37
BAB V PARABOLA
Definisi: Parabola adalah himpunan t it ik-t it ik yang berjarak sama dari suat u t it ik dan suat u garis t ert ent u. Berdasarkan definisi ini dapat dit ent ukan persamaan
parabola sebagai berikut .
M isalkan t it ik yang dimaksud adalah F dan garis yang dimaksud adalah garis g; perpot ongan garis g dengan sumbu x adalah A; sumbu y dibuat melalui t it ik
t engah AF dan t egak lurus sumbu x. M isalkan jarak
p AF
. M aka
, 2
1 p
F
; dan persamaan garis g adalah x = -
p 2
1
; dan Tx , y sebarang t it ik pada parabola, maka berlaku
TF
= jarak T ke garis g at au
2 2
2 1
y p
x
= x +
2 1
p Set elah kedua ruas dikuadrat kan dan dijabarkan diperoleh y
2
= 2px. Persamaan ini disebut dengan persamaan puncak parabola
Tit ik F disebut t it ik api. Tit ik O disebut puncak parabola
Garis x = -
2 1
p disebut garis arah at au direkt rik Sumbu x merupakan sumbu simet ri dari parabola p dan disebut paramet er
parabola Tx,y
g
A F
O Y
X
38 Berdasarkan definisi parabola, eksent risit as parabola adalah e = 1.
Dengan menggunakan t ranslasi susunan sumbu, dapat dit ent ukan bahw a persamaan parabola yang puncaknya P
,
dan sumbu simet rinya sejajar sumbu x adalah
y -
2
= 2px -
.
Cont oh Tent ukan persamaan parabola yang puncaknya di O, sumbu simet rinya berimpit
dengan sumbu x dan parabolanya t erlet ak di set engah bidang bagian kiri dan melalui t it ik -1 , 2.
Jaw ab: y
2
= -4x. Cont oh
Tent ukan persamaan parabola yang t it ik apinya F7 , 2 dan persamaan garis arahnya x – 5 = 0.
Jaw ab: y
2
– 4y – 4x + 28 = 0. Tx,y
g
A F
P ,
Y’
X’
y
2
= 2px
O Y
X y = mx+n
39 Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien m dapat
dit ent ukan sebagai berikut . M isalkan persamaan parabolanya adalah y
2
= 2px dan persamaan garis yang gradiennya m adalah y = mx + n, dengan n paramet er. Absis
t it ik-t it ik pot ong garis dan parabola t ersebut diperoleh dari persamaan mx + n
2
= 2px, at au dari persamaan m
2
x
2
+ 2mn – 2px + n
2
= 0. Garis akan menyinggung parabola jika kedua t it ik pot ongnya berimpit at au absis kedua t it ik pot ongnya
sama. Berart i harus t erpenuhi persamaan 4mn – p
2
– 4m
2
n
2
= 0. Dari persamaan diat as akhirnya diperoleh n =
m p
2
. Jadi persamaan garis singgung pada parabola y
2
= 2px dengan gradien m adalah y = mx +
m p
2
. Jika persamaan parabolanya y -
2
= 2px -
, maka persamaan garis singgung dengan gradien m adalah y -
= mx -
+
m p
2
.
Persamaan garis singgung pada parabola y
2
= 2px di t it ik singgung Tx
1
, y
1
dapat dit ent ukan sebagai berikut . M isalkan Persamaan garis singgung nya adalah y = mx
+ n. M aka absis t it ik singgungnya dapat diperoleh dari persamaan mx + n
2
= 2px, at au m
2
x
2
+ 2mn – 2px + n
2
= 0. Karena hanya ada sat u t it ik singgung maka absisnya adalah
x
1
=
2 2
2 2
2 m
mn p
m p
mn
………….. i dan ordinat nya adalah
Tx
1
,y
1
O X
Y
y = mx+n
40 y
1
=
m p
n m
mn p
m
2
………….. ii Jadi gradien garis singgungnya adalah m =
1
y p
.
Dari persamaan i dan ii dan y
1 2
= 2px
1
, diperoleh n =
2
1
y
. Jadi persamaan garis singgung pada parabola y
2
= 2px di Tx
1
, y
1
adalah Y =
2 2
2 1
1 1
1
y px
y y
atau y
x y
p
at au y
1
y = px + x
1
. Jika persamaan parabolanya y -
2
= 2px -
, m aka persamaan garis singgung di Tx
1
, y
1
adalah y
1
-
y -
= px + x
1
- 2
. Karena gradien garis singgung di Tx
1
, y
1
adalah
1
y p
maka gradien garis
normalnya adalah
p y
1
. Jadi persamaan garis normal di Tx
1
, y
1
adalah
y – y
1
=
1 1
x x
p y
.
Persamaan garis singgung pada parabola y
2
= 2px yang melalui t it ik Tx
1
, y
1
di luar parabola dapat dit ent ukan sebagai berikut . M isalkan t it ik singgungnya Sx
o
, y
o
. M aka persamaan garis singgung di S adalah y
o
y = px + x
o
. Karena garis singgung ini melalui t it ik Tx
1
, y
1
maka harus memenuhi y
o
y
1
= px
1
+ x
o
. Karena x
o
, y
o
pada parabola, maka y
o 2
= 2px
o
. Akhirnya diperoleh persamaan garis singgung melalui T di luar parabola.
T O
X Y
S
S
41 Cont oh
Tent ukan persamaan garis singgung yang melalui t it ik T-2 , -3 pada parabola y
2
= 8x.
Jaw ab: x + 2y + 8 = 0 dan 2x – y + 1 = 0.
Cont oh Tent ukan t it ik A pada parabola y
2
= 8x yang t erdekat dengan garis 2x + 2y – 3 = 0. Jaw ab:
2 , -4.
M isalkan persamaan parabola y
2
= 2px. Tit ik-t it ik Sx
1
, y
1
dan Tx
2
, y
2
merupakan t it ik-t it ik singgung dari garis-garis singgung yang dit arik dari t it ik Px
o
, y
o
di luar parabola. Persamaan garis singgung di S dan di T bert urut-t urut
y
1
y = px + x
1
dan y
2
y = px + x
2
. Karena garis-garis singgung t ersebut melalui P maka berlaku
y
1
y
o
= px
o
+ x
1
dan y
2
y
o
= px
o
+ x
2
. Ini berart i t it ik-t it ik S dan T memenuhi persamaan
Y
o
y = px + x
o
. Persamaan ini disebut persamaan garis kut ub dari P t erhadap parabola y
2
= 2px. Jika P pada parabola maka garis kut ub menjadi garis singgung.
Jika P di luar parabola maka garis kut ub menjadi t ali busur singgung. Jika P di dalam parabola maka garis kut ub t idak memot ong parabola.
F T
O X
Y
42 Adapun sifat ut ama garis singgung adalah sebagai berikut : garis singgung
di suat u t it ik pada parabola membagi dua sama besar sudut ant ara garis yang menghubungkan t it ik singgung dengan t it ik api dan garis yang melalui t it ik
singgung sejajar dengan sumbu x. bukt ikan. Berikut ini akan disajikan beberapa t empat kedudukan t it ik yang
memenuhi syarat t ert ent u. 1
Tempat kedudukan t it ik-t it ik t engah t alibusur-t alibusur yang sejajar dengan garis yang gradiennya m adalah y =
m p
. 2
Tempat kedudukan t it ik pot ong garis-garis singgung pada parabola yang t egak lurus sesamanya adalah x = -
2 1
p persamaan garis arah parabola at au garis ort hopt is
dari M onge. 3
Tempat kedudukan t it ik-t it ik pot ong garis-garis yang melalui t it ik api dan t egak lurus garis-garis singgung pada parabola adalah x = 0 at au sumbu y
garis t it ik kaki.
Soal-soal
1. Tent ukan persamaan parabola yang simet ris t erhadap OX, puncaknya di t it ik
asal, dan melalui t it ik A9 , 6. 2.
Tent ukan persamaan parabola yang puncaknya di O, t erlet ak di t engah-t engah bidang at as, simet ris t erhadap OY, dan paramet er p =
4 1
. 3.
Dari t it ik api parabola y
2
= 12x dipancarkan sinar yang membent uk sudut lancip
t g
=
4 3
dengan sumbu x posit if. Tent ukan persamaan garis yang dilalui sinar pant ul t ersebut .
4. Tent ukan persamaan garis singgung pada parabola y
2
= 6x yang t egak lurus garis y =
3 1
x + 2.
43 5.
Dari t it ik A-1 , 2 dibuat garis-garis singgung pada parabola y
2
= 10x. Tent ukan persamaan garis yang menghubungkan t it ik-t it ik singgungnya.
6. Tent ukan persamaan parabola yang t it ik apinya F4 , 3 dan garis arahnya y + 1
= 0. 7.
Tent ukan t it ik-t it ik pada parabola yang jaraknya 13 dari t it ik api parabola t ersebut .
8. Tent ukan t it ik pada parabola y
2
= 64x yang t erdekat dengan garis 4x + 3y – 14 = 0.
9. Dari t it ik P-3 , 12 dibuat garis singgung pada parabola y
2
= 10x. Tent ukan jarak t it ik P ke garis yang menghubungkan t it ik-t it ik singgung t ersebut .
10. Tent ukan persamaan parabola yang puncaknya di A-2 , -1 dan persamaan
garis arahnya x + 2y – 1 = 0.
44
BAB VI KOORDINAT DAN PERSAM AAN KUTUB
Kategori