Bab 6 Integrasi Numerik
305 menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x =1 tidak dapat dihitung sebab fungsi fx =
1x-1 tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi yang tidak terdefinisi di x = t, untuk a ≤
t ≤
b, dinamakan fungsi singular.
Singularitas juga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefinisi di x = t, untuk a
≤ t
≤ b. Misalnya hasil perhitungan integrasi
∫
1
x memperlihatkan hasil
yang menyimpang meskipun fungsi fx = √
x sendiri terdefinisi untuk semua x = t, untuk a
≤ t
≤ b. Penyimpangan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan
integral
∫
1
x dihitung dengan kaidah trapesium.
Tinjau kembali galat total pada kaidah trapesium:
E
tot
≈ -
12
3
h
f + f
1
+ … + f
n-1
≈ -
12
3
h
∑
− =
1 n
i i
f
≈ -
12
3
h
∫
b a
dx x
f
≈ -
12
3
h
[ f b - f a] P.6.41
Persamaan P.6.41 menyiratkan bahwa galat integrasi
∫
b a
dx x
f akan besar apabila f
a atau f b tidak ada. Singularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi persamaan fungsi
sedemikian sehingga ia tidak singular lagi.
Contoh 6.4
Ubahlah fungsi integrasi I =
dx x
x
∫
1
cos
sehingga menjadi tidak singular lagi.
306
Metode Numerik
Penyelesaian:
Fungsi fx = cosx √
x tidak terdefenisi di x = 0. Misalkan
x = u
2
→ dx = 2u du
Batas-batas selang integrasi juga berubah x = 0
→ u =
√ x = 0
x = 1 →
u = √
x = 1 maka
I = dx
x x
∫
1
cos
= du
u u
u 2
cos
1 2
∫
I = du
u cos
2
2 1
∫
→ tidak singular lagi
Contoh 6.5
Ubahlah fungsi integrasi I =
∫
1
x dx
sehingga menjadi tidak singular lagi Penyelesaian:
Fungsi fx = √
x singular sebab turunannya f x =
x 2
1
tidak terdefinisi di x = 0 Misalkan
x = u² →
dx = 2u du
Bab 6 Integrasi Numerik
307 Batas-batas selang integrasi juga berubah
x = 0 →
u = √
x = 0 x = 1
→ u =
√ x = 1
maka I =
∫
1
x dx =
∫
1 2
2u du →
tidak singular lagi
Contoh 6.6
Ubahlah fungsi integrasi berikut sehingga menjadi tidak singular: I =
∫
−
1 3
1 sin
x x
dx
Penyelesaian:
Fungsi fx = 1 √
sin x1 - x
3
tidak terdefenisi di x = 0 dan x = 1 Pecah integral I menjadi dua bagian, I
1
dan I
2
: I =
∫
−
1 3
1 sin
x x
dx
=
∫
−
a
x x
dx
3
1 sin
+
∫
−
1 3
1 sin
a
x x
dx
I
1
, singular di x = 0 I
2
, singular x = 1 dengan 0 a 1
Misalkan x = u
2
→ dx = 2u du
Batas-batas integrasi x = a
→ u =
√ a
x = 0 →
u = 0 Maka,
I
1
=
∫
−
a
u u
du u
6 2
1 sin
2 = 2
∫
−
a
u u
u u
u
2 6
2
1 sin
du
308
Metode Numerik
Mengingat
lim →
u
2 2
sin u
u = 1
maka I
1
= 2
∫
−
a
u
6
1 1
du →
tidak singular lagi
I
2
=
∫
−
1 3
1 sin
1
a
x x
→ tidak dapat diterapkan pemisalan x = u²
Uraikan 1 – x
3
menjadi 1 – x1 + x + x
2
: I
2
=
∫
+ +
−
1 2
1 1
sin
a
x x
x x
dx
Misalkan 1 - x = u
2
→ - dx = 2u du
Batas-batas integrasi : x = 1
→ u =
√ 1- x = 0
x = a →
u = √
1- a I
2
=
[ ]
∫
−
− +
− +
− −
a
u u
u u
du u
1 2
2 2
2 2
1 1
1 1
sin 2
= 2
[ ]
∫
−
− −
a
u u
du u
1 4
2 2
3u -
3 1
sin
= 2
[ ]
∫
−
− −
a
u u
du
1 4
2 2
3u -
3 1
sin →
tidak singular lagi Cara lain penanganan singularitas dapat dilihat di [NAK93] halaman 140.
Bab 6 Integrasi Numerik
309
6.6 Pe ng g una a n Ekstra po la si untuk Inte g ra si
