Spline Linier Spline Linier

Contoh: Diketahui pasangan data sebagai berikut. x fx 3,0 2,5 4,5 1,0 7,0 2,5 9,0 0,5 9,0 0,5 Gunakan Spline orde satu untuk mencari nilai fungsi pada x = 5. Jawab: x = 5 terletak antara data x = 4,5 dan x = 7. Slope m = 2,5 – 1,0 7 – 4,5 = 0,6. Maka f5 = f4,5 + m 5 – 4,5 = 1,0 + 0,6 0,5 = 1,3.

3.2 Spline Kuadratis

Spline kuadratis mempunyai turunan pertama yang kontinyu pada simpul-simpul. Tujuan dari Spline kuadratis adalah untuk menurunkan sebuah polinom orde dua untuk setiap interval titik data. Secara umum dituliskan: f i x = a i x 2 + b i x + c i Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval. Dengan demikian kita dapat menentukan nilai interpolasi kuadratis pada masing-masing interval tersebut. Jika terdapat 4 buah data maka akan terdapat 3 interval dan tiap interval terbentuk persaman interpolasi kuadratis seperti tampak pada berikut.

3.2 Spline Kuadratis

Spline kuadratis mempunyai turunan pertama yang kontinyu pada simpul-simpul. Tujuan dari Spline kuadratis adalah untuk menurunkan sebuah polinom orde dua untuk setiap interval titik data. Secara umum dituliskan: f i x = a i x 2 + b i x + c i Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval. Dengan demikian kita dapat menentukan nilai interpolasi kuadratis pada masing-masing interval tersebut. Jika terdapat 4 buah data maka akan terdapat 3 interval dan tiap interval terbentuk persaman interpolasi kuadratis seperti tampak pada berikut. Jika terdapat n + 1 titik data maka terdapat n interval dan 3n var. Diperlukan 3n persamaan untuk solusi. a i -1 x i-1 2 + b i -1 x i-1 + c i-1 = fx i-1 = a i x i 2 + b i x i + c i  2n – 2 persamaan. 2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = fx dan a n x n 2 + b n x n + c n = fx n  2 persamaan.

3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’x = 2a

i-1 x i-1 + b i-1 = 2a i x i + b  n -1 persamaan.

4. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0.  f ”x = 2 a

1 = 0  a 1 = 0 Sum variabel = 3n – 1 sesuai dengan sum persamaan 2 n – 2 + 2 + n -1 = 3n - 1 Gunakan salah satu metode Gauss untuk menyelesaian masalah ini. Catatan: interval 1 selalu berbentuk linier. Persyaratan dalam Spline kuadratis

1. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.

fx fx 2 fx 1 fx 3 a 1 x 2 + b 1 x + c 1 2 2 2 Interval 1 Interval 3 Interval 2 x i = 0 x 1 i = 1 x 2 i = 2 x 3 i = 3

2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a

1 x 2 + b 1 x + c 1 = fx dan a n x n 2 + b n x n + c n = fx n  2 persamaan.

3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’x = 2a

i-1 x i-1 + b i-1 = 2a i x i + b  n -1 persamaan.

4. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0.  f ”x = 2 a

1 = 0  a 1 = 0 Sum variabel = 3n – 1 sesuai dengan sum persamaan 2 n – 2 + 2 + n -1 = 3n - 1 Gunakan salah satu metode Gauss untuk menyelesaian masalah ini. Catatan: interval 1 selalu berbentuk linier.