Contoh:
Diketahui pasangan data sebagai berikut.
x fx
3,0 2,5
4,5 1,0
7,0 2,5
9,0 0,5
fx fx
2
fx
1
fx
3
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
a
3
x
2
+ b
3
x + c
3
Interval 1 Interval 3
Interval 2
x i = 0
x
1
i = 1 x
2
i = 2 x
3
i = 3
9,0 0,5
Gunakan Spline orde kedua untuk mencari nilai fungsi pada x = 5.
Jawab:
Dari 4 titik data berarti terdapat 3 interval, sehingga terdapat 3 persamaan interpolasi:
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
, a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
dan a
3
x
2
+ b
3
x + c
3
x i = 0
x
1
i = 1 x
2
i = 2 x
3
i = 3
Syarat yang harus dipenuhi:
1
. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.
a
1
. 4,5
2
+ b
1
. 4,5 + c
1
= 1,0 20,25 a
1
+ 4,5 b
1
+ c
1
= 1,0 a
2
. 4,5
2
+ b
2
. 4,5 + c
2
= 1,0 20,25 a
2
+ 4,5 b
2
+ c
2
= 1,0
a
2
. 7
2
+ b
2
. 7 + c
2
= 2,5 49 a
2
+ 7 b
2
+ c
2
= 2,5 a
3
. 7
2
+ b
3
. 7 + c
3
= 2,5 49 a
3
+ 7 b
3
+ c
3
= 2,5
2
. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a
1
. 3
2
+ b
1
. 3 + c
1
= 2,5 9 a
1
+ 3 b
1
+ c
1
= 2,5 a
3
. 9
2
+ b
3
. 9 + c
3
= 0,5 81 a
3
+ 9 b
3
+ c
3
= 0,5
3
. Turunan I pada simpul dalam harus sama. f ’x = 2a
i
x + b
i
2. 4,5 a
1
+ b
1
= 2. 4,5 a
2
+ b
2
9 a
1
+ b
1
= 9 a
2
+ b
2
2. 7 a
2
+ b
2
= 2. 7 a
3
+ b
3
14 a
2
+ b
2
= 14 a
3
+ b
3
4
. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0. a
1
= 0.
fx fx
2
fx
1
fx
3
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
2
2
2
Interval 1 Interval 3
Interval 2
x i = 0
x
1
i = 1 x
2
i = 2 x
3
i = 3
Syarat yang harus dipenuhi:
1
. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.
a
1
. 4,5
2
+ b
1
. 4,5 + c
1
= 1,0 20,25 a
1
+ 4,5 b
1
+ c
1
= 1,0 a
2
. 4,5
2
+ b
2
. 4,5 + c
2
= 1,0 20,25 a
2
+ 4,5 b
2
+ c
2
= 1,0
a
2
. 7
2
+ b
2
. 7 + c
2
= 2,5 49 a
2
+ 7 b
2
+ c
2
= 2,5 a
3
. 7
2
+ b
3
. 7 + c
3
= 2,5 49 a
3
+ 7 b
3
+ c
3
= 2,5
2
. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a
1
. 3
2
+ b
1
. 3 + c
1
= 2,5 9 a
1
+ 3 b
1
+ c
1
= 2,5 a
3
. 9
2
+ b
3
. 9 + c
3
= 0,5 81 a
3
+ 9 b
3
+ c
3
= 0,5
3
. Turunan I pada simpul dalam harus sama. f ’x = 2a
i
x + b
i
2. 4,5 a
1
+ b
1
= 2. 4,5 a
2
+ b
2
9 a
1
+ b
1
= 9 a
2
+ b
2
2. 7 a
2
+ b
2
= 2. 7 a
3
+ b
3
14 a
2
+ b
2
= 14 a
3
+ b
3
4
. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0. a
1
= 0.
Terdapat 8 persamaan dengan 8 variabel, matrik SPLnya sebagai berikut. 4,5
1 b
1
= 1
20,25 4,5
1 c
1
1 49
7 1
a
2
2,5 49
7 1
b
2
2,5 3
1 c
2
2,5 81
9 1
a
3
0,5 1
-9 -1
b
3
14 1
-14 -1
c
3
14 1
-14 -1
c
3
Selanjutnya dengan salah satu metode Gauss diperoleh nilai: a
1
= 0 , b
1
= -1 , c
1
= 5,5, a
2
= 0,64 , b
2
= -6,76 , c
2
= 18,46 a
3
= -1,6 , b
3
= 24,6 , c
3
= -91,3 Sehingga bentuk interpolasi Spline kuadratis adalah:
f
1
x = - x + 5,5 3 ≤ x ≤ 4,5
f
2
x = 0,64 x
2
- 6,76 x + 18,46 4,5 ≤ x ≤ 7
f
3
x = -1,6 x
2
+ 24,6 x - 91,3 7 ≤ x ≤ 9
Dugaan nilai fungsi untuk x = 5 masuk ke f
2
x. Jadi f
2
5 = 0,64. 5
2
- 6,76 .5 + 18,46 = 0,66
