Bab 6 Integrasi Numerik
319
6.6.3 Ekstra p o la si A itke n
Kita telah membahas ekstrapolasi Richardson yang dapat diringkas sebagai berikut: Jika I =
∫
b a
dx x
f
≈ Ih + Ch
q
yang dalam hal ini, h = lebar tiap upaselang atau pias atau jarak antar titik
C dan q adalah konstanta dengan q diketahui C dapat dieliminir Ih adalah hampiran nilai nilai I
Ch
q
adalah galat dari hampiran nilai I maka
J = Ih +
1 2
1 −
q
[ Ih - I2h] adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik improve daripada I.
Timbul persoalan, bagaimana jika q tidak diketahui? Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu Ih, I2h, dan I4h:
J = Ih + Ch
q
→ C =
q
h h
I J
−
P.6.49
J = I2h + C2h
q
→ C =
q
h h
I J
2 2
−
P.6.50
J = I4h + C4h
q
→ C =
q
h h
I J
4 4
−
P.6.51 Eliminasikan nilai C dan q dengan menyamakan persamaan P.6.49 dan P.6.50
q
h h
I J
−
=
q
h h
I J
2 2
−
320
Metode Numerik
h I
J h
I J
2 −
−
=
q q
q
h h
2 =
q
2 1
P.6.52 dan menyamakan persamaan P.6.50 dan P.6.51
h I
J h
I J
4 2
− −
=
q q
h h
4 2
=
q
2 1
P.6.53 Persaman P.6.52 sama dengan persamaan P.6.53:
h I
J h
I J
2 −
−
=
h I
J h
I J
4 2
− −
P.6.54 kali silangkan kedua ruas persamaan P.6.54
J
2
- J Ih - J I4h + Ih I4h = J
2
- 2J I2h + [I2h]
2
J =
[ ]
h I
h I
h I
h I
h I
h I
4 2
2 2
4
2
+ −
−
atau
[ ]
h I
h I
h I
h I
h I
h I
J 4
2 2
2
2
+ −
− −
=
P.6.55
Persamaan P.6.55 ini dinamakan persamaan ekstrapolasi Aitken [NOB72]. Sekarang, tinjau kembali:
J = Ih + Ch
q
J = I2h + C2h
q
– 0 = Ih - I2h + Ch
q
- C2h
q
Ih - I2h = C2h
q
– Ch
q
P.6.56 J = I2h + C2h
q
J = I4h + C4h
q
– 0 = I2h - I4h + C2h
q
- C4h
q
I2h - I4h = C4h
q
- C2h
q
P.6.57
Bab 6 Integrasi Numerik
321 Bagi persamaan P.6.57 dengan persamaan P.6.56:
h I
h I
h I
h I
2 4
2 −
−
=
q q
q q
h C
Ch h
C h
C 2
4 2
− −
= 2
q
P.6.58 Besaran C pada persamaan P.6.58 dapat dihilangkan menjadi
t =
h I
h I
h I
h I
2 4
2 −
−
= 2
q
P.6.59 Tinjau kembali persamaan P.6.55 yang dapat ditulis ulang sebagai
J = Ih -
h I
h I
h I
h I
h I
h I
h I
2 4
2 2
2 −
+ −
−
= Ih -
h I
h I
h I
h I
I h
I h
I 2
4 2
2 −
+ −
−
= Ih - t
h I
h I
− −
1 2
= Ih + 1
2 −
− t
h I
h I
Jadi, 1
2 −
− +
= t
h I
h I
h I
J P.6.60
yang mirip dengan persamaan ekstrapolasi Richardson. Ekstrapolasi Aitken akan tepat sama dengan ektrapolasi Richardson jika nilai teoritis
t = 2
q
tepat sama dengan nilai empirik
t =
h I
h I
h I
h I
2 4
2 −
−
Perbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul bergantung kepada apakah kita mengetahui nilai q atau tidak. Hal ini diringkas dalam prosedur berikut:
322
Metode Numerik
Prosedur praktis: 1. Hitung I4h, I2h, dan Ih
2. Hitung nilai empirik t =
h I
h I
h I
h I
2 4
2 −
−
3. Hitung nilai teoritik t = 2
q
bila q diketahui 4. Jika t teoritik
≠ t empirik harus kita bertanya mengapa?
5. Gunakan ekstrapolasi Aitken P.6.59 dengan nilai empirik t atau ekstrapolasi Rihardson P.6.45 dengan q.
Contoh 6.10
[NOB72] Hitung dx
x
∫
1
sampai lima angka bena dengan menggunakan kaidah 13 Simpson Gunakan h = 18
Penyelesaian:
4h = 4 ×
18 = 12 →
I4h = I12 = 3
2 1
I f
+ 4f
12
+ f
1
= 16 0 + 4 √
12 + √
1 = 0.63807
2h = 2 ×
18 = 14 →
I2h = I14 =
3 4
1
f + 4f
14
+ 2f
12
+ 4f
34
+ f
1
= 112 0 + 4 √
14 + 2 √
12 + 4 √
34 + 1 = 0.65653
h = 18 →
Ih = I18 =
3 8
1
f + 4f
18
+ 2f
28
+ 4f
38
+ 2f
48
+ 4f
58
+ 2f
68
+ 4f
78
+ f
1
= 0.66308 empirik
→ t =
h I
h I
h I
h I
2 4
2 −
− =
4 1
8 1
2 1
4 1
I I
I I
− −
= 2.82 teoritik
→ t = 2
q
= 2
4
= 16 yang diharapkan Mengapa t teoritik tidak sama dengan t empirik? Perbedaan ini timbul sebab fungsi tur unan
√ x tidak terdefinisi di x = 0 singular. Karena itu, nilai t teoritik t = 16 tidak dapat
Bab 6 Integrasi Numerik
323 dipegang, sehingga ekstrapolasi Richardson P.6.46 tidak dapat digunakan untuk
menghitung perkiraan nilai integrasi yang lebih baik. Jadi, gunakan ekstrapolasi Aitken P.6.60 dengan nilai t empirik untuk menghitung perkiraan nilai integrasi yang lebih
baik:
J = I 18 +
1 82
. 2
4 1
8 1
− −
I I
= 0.66308 +
82 .
1 1
[0.66308 - 0.65653] = 0.66668
Bandingkan solusi ini dengan solusi sejatinya = 0.66667. Perhatikan, kalau kita menggunakan ekstrapolasi Richardson dengan t teoritik t = 16, maka solusinya
J = I 18 + 1
2 4
1 8
1
4
− −
I I
= 0.66308 +
15 1
[0.66308 - 0.65653] = 0.66352
yang cukup berbeda jauh dengan solusi eksak. Karena itu, hasil integrasi dengan ekstrapolasi Aitken yang dapat diterima, yaitu 0.66668.
6.7 Inte g ra l G a nda
Kategori