1
BAB I GARIS LURUS
Perhat ikan gambar dibaw ah ini.
M isalkan diket ahui garis AB dengan Ax
1
, y
1
dan Bx
2
, y
2
. Px , y adalah sebarang t it ik pada garis AB t ersebut . Vekt or-vekt or
, dan
, ,
AB OB
OA
masing-masing dit ulis dengan a, b, dan c. Garis AB dapat didefinisikan dari t it ik A dan B dengan menggunakan vekt or
sebagai berikut .
; ,
c a
y x
R
1 2
1 2
1 1
, ,
, y
y x
x y
x y
x
, ,
1 2
1 2
1 1
y y
x x
y y
x x
1 2
1 1
2 1
y y
y y
x x
x x
Selanjut nya persamaan diat as dinamakan persamaan garis lurus yang melalui t it ik Ax
1
, y
1
dan Bx
2
, y
2
. Y
O A
B
X P
2 Perhat ikan gambar diat as,
ON
= n disebut panjang normal garis g. ON t egak lurus pada garis g.
adalah sudut yang diapit oleh normal ON dan sumbu X posit if. Ambil sebarang t it ik Px,y pada garis g. Q adalah proyeksi t it ik P pada
sumbu X dan R adalah proyeksi t it ik Q pada ON.
OQR +
= 90
o
dan
OQR +
PQR = 90
o
maka
PQR =
.
OR
=
OQ
Cos
= x Cos
RN
=
PQ
Sin
= y Sin x
RN
=
PQ
Sin
= y Sin x Perhat ikan bahw a
OR
+
RN
=
ON
, maka x Cos
+ y Sin
= n. Karena t it ik P sebarang t it ik pada garis lurus g, maka hubungan t erakhir ini
menyat akan persamaan garis g. Persamaan bent uk it u dinamakan persamaan normal dari Hess at au disingkat persamaan norm al at au persamaan Hess. Karena
n adalah panjang normal, maka n suat u bilangan posit if. Cont oh
Tent ukan persamaan normal suat u garis lurus dengan panjang normal 5 sat uan dan besar sudut apit garis t ersebut dengan sumbu arah posit if adalah 135
o
. Jaw ab
O N
g
Px,y R
Q Y
X
3 Persamaan normal garis g adalah:
x cos 45
o
+ y sin 45
o
= 5
5 2
2 1
2 2
1
y x
Apabila kedua ruas dari persamaan t ersebut masing-masing dikalikan
2
, maka diperoleh persamaan:
X + y = 5
2
.
Selanjut nya pandang bent uk umum persamaan garis lurus Ax + By + C = 0. Apabila kedua ruas persamaan ini dikalikan k dengan k
0, maka diperoleh: KAx + kBy + kC = 0.
Jika dibandingkan dengan persamaan normal, maka diperoleh hubungan k
2
A
2
+ k
2
B
2
= 1 k
2
A
2
+ B
2
= 1 k =
2 2
1 B
A
Sehingga persamaan normal dari Ax + By + C = 0 adalah
2 2
2 2
2 2
B
A C
y B
A B
x B
A A
Dari normal ini dapat disimpulkan bahw a jarak t it ik asal O ke garis lurus dengan persamaan Ax + By + C = 0 adalah
2 2
B A
C
dipilih harga posit ifnya. Cont oh
Ubahlah persamaan-persamaan garis lurus berikut ini menjadi bent uk persamaan normal. Kemudian t ent ukan jarak garis-garis t ersebut masing-masing ke t it ik asal
O. a
5x – 12 y = 19 b
3x – 4y + 10 = 0.
4 Jaw ab
a 5x – 12 y – 19 = 0
k =
13 1
169 1
12 5
1
2 2
Alt ernat if -19 bilangan negat if, maka harga k dipilih yang bert anda posit if, sehingga k =
13 1
. Jadi persamaan normal adalah
13 19
13 12
13 5
y
x
, sedangkan jarak ke t it ik asal O adalah
13 19
sat uan panjang.
b 3x – 4y + 10 = 0
k =
2 2
4 3
1
=
5 1
25 1
Karena 10 adalah bilangan posit if, maka nilai k dipilih yang bert anda negat if, yait u k =
5 1
Jadi bent uk persamaan normalnya adalah
2 5
4 5
3
y
x
, sedangkan jarak ke t it ik asal O adalah 2 sat uan panjang. Perhat ikan dua garis lurus yang berpot ongan
g
1
: y = m
1
x + n
1
g
2
: y = m
2
x + n
2
sebagaimana gambar berikut ini,
5 Tanjakan garis g
1
adalah m
1
= tg
, dan t anjankan garis g
2
adalah m
2
= t g
.
adalah sudut yang dibent uk oleh garis g
1
dan garis g
2
. Selanjut nya akan dicari
, yait u
=
-
.
Sehingga
2 1
2 1
2 1
2
1 1
. 1
m m
m m
arctg y
Jadi m
m m
m tg
tg tg
tg tg
tg tg
tg
Dengan memperhat ikan harga-harga t ert ent u dari
dpat dit ent ukan posisi kedua garis t ersebut .
a Jika
= 0, maka m
1
= m
2
. Ini berart i dua garis t ersebut sejajar at au berimpit . Dua garis t ersebut akan sejajar apabila n
1
n
2
dan dua garis t ersebut berimpit , apabila n
1
= n
2
. O
Y
X g
1
g
2
6 b
Jika harga t g
besar t ak berhingga, yait u
= 90
o
, maka 1 + m
1
m
2
= 0 at au m
1
= -
2
1 m
. Ini berart i dua garis t ersebut saling t egak lurus.
Cont oh Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui t it ik A2,1 dan mengapit sudut yang
besarnya 45
o
dengan garis 2x + 3y + 4 = 0 Jaw ab
Gambar dibaw ah ini adalah sket sa dari ket ent uan-ket ent uan dalam soal dan garis g
1
dan g
2
adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya 45
o
dengan garis 2x+3y+4=0.
Tanjakan garis 2x + 3y + 4 = 0 adalah m = -
3 2
. M isalkan t anjakan garis g
1
yang dicari adalah m
1
, maka Y
X g
2
g
1
A2,1
2x+3y+4 45
O
7
5 1
3 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1 45
1 1
1 1
1 1
1
m m
m m
m m
m m
m tg
o
Jadi persamaan garis g
1
adalah garis dengan t anjakan m
1
=
5 1
dan melalui t it ik A2 , 1, yait u
Y – 1 =
5 1
x – 2 X – 5y + 3 = 0
Tanjakan garis g
2
adalah m
2
= -5, sehingga persamaan garis g
2
adalah Y – 1 = -5x – 2
5x + y – 11 = 0.
Pada persamaan normal suat u garis lurus, dapat langsung dit ent ukan jarak t it ik asal O ke garis t ersebut . Selanjut nya akan dit ent ukan jarak t it ik sebarang ke garis
lurus t ert ent u. Y
g g
1
Tx
1
,y
1
d n
X
O Y
X
d n
N Tx
1,
y
1
g g
1
8 Pada gambar diat as garis g memiliki persamaan normal x cos
+ y sin
- n = 0 dan t it ik Tx
1
, y
1
yang berjarak d dari garis g. Dapat dit ent ukan persamaan normal garis g
1
yang melalui t it ik Tx
1
, y
1
dan sejajar dengan garis g. Jelas bahw a panjang normal dari garis g
1
adalah n + d, m aka persamaan normal garis g
1
adalah x cos
+ y sin
- n+d = 0. Karena t it ik Tx
1
, y
1
pada garis g
1
, maka koordinat -koordinat t it ik T memenuhi persamaan garis g
1
, sehingga diperoleh x
1
cos
+ y
1
sin
- n + d = 0 Jadi d = x
1
cos
+ y
1
sin
- n. Dengan cara yang sama dapat dit ent ukan pula jarak t ersebut apabila t it ik-t it ik O
dan T t erlet ak sepihak t erhadap garis g, sehingga diperoleh d = -x
1
cos
+ y
1
sin
- n Karena d adalah jarak, maka nilainya harus posit if, sehingga harus diambil harga
mut laknya. d =
n y
x
sin cos
1 1
Jika persamaan garisnya merupakan persamaan unt uk umum, maka unt uk menent ukan jarak suat u t it ik pada garis t ersebut harus diubah ke persamaan
normal. Karena persamaan normal garis Ax + By + C = 0 adalah +
2 2
2 2
2 2
B A
C y
B A
B x
B A
A
maka jarak t it ik Tx
1
, y
1
ke garis t ersebut adalah d =
2 2
1 1
B A
C By
Ax
Bent uk persamaan normal garis y = mx + n adalah
1
2
m
n mx
y
, maka jarak
t it ik Tx
1
, y
1
ke garis t ersebut adalah d =
2 1
1
1 m n
mx y
9 Cont oh
Tent ukan jarak t it ik P ke garis g, apabila a
P2 , 3 dan g : 3x – 4y – 3 = 0 b
P-4 , 1 dan g : y = 2x – 1 Jaw ab
a d =
2 2
4 3
3 3
. 4
2 .
3
=
5 4
1 5
9
b d =
5 5
6 5
6 2
1 1
4 2
1
2 2
Soal-soal Latihan
1. Gambarlah sepasang sumbu koordinat dan gambarlah kedudukan t it ik-t it ik
dengan koordinat 4 , 1, -2 , 3, -1 , -4, 5 , -5, 0 , 6, dan -5 , 0. Tulislah koordinat -koordinat nya disamping t it ik t ersebut .
2. Gambarlah sebuah segit iga dengan t it ik-t it ik sudut A0 , 1, B2 , 5, dan C-1 ,
4. Bukt ikan bahw a segit iga t ersebut merupakan segit iga sama kaki. 3.
Diket ahui sebuah segit iga dengan t it ik-t it ik sudut P-3 , 2, Q0 , -1, dan R5 , 4. Bukt ikan bahw a segit iga t ersebut merupakan segit iga siku-siku dan gambar
segit iga t ersebut . 4.
Diket ahui ruas garis dengan t it ik-t it ik ujung A-5 , -6 dan C10 , 1. Bukt ikan bahw a t it ik B4 , -2 t erlet ak pada ruas garis t ersebut .
5. Diket ahui sebuah segit iga dengan t it ik-t it ik sudut nya adalah A3 , 0, B-2 , 4,
dan C-5 , -3. Tent ukan koordinat -koordinat t it ik berat nya. t it ik berat segit iga adalah t it ik perpot ongan ket iga garis berat nya.
6. Tit ik P3 , 0 adalah t it ik pusat sebuah lingkaran t it ik A-2 , 7 adalah t it ik ujung
sebuah garis t engahnya. Tent ukan koordinat -koordinat t it ik ujung lainnya dari garis t engah t ersebut .
10 7.
Diket ahui t it ik A4 , 7. Tent ukan persamaan garis lurus yang sejajar sumbu-x dan melalui t it ik A. Tent ukan pula persamaan garis lurus yang sejajar sumbu-y
dan melalui t it ik A. 8.
Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui O0 , 0 dan P-2 , 5. Tent ukan pula t anjakan dari garis lurus t ersebut .
9. Tent ukan t anjakan dan persamaan garis lurus yang melalui O0 , 0 dan yang
mengapit sudut 60
o
dengan sumbu-x arah posit if. 10.
Diket ahui t it ik A1 , 4 dan B3 , -2. Tent ukan t anjakan dan persamaan garis lurus yang melalui t it ik-t it ik A dan B.
11. Tent ukan persamaan garis lurus dengan t anjakan m =
2 1
dan melalui t it ik 0 , 4.
12. Carilah persamaan garis lurus yang melalui t it ik -1 , 2 dan mengapit sudut
135
o
dengan sumbu-x arah posit if. 13.
Tent ukan koordinat -koordinat t it ik-t it ik pot ong dengan sumbu-sumbu koordinat dan t anjakan garis 3x – 5y + 15 = 0.
14. Suat u lingkaran dengan t it ik pusat 3 , -2 dan t it ik 9 , 2 adalah salah sat u t it ik
ujung sebuah garis t engahnya. Tent ukan koordinat -koordinat t it ik ujung lainnya dari garis t engah t ersebut .
15. Tent ukan pasangan garis mendat ar sejajar sumbu-x yang memot ong sumbu
y di t it ik sejauh 5 sat uan di at as t it ik asal. 16.
Tent ukan pasangan garis vert ikal yang memot ong sumbu-x di sebuah t it ik sejauh 4 sat uan sebelah kiri t it ik asal.
17. Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui t it ik -5 , 1 dengan t anjakan –1.
18. Tent ukan persamaan garis lurus yang t anjakannya adalah
2 1
dan yang memot ong sumbu-y di sebuah t it ik 7 sat uan dibaw ah t it ik asal.
19. Tent ukan persamaan garis lurus yang t anjakannya adalah –2 dan yang
memot ong sumbu-x di sebuah t it ik 3 sat uan sebelah kanan t it ik asal. 20.
Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui t it ik-t it ik 2 , -1 dan -5 , 4.
11 21.
Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui t it ik a , 0 dan 0 , b. 22.
Tent ukan persamaan garis lurus yang mengapit sudut 45
o
dengan sumbu-x arah posit if dan melalui t it ik A3 , 1.
23. Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui t it ik P2 , 3 dan yang sejajar
dengan garis x + 2y – 3 = 0. 24.
Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui t it ik T-1 , -4 dan yang t egak lurus pada garis x – 2y + 2 = 0.
25. Diket ahui t it ik-t it ik A1 , 3 dan B4 , -1. C adalah t it ik t engah ruas garis AB.
Tent ukan persamaan garis lurus yang melalui C dan yang t egak lurus AB. 26.
Diket ahui A-2 , -1 dan B5 , 5. Tent ukan sumbu ruas garis AB. 27.
Ubahlah persamaan garis g berikut menjadi persamaan normal. Kemudian t ent ukan jarak t it ik P ke garis g.
a g : 3x – 4y + 5 = 0 dan P-1 , 3 b g : 12x + 5y – 19 = 0 dan P2 , -1.
28. Carilah persamaan garis lurus yang melalui t it ik pot ong garis-garis 11x + 3y – 7
= 0 dan 12x + y – 19 = 0 sert a berjarak sama dari t it ik-t it ik A3 , -2 dan B-1 , 6.
29. Apabila
adalah sudut lancip yang dibent uk oleh garis-garis 2x – y – 3 = 0 dan garis x – 3y + 5 = 0. Tent ukan t g
. 30.
Tent ukan panjang normal dari garis 5x – 12y – 13 = 0. 31.
Tent ukan persamaan garis berat
ABC yang melalui A dengan A3 , -1, B-2 , 4, dan C6 , -2.
32. Tent ukan persamaan garis yang melalui t it ik asal dan t egak lurus pada garis
yang melalui t it ik-t it ik A-5 , 1 dan B2 , 4. 33.
Tent ukan persamaan garis yang melalui t it ik 3 , -2 dan mengapit sudut 45 dengan garis y = 2x + 1.
12
BAB II LINGKARAN
Kategori