19
BAB III ELLIPS
Definisi Ellips adalah himpunan semua t it ik yang jumlah jaraknya t erhadap dua t it ik
t ert ent u t et ap besarnya.
M isalkan t it ik-t it ik api fokus F
1
, F
2
pada sumbu-X dan sumbu F
1
F
2
adalah sumbu- Y. Jika
F
1
F
2
= 2c maka F
1
c , 0 dan F
2
-c , 0. M isalkan jumlah jarak yang t et ap it u adalah 2a, dengan a
c. Ambil Tx , y sebarang t it ik yang memenuhi definisi, yait u
a TF
TF 2
2 1
Berart i
2 2
y c
x
+
2 2
y c
x
= 2a
2 2
y c
x
= 2a -
2 2
y c
x
Set elah kedua ruas dikuadrat kan dan dijabarkan kit a peroleh: -4cx – 4a
2
= -2a
2 2
y c
x
Kedua ruas dikuadrat kan lagi dan dijabarkan sehingga diperoleh: a
2
– c
2
x
2
+ a
2
y
2
= a
2
a
2
– c
2
………1 Karena a
c maka a
2
– c
2
0; sehingga dapat dit ulis a
2
– c
2
= b
2
Sehingga dari persamaan 1 diat as menjadi: b
2
x
2
+ a
2
y
2
= a
2
b
2
at au F
2
O X
Y
F
1
Tx,y
20
1
2 2
2 2
b y
a x
…….2 Karena Tx , y sebarang t it ik yang diambil, maka set iap t it iknya memenuhi
1
2 2
2 2
b y
a x
. Persamaan 2 ini disebut persamaan pusat dari ellips at au persamaan kanonik
dari ellips. c disebut eksent risit as linear
a c
disebut eksent risit as numerik, dit ulis e. Karena a
c maka 0
e =
a c
1.
Persamaam ellips yang pusat nya P
,
dan sumbu-sumbunya sejajar dengan koordinat adalah
1
2 2
2 2
b y
a x
Cont oh 1 Tent ukan persamaan ellips yang t it ik-t it ik apinya t erlet ak pada sumbu-X dan
simet ris t erhadap t it ik O sert a sumbu panjangnya 20, eksent risit as numerik e =
5 3
.
jaw ab:
1 64
100
2 2
y x
O X
Y P
, Tx,y
21 Suat u garis lurus dapat memot ong ellips, menyinggung, at au t idak memot ong dan
t idak menyinggung ellips. Dalam hal yang t erakhir garis dan ellips t idak mempunyai t it ik persekut uan. Selanjut nya akan dicari persamaan garis singgung
yang gradiennya m. M isalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah y = mx + p dan persamaan
ellips
1
2 2
2 2
b y
a x
. Absis t it ik-t it ik pot ong garis dan ellips diperoleh dari:
1
2 2
2 2
b
p mx
a x
at au b
2
+ a
2
m
2
x
2
+ 2a
2
mpx + a
2
p
2
– b
2
= 0 Garis menyinggung ellips jika t it ik-t it ik pot ongnya berimpit . Hal ini t erjadi apabila
persamaan kuadrat diat as mempunyai dua akar yang sama at au apabila diskriminannya sana dengan nol.
Sehingga D = 2a
2
mp
2
- 4 b
2
+ a
2
m
2
a
2
p
2
– b
2
= 0 Berart i p =
2 2
2
m a
b
Jadi persamaan garis singgung yang gradiennya m adalah y = mx
2 2
2
m a
b
Cont oh 2 Carilah persamaan garis singgung pada ellips x
2
+ 4y
2
= 20 yang t egak lurus garis dengan persamaan 2x – 2y – 13 = 0.
jaw ab: y = -x
5 Selanjut nya akan dicari persamaan garis singgung pada ellips dengan t it ik
singgung Tx
1
, y
1
.
F
2
O X
Y
F
1
Tx
1
,y
1
Px
2
,y
2
22 M isalkan persamaan ellips
1
2 2
2 2
b y
a x
dan Px
2
, y
2
suat u t itik pada ellips, maka berlaku:
1
2 2
2 2
2 2
b y
a x
at au b
2
x
2 2
+ a
2
y
2 2
= a
2
b
2
. Karena Tx
1
,y
1
pada ellips maka berlaku b
2
x
1 2
+ a
2
y
1 2
= a
2
b
2
. Dari kedua persamaan diat as didapat b
2
x
1 2
– x
2 2
= -a
2
y
1 2
– y
2 2
Set elah dijabarkan diperoleh:
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
x x
y y
y y
a x
x b
Persamaan garis PT adalah y – y
1
=
1 2
1 2
2 1
2 1
1 2
1 2
1
x x
y y
a x
x b
y y
atau x
x x
x y
y
Jika P mendekat i T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga x
2
= x
1
dan y
2
= y
1
. Akibat nya PT menjadi garis singgung di t it ik T dan persamaannya adalah:
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
.
Unt uk ellips dengan persamaan
1
2 2
2 2
b y
a x
, maka persamaan garis singgung di t it ik x
1
, y
1
adalah
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
Cont oh 3 Carilah persamaan garis singgung pada ellips
1 24
30
2 2
y x
di t it ik yang absisnya 5. Cont oh 4
Carilah persamaan garis singgung pada ellips
1 4
2 2
y
x
dari t it ik T2 , -1. jaw ab: x = 2 at au y = -1.
23 Sifat ut ama garis singgung pada ellips sebagai berikut : Garis singgung di suat u t it ik
pada ellips membagi dua sama besar sudut ant ara garis penghubung t it ik it u dengan t it ik api yang sat u dan perpanjangan garis penghubung t it ik t ersebut
dengan t it ik api lainnya. Perhat ikan gambar dibaw ah ini.
OO
M isalkan persamaan ellips diat as adalah
1
2 2
2 2
b y
a x
dan t it ik-t it ik A
1
x’ , y’ dan koordinat A
2
x’’ , y’’ merupakan t it ik-t it ik singgung dari garis-garis singgung ellips yang melalui t it ik Tx
1
, y
1
diluar ellips. Persamaan garis singgung di A
1
adalah
1
2 2
b y
y a
x x
Karena T pada garis singgung maka
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
……………..1
Persamaan garis singgung di A
2
adalah
1
2 2
b y
y a
x x
Karena T pada garis singgung maka
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
……………..2 Dari 1 dan 2 dapat disimpulkan bahw a t it ik-t it ik A
1
dan A
2
t erlet ak pada garis dengan persamaan
1
2 1
2 1
b y
y a
x x
. Persamaan ini disebut persamaan t ali busur singgung dari t it ik Tx
1
, y
1
. A
2
A
2
Tx
1
,y
1
O
24
Soal-soal
1. Dari t it ik C10,-8 dibuat garis yang menyinggung ellips
1 16
25
2 2
y x
. Tent ukan persamaan t ali busur yang menghubungkan kedua it ik singgung tersebut .
2. Garis x – y – 5 = 0 menyinggung ellips yang t it ik-t it ik apinya F
1
-3 , 0 dan F
2
3 , 0. Tent ukan persamaan ellips yang memenuhi persyarat an t ersebut .
3. Tent ukan persamaan garis singgung pada ellips
1 24
30
2 2
y x
yang sejajar dengan garis 4x – 2y + 23 = 0.
4. Tent ukan persamaan t ali busur ellips
1 4
8
2 2
y x
yang dibagi dua sama panjang oleh t it ik A2 , 1.
5. Dari t it ik api sebelah kanan ellips
1 20
45
2 2
y x
dipancarkan sinar yang mengapit sudut
t g
= -2 dengan sumbu x posit if. Tent ukan persamaan garis yang dilalui sinar pant ulnya.
6. Tent ukan luas jajar genjang yang dua t it ik sudut nya adalah t it ik-t it ik api dari
ellips
1 5
9
2 2
y x
dan dua t it ik lainnya berim pit dengan ujung-ujung sumbu pendek dari ellips.
7. Diket ahui eksent risit as dari ellips adalah e =
5 2
dan jarak dari t it ik M pada ellips ke salah sat u garis arahnya adalah 20. Tent ukan jarak dari t it ik M ke t it ik
api yang bersesuaian dengan garis arah t ersebut . 8.
Suat u ellips menyinggung sumbu-x di t it ik A3 , 0 dan menyinggung sumbu-y di di B0 , -4. Sumbu-sumbu simet rinya sejajar sumbu-sumbu koordinat .
Tent ukan persamaan ellips t ersebut . 9.
Dari t it ik P-16 , 9 dibuat garis singgung pada ellips
1 3
4
2 2
y x
. Tent ukan jarak dari t it ik P ke garis yang menghubungkan t it ik-t it ik singgung t ersebut .
25 10.
Tent ukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu- sumbu koordinat dan yang menyinggung dua garis 3x – 2y – 20 = 0 dan
x + 6y – 20 = 0.
26
BAB IV HIPERBOLA
Kategori