Bab 6 Integrasi Numerik
275 Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah:
1. Kaidah segiempat rectangle rule 2. Kaidah trapesium trapezoidal rule
3. Kaidah titik tengah midpoint rule Dua kaidah pertama pada hakekatnya sama, hanya cara penurunan rumusnya
yang berbeda, sedangkan kaidah yang ketiga, kaidah titik tengah, merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik.
6.3.1 Ka id a h Se g ie m p a t
Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x sampai x = x
1
berikut Gambar 6.3.
y
x x
y = fx h
x
1
Luas satu pias adalah tinggi pias = fx
∫
1
x x
dx x
f
≈ h fx
P.6.6 atau tinggi pias = fx
1
∫
1
x x
dx x
f
≈ h fx
1
P.6.7
Gambar 6.3 Kaidah segiempat
276
Metode Numerik
Jadi,
∫
1
x x
dx x
f
≈ hf x
∫
1
x x
dx x
f
≈ hfx
1
+
2
∫
1
x x
dx x
f
≈ h [ fx
+ fx
1
] Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan 2, untuk
menghasilkan
∫
1
x x
dx x
f
≈ 2
h [fx
+ fx
1
] P.6.8
Persamaan P.6.8 ini dinamakan kaidah segiempat. Kaidah segiempat untuk satu pias dapat kita perluas untuk menghitung
I =
∫
b a
dx x
f
yang dalam hal ini, I sama dengan luas daerah integrasi dalam selang [a, b]. Luas daerah tersebut diperoleh dengan membagi selang [a, b] menjadi n buah pias
segiempat dengan lebar h, yaitu pias dengan absis [x , x
1
], [x
1
, x
2
], [x
2
, x
3
], ... , dan pias [x
n-1
, x
n
]. Jumlah luas seluruh pias segiempat itu adalah hampiran luas I
Gambar 6.4. Kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah segiempat gabungan composite rectangles rule:
∫
b a
dx x
f
≈ hf x
+ hf x
1
+ hf x
2
+ ... + hf x
n-1
∫
b a
dx x
f
≈ hf x
1
+ hf x
2
+ hf x
3
+ ... + hf x
n
+
2
∫
b a
dx x
f
≈ hfx
+ 2hf x
1
+ 2hfx
2
+ ... + 2hfx
n-1
+ hfx
n
Bab 6 Integrasi Numerik
277 Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan 2, untuk
menghasilkan
∫
b a
dx x
f
≈ 2
h f x
+ hfx
1
+ hfx
2
+ ... + hfx
n-1
+ 2
h f x
n
Jadi, kaidah segiempat gabungan adalah
∫
b a
dx x
f
≈ 2
h f
+ 2f
1
+ 2f
2
+ ... + 2f
n-1
+ f
n
= 2
h f
+ 2
∑
− =
1 1
n i
i
f
+ f
n
P.6.9 dengan f
r
= fx
r
, r = 0, 1, 2, ..., n .
y
x a = x
x
n
= b y = fx
x
1
x
2
...
... x
n-1
x
n-2
x
3
Gambar 6.4 Kaidah segiempat
gabungan
6.3.2 Ka id a h Tra p e sium
Pandang sebuah pias berbentuk trapesium dari x = x sampai x = x
1
berikut Gambar 6.5:
Luas satu trapesium adalah
∫
1
x x
dx x
f
≈ 2
h [ fx
+ fx ]
P.6.10
278
Metode Numerik
Persamaan P.6.10 ini dikenal dengan nama kaidah trapesium. Catatlah bahwa kaidah trapesium sama dengan kaidah segiempat.
y
x h
x x
1
Gambar 6.5 Kaidah trapesium
Bila selang [a, b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan composite trapezoidals rule:
∫
b a
dx x
f
≈
∫
1
x x
dx x
f
+
∫
2 1
x x
dx x
f
+ ... +
∫
− n
n
x x
dx x
f
1
≈ 2
h [ fx
+ fx
1
] + 2
h [ fx
1
+ fx
2
] + ... + 2
h [ fx
n-1
+ fx
n
] ≈
2 h
[ fx + 2fx
1
+ 2fx
2
+ ... + 2fx
n-1
+ fx
n
] ≈
2 h
f + 2
∑
− =
1 1
1 n
i
f
+ f
n
P.6.11
dengan f
r
= fx
r
, r = 0, 1, 2, ..., n.
Bab 6 Integrasi Numerik
279
Program 6.1 Kaidah Trapesium procedure trapesiuma, b : real; n: integer; var I : real;
{ Menghitung integrasi fx di dalam selang [a, b] dan jumlas pias adalah n dengan menggunakan kaidah trapesium.
K.Awal : nilai a, b, dan n sudah terdefinisi K.Akhir: I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah
segi-empat. }
var h, x, sigma: real;
r : integer; begin
h:=b-an;
{lebar pias} x:=a;
{awal selang integrasi} I:=fa + fb;
sigma:=0; for r:=1 to n-1 do
begin
x:=x+h; sigma:=sigma + 2fx;
end; I:=I+sigmah2; { nilai integrasi numerik}
end;
6.3.3 Ka id a h Titik Te ng a h
