Contoh:
Diketahui pasangan data sebagai berikut.
x fx
3,0 2,5
4,5 1,0
7,0 2,5
9,0 0,5
9,0 0,5
Gunakan Spline orde satu untuk mencari nilai fungsi pada x = 5.
Jawab:
x = 5 terletak antara data x = 4,5 dan x = 7. Slope m = 2,5 – 1,0 7 – 4,5 = 0,6.
Maka f5 = f4,5 + m 5 – 4,5 = 1,0 + 0,6 0,5 = 1,3.
3.2 Spline Kuadratis
Spline kuadratis mempunyai turunan pertama yang kontinyu pada simpul-simpul.
Tujuan dari Spline kuadratis adalah untuk menurunkan sebuah polinom orde dua untuk setiap interval titik data.
Secara umum dituliskan: f
i
x = a
i
x
2
+ b
i
x + c
i
Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval.
Dengan demikian kita dapat menentukan nilai interpolasi kuadratis pada masing-masing interval tersebut.
Jika terdapat 4 buah data maka akan terdapat 3 interval dan tiap interval terbentuk persaman interpolasi kuadratis seperti tampak
pada berikut.
3.2 Spline Kuadratis
Spline kuadratis mempunyai turunan pertama yang kontinyu pada simpul-simpul.
Tujuan dari Spline kuadratis adalah untuk menurunkan sebuah polinom orde dua untuk setiap interval titik data.
Secara umum dituliskan: f
i
x = a
i
x
2
+ b
i
x + c
i
Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval.
Dengan demikian kita dapat menentukan nilai interpolasi kuadratis pada masing-masing interval tersebut.
Jika terdapat 4 buah data maka akan terdapat 3 interval dan tiap interval terbentuk persaman interpolasi kuadratis seperti tampak
pada berikut.
Jika terdapat n + 1 titik data maka terdapat n interval dan 3n var.
Diperlukan 3n persamaan untuk solusi.
a
i -1
x
i-1 2
+ b
i -1
x
i-1
+ c
i-1
= fx
i-1
= a
i
x
i 2
+ b
i
x
i
+ c
i
2n – 2 persamaan. 2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung.
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= fx dan a
n
x
n 2
+ b
n
x
n
+ c
n
= fx
n
2 persamaan.
3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’x = 2a
i-1
x
i-1
+ b
i-1
= 2a
i
x
i
+ b n -1 persamaan.
4. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0. f ”x = 2 a
1
= 0 a
1
= 0
Sum variabel = 3n – 1 sesuai dengan sum persamaan 2 n – 2 + 2 + n -1 = 3n - 1
Gunakan salah satu metode Gauss untuk menyelesaian masalah ini. Catatan: interval 1 selalu berbentuk linier.
Persyaratan dalam Spline kuadratis
1. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.
fx fx
2
fx
1
fx
3
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
2
2
2
Interval 1 Interval 3
Interval 2
x i = 0
x
1
i = 1 x
2
i = 2 x
3
i = 3
2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= fx dan a
n
x
n 2
+ b
n
x
n
+ c
n
= fx
n
2 persamaan.
3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’x = 2a
i-1
x
i-1
+ b
i-1
= 2a
i
x
i
+ b n -1 persamaan.
4. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0. f ”x = 2 a
1
= 0 a
1
= 0
Sum variabel = 3n – 1 sesuai dengan sum persamaan 2 n – 2 + 2 + n -1 = 3n - 1
Gunakan salah satu metode Gauss untuk menyelesaian masalah ini. Catatan: interval 1 selalu berbentuk linier.
