1
adalah x
1
x + y
1
y = r
2
. Dengan cara yang sama dapat dit urunkan bahw a persamaan garis singgung pada
lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
dengan t it ik singgung x
1
, y
1
adalah x
1
– ax – a + y
1
– by – b = r
2
.
Cont oh 6 Tent ukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Qx
2
,y
2
Px
1
,y
1
Y
X O
17 a. x
2
+ y
2
= 25 di t it ik 4 , -3. b. x
2
+ y
2
– 4x – 6y – 12 = 0 di t it ik -1 , 7. jaw ab: a 4x – 3y + 25 dan b –3x + 4y – 31 = 0.
Cont oh 7 Diket ahui persamaan lingkaran x
2
+ y
2
+ 2x – 19 = 0 dan t it ik B1 , 6. Tent ukan t it ik pusat dan jari-jari lingkaran. Selidiki apakah t it ik di bagian dalam, pada, at au
di luar lingkaran. Selanjut nya t ent ukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui t it ik B.
jaw ab: x – 2y + 11 = 0 dan 2x + y – 8 = 0.
Dengan ilust rasi yang mirip pada pembahasan diat as, dapat dit ent ukan bahw a
Koordinat -koordinat t it ik-t it ik S
1
dan S
2
memenuhi persamaan x
o
x + y
o
y = r
2
. Garis ini melalui t it ik-t it ik singgung S
1
dan S
2
dan biasa disebut t ali busur singgung dari t it ik T. Selanjut nya persamaan ini pula disebut persamaan garis kut ub Tx
o
, y
o
t erhadap lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
.
Soal-soal
1. Tent kan t it ik pusat dan jari-jari lingkaran x
2
+ y
2
+ 4x – 6y + 9 = 0. 2.
Tent ukan persamaan lingkaran yang bert it ik pusat di 1 , -2 dan melalui t it ik 4 , 2.
3. Tent ukan jari-jari lingkaran 9x
2
+ 9y
2
– 54x + 18y + 65 = 0 O
S
2
x
2
,y
2
Tx ,y
S
1
x
1
,y
1
X Y
18 4.
Tent ukan persamaan lingkaran yang melalui O0 , 0, P4 , 0, dan Q0 , 2. 5.
Tent ukan persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y + 1
2
= 4 yang sejajar dengan garis 5x – 12y + 5 = 0.
6. Tent ukan persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
– 2x + 2y – 7 = 0 di t it ik 1 , 2.
7. Tent ukan persamaan garis kut ub t it ik 2,-1 t erhadap lingkaran x + 3
2
+ y – 2
2
= 9.
19
BAB III ELLIPS
Kategori