298
Metode Numerik
I =
∫
−
1 2
exp dx
x ≈
h3 f + 4f
1
+ 2f
2
+ 4f
3
+ 2f
4
+ 4f
5
+ 2f
6
+ 4f
7
+ 2f
8
+ 4f
9
+ f
10
≈ 0.1 1.000000 + 4
× 0.990050 + 2
× 0.960789 + … + 4
× 0.444858 + 0.367879
≈ 0.746825
Taksiran galatnya:
f
4
x = 44x
4
- 12x
2
+ 3exp-x
2
Nilai minimum f
4
x adalah pada x = 2.5 + 0.5 √
10, dengan f
4
2.5 + 0.5 √
10 = -7.359, sedangkan nilai maksimum f
4
x adalah pada x = 0, dengan f
4
0 = 12, maka batas-batas galatnya adalah
E
tot
= -
180
4
h
b - a f
iv
t = -
180 1
.
4
1 - 0 ×
=
− =
− 000006
. 12
000004 .
min 359
. 7
maks Jadi, galat integrasinya, E
tot
, terletak di dalam selang -0.000004 E
tot
0.000006 Di sini nilai sejati I harus terletak di antara
0.746825 - 0.000004 = 0.746821 dan 0.746825 + 0.000006 = 0.746831 atau
0.746821 I 0.746831
6.4.3 Ka id a h Sim p so n 3 8
Seperti halnya pada kaidah Simpson 13, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat lebih
tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi fx kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi
adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola Gambar 6.11. Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data,
misalkan titik-titk tersebut 0, f0, h, fh, 2h, f2h, dan 3h, f3h.
Bab 6 Integrasi Numerik
299
x = 0
x
1
= h x
2
= 2h x
2
= 3h y
x y = fx
y = p
3
x
Gambar 6.11 Kaidah Simpson 38
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah
p
3
x = fx +
h x
∆ fx
+
2
2 h h
x x
−
∆
2
fx +
3
3 2
h h
x h
x x
− −
∆
3
fx = f
+ h
x ∆
f +
2
2 h h
x x
−
∆
2
f +
3
3 2
h h
x h
x x
− −
∆
3
fx P.6.35
Integrasi p
3
x di dalam selang [0,3h] adalah I
≈
∫
h
dx x
f
3
≈
∫
h
dx x
p
3 3
≈
∫
h 3
[ f +
h x
∆ f
+
2
2 h h
x x
−
∆
2
f +
3
3 2
h h
x h
x x
− −
∆
3
fx ] dx
Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah Simpson 13, diperoleh
∫
h
dx x
f
3
≈
8 3h
f + 3f
1
+ 3f
2
+ f
3
P.6.36
yang merupakan kaidah Simpson 38.
300
Metode Numerik
Galat kaidah Simpson 38 adalah
E ≈
-
80 3
h
5
f
iv
t , 0 t 3h P.6.37
Jadi, kaidah Simpson 38 ditambah dengan galatnya deapat dinyatakan sebagai
∫
h
dx x
f
3
≈ 8
3h f
+ 3f
1
+ 3f
2
+ f
3
+ Oh
5
Sedangkan kaidah Simpson 38 gabungan adalah
∫
b a
dx x
f
≈
8 3h
f + 3f
1
+ 3f
2
+ 2f
3
+ 3f
4
+ 3f
5
+ 2f
6
+ 3f
7
+ 3f
8
+ 2f
9
+ ... + 2 f
n-3
+ 3 f
n-2
+ 3 f
n-1
+ f
n
≈
8 3h
f + 3
∑
− ≠
= 1
,... 9
, 6
, 3
1 n
i i
i
f
+ 2
∑
− =
3 ,...
9 ,
6 ,
3 n
i i
f
+ f
n
P.6.38 Persamaan P.6.38 ini mudah dhafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya:
1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ... , 2, 3, 3, 1 Namun penggunaan kaidah Simpson 38 mensyaratkan jumlah upaselang n harus
kelipatan tiga. Galat kaidah 38 Simpson gabungan adalah
E
tot
≈
∑
= 3
1 n
i
80 3
5
h −
f
iv
t ≈
-
80 3
5
h
∑
= 3
1 n
i
f
iv
t ≈
-
80 3
5
h
. 3
n . f
iv
t ≈
-
80
5
h
h a
b −
f
iv
t
Bab 6 Integrasi Numerik
301 ≈
-
80
4
h a
b −
f
iv
t , a t b
P.6.39 = Oh
4
Jadi, kaidah Simpson 38 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai
∫
b a
dx x
f
≈
8 3h
f + 3
∑
− ≠
= 1
,... 9
, 6
, 3
1 n
i i
i
f
+ 2
∑
− =
3 ,...
9 ,
6 ,
3 n
i i
f
+ f
n
+ Oh
4
Kaidah Simpson 38 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah Simpson 13. Namun dalam praktek, kaidah Simpson 13 biasanya lebih disukai
daripada kaidah Simpson 38, karena dengan tiga titik Simpson 13 sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik Simpson 38. Tetapi, untuk n
kelipatan tiga, kita hanya dapat menggunakan kaidah Simpson 38, dan bukan Simpson 13.
Program 6.4 Kaidah Simpson 38
procedure Simpson_3per8a, b : real; n: integer; var I : real; { menghitung integrasi fxdalam selang [a,b]dengan jumlah upa-selang
sebanyak n n harus kelipatan tiga} } K.Awal : harga a, b, dan n sudah terdefinisi, n kelipatan 3
K.Akhir: I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah 38 Simpson
} var
h, x, sigma : real; r : integer;
