III. PEMODELAN HARGA PENGGUNAAN INTERNET
3.1 Asumsi dan Model
Pada penelitian ini diperhatikan beberapa asumsi yaitu sebagai berikut:
1. Waktu antarkedatangan menyebar eksponensial dengan rataan
λ
- 1
laju kedatangan adalah
λ. 2.
Lamanya berada di komputer mengikuti distribusi eksponensial dengan rataan
μ
- 1
. 3.
Kedatangan dan lama penggunaan komputer adalah bebas tidak terikat pada dan banyaknya komputer yang digunakan.
4. Terdapat sejumlah N komputer dengan koneksi internet. Jika seorang
pelanggan tiba untuk mencari sebuah komputer dan komputer tersedia maka pelanggan menggunakannya.
5. Jika seorang pelanggan datang dan semua komputer digunakan maka
mereka tidak menunggu antri dan pergi ke tempat lain.
Lema 1
Misalkan X adalah peubah acak yang berdistribusi eksponensial dengan laju λ,
maka: P
t X t + h = λh + oh
2
. Dengan catatan bahwa peluang kejadian ditentukan dalam satu interval kecil yang
bebas tidak bergantung pada berapa lama proses berjalan bebas terhadap t; ini disebut ’no memory property of the exponential distribution’.
Bukti: Lema 1 lihat di Lampiran 2 Dalam model penentuan harga penggunaan internet didefinisikan peubah-
peubah sebagai berikut: C
x,t
: kejadian bahwa ada x pelanggan pada saat t. A
t,t+h
: kejadian bahwa ada satu kedatangan pada interval waktu t,t+h. D
t,t+h
: kejadian bahwa ada satu pelanggan pergi dalam interval t,t+h. P
j
t : peluang ada j pelanggan dalam sistem pada saat t.
λ : laju kedatangan
µ : laju penggunaan
Terdapat tiga tahapan dalam model penentuan harga penggunaan internet ini, yaitu: i menentukan peluang bahwa tidak ada pelanggan pada saat t + h,
ii menentukan peluang bahwa terdapat n pelanggan pada saat t + h, dan iii menentukan peluang bahwa semua komputer digunakan.
Jika tidak ada pelanggan yang menggunakan komputer pada saat t + h maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu:
Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada seorang pun pelanggan yang datang pada interval waktu t, t + h jika pada saat t tidak ada yang menggunakan internet
dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Kemungkinan yang kedua bahwa ada satu orang yang pergi meninggalkan warnet jika pada saat t ada satu orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan
sebagai berikut.
Dan beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan. Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut
3.1 Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada
kedatangan pada interval waktu t, t + h jika pada saat t tidak ada yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut
2 ,
, 0,
not not
1
t t h t t h
t
P A
C P
A h
o h λ
+ +
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= = −
+ ⎣
⎦ ⎣
⎦ 3.2
2 ,
, 1
0, 1,
not .
t t h t t h
t t
P t h
P A
C P t
P D
C P t
o h
+ +
⎡ ⎤
⎡ ⎤
+ =
+ +
⎣ ⎦
⎣ ⎦
waktu: t t
+ h user: 0
t + h
1 user: 1
waktu: t
dan peluang ada satu orang yang pergi pada interval waktu t, t + h jika pada saat t
ada satu orang yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut
2 ,
, 1,
.
t t h t t h
t
P D
C P
D h
o h μ
+ +
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= =
+ ⎣
⎦ ⎣
⎦ 3.3
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan 3.2 dan 3.3 ke persamaan 3.1, maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa tidak ada
pelanggan pada interval waktu t, t + h adalah sebagai berikut
1
. dP t
P t P t
dt λ
μ = −
+ 3.4
Jika terdapat n pelanggan yang menggunakan komputer pada saat t + h maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu:
Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada pelanggan yang datang dan tidak ada yang pergi pada interval waktu t, t + h jika pada saat t terdapat n pelanggan
yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Kemungkinan yang kedua bahwa ada satu kedatangan pada warnet jika pada saat t ada n
− 1 orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Kemungkinan yang ketiga bahwa ada satu orang yang pergi jika pada saat t ada n + 1 orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.
t + h
n 0 0
user: n
waktu: t
t + h
user: n − 1
n 1
waktu: t
t + h
n 1
user: n + 1
waktu: t
dan beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan. Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut untuk 0 n N
, ,
, 1,
1 ,
2 1,
1 ,
not and not
| |
. |
n n t
n t t h
t t h n
t n
t t h n
t n
t t h
P t h
P A
D C
P t P
A C
P t
P D
C P
t o h
+ +
− −
+ +
+ +
⎡ ⎤
+ =
⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ ⎣
⎦ ⎡
⎤ +
+ ⎣
⎦ 3.5
Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada yang datang dan tidak ada yang pergi pada interval waktu t, t + h jika pada saat t
terdapat n pelanggan yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut
2 ,
, ,
not and not
| 1
.
n t t t h
t t h
P A
D C
n h
o h λ
μ
+ +
⎡ ⎤ = − +
+ ⎣
⎦ 3.6
Peluang ada satu kedatangan pada interval waktu t, t + h jika pada saat t ada n
− 1 orang yang menggunakan yaitu sebagai berikut
2 1,
,
|
n t
t t h
P A
C h
o h λ
− +
⎡ ⎤ =
+ ⎣
⎦ 3.7
dan peluang terdapat satu orang yang pergi pada interval waktu t + h jika pada saat t ada n + 1 orang yang menggunakan yaitu sebagai berikut
2 1,
,
| 1
.
n t
t t h
P D
C n
h o h
μ
+ +
⎡ ⎤ =
+ +
⎣ ⎦
3.8 Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan 3.6, 3.7, dan 3.8 ke
persamaan 3.5, maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa terdapat n pelanggan pada interval waktu t, t + h adalah sebagai berikut
1 1
1 .
n n
n n
dP t P
t n
P t n
P t
dt λ
λ μ
μ
− +
= −
+ +
+ 3.9
Pada state
terakhir di mana semua komputer N digunakan, maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu:
Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada yang pergi pada interval waktu t, t + h jika pada saat t semua komputer N digunakan dapat diilustrasikan
sebagai berikut.
t + h
komputer: N N
waktu: t
Kemungkinan yang kedua bahwa terdapat satu kedatangan pada interval waktu t, t + h jika pada saat t terdapat satu komputer yang tidak digunakan N – 1
dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Serta beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan. Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut
2 ,
1, 1
, ,
not |
| .
N N t
N N
t N
t t h t t h
P t h
P D
C P t
P A
C P
t o h
− −
+ +
⎡ ⎤
⎡ ⎤
+ =
+ +
⎣ ⎦
⎣ ⎦
3.10 Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada yang
pergi pada interval waktu t, t + h jika pada saat t semua komputer digunakan yaitu sebagai berikut
2 ,
,
not |
1 .
N t t t h
P D
C Nh
o h μ
+
⎡ ⎤ = −
+ ⎣
⎦ 3.11
Peluang terdapat satu kedatangan pada interval waktu t, t + h jika pada saat t terdapat satu komputer yang tidak digunakan yaitu sebagai berikut
2 1,
,
| .
N t
t t h
P A
C h
o h λ
− +
⎡ ⎤ =
+ ⎣
⎦ 3.12
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan 3.11 dan 3.12 ke persamaan 3.10, maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa semua
komputer digunakan pada interval waktu t, t + h adalah sebagai berikut
1
.
N N
N
dP t P
t N P t
dt λ
μ
−
= −
3.13
Sebagai kesimpulan, untuk jumlah N komputer dengan tidak ada kapasitas antrian, state yang mungkin dari sistem adalah 0,1, . . . , N yang menunjukkan
banyaknya komputer yang digunakan. t
+ h N
1 komputer: N
− 1
waktu: t
Dengan demikian model penentuan harga penggunaan internet dapat dinyatakan sebagai berikut
1 1
1 1
1 .
n n
n n
N N
N
dP P
P dt
dP P
n P n
P n
N dt
dP P
NP dt
λ μ
λ λ μ
μ λ
μ
− +
−
= − +
= −
+ +
+ =
− 3.14
rekonstruksi model secara lengkap lihat Lampiran 3
3.2 Kebijakan Harga yang Memaksimumkan Pendapatan
Kategori