19
20 21
22
23 24
25 26
27
28 Gambar 16 Pola Trayektori Bifurkasi
Poincare Andronov Hopf Bifurkasi Hopf dapat dilihat pada gambar ketika kasus
μ muncul sebuah Limit Cycle disana. Hal ini
terjadi karena perubahan kestabilan titik Fokus saat
μ yang beratraktor positif menjadi
beratraktor negatif pada μ
Perlu ditekankan disini bahwa keempat bifurkasi yang dibahas sebelumnya merupakan
bifurkasi lokal, yakni bifurkasi yang dapat dilihat hanya dengan meninjau perubahan
kelakuan aliran trayektori di sekitar titik kritis.
3. Solusi Satu Soliton Persamaan NLS
Pada awal pembahasan mengenai kehadiran soliton optik, akan ditinjau sebuah
persamaan perambatan pulsa elektromagnetik dalam serat optik. Dalam hal ini perambatan
pulsa yang dimaksud melalui medium dielektrik. Yaitu sebuah medium yang jika
dirambati oleh cahaya dengan intensitas tinggi akan menunjukan sebuah hubungan antara
indeks bias terhadap intensitas cahaya. Medium dengan perilaku seperti itu dikenal
sebagai medium kerr.
Persamaan gelombang yang terkait dengan perambatan pulsa dalam serat optik lazim
disebut persamaan Schrodinger nonlinier NLS yang dapat dituliskan dalam bentuk
umum sebagai berikut[3]:
2 2
2
E E
i E E
z t
β σ
∂ ∂
− +
= ∂
∂ dimana nilai E merupakan medan selubung
dari pulsa listrik, kemudian nilai
2 2
d dk
ω β
∼
merupakan parameter yang terkait dengan dispersi dari kecepatan grup dan nilai
3
σ χ
∼
terkait dengan suseptibilitas orde tiga dari medium yang dilalaui.
Berikut ini akan dicari solusi bagi persamaan 19 dalam bentuk:
,
i z
E z t u t e
κ
= dengan
u t
merupakan fungsi riil. Kemudian substitusikan persamaan 20 ke dalam
persamaan 19 dan menghasilkan:
2 3
2
u u
u t
κ β
σ
∂ −
− +
= ∂
selanjutnya kalikan persamaan 21 dengan sehingga:
du dt
2 3
2
du d u du
du u
u dt
dt dt
dt
κ β
σ
− −
+ =
persamaan 22 dapat dituliskan kembali dalam bentuk:
2 2
4
1 2
2 d
du u
u dt
dt
σ κ
β
⎡ ⎤
⎛ ⎞
− −
+ =
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
yang mengindikasikan bahwa:
2 2
4
2 du
u u
c dt
σ κ
β
⎛ ⎞
− −
+ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dimana nilai c merupakan sebuah konstanta. Selanjutnya untuk bisa memperoleh solusinya
maka dengan membatasi diri pada solusi yang memilki kondisi
du dt
→ u
→ t
→ ±∞
dan pada
sehingga berakibat nilai c pada ruas kanan bernilai nol. Dari sini persamaan 24
dapat diatur kembali menjadi:
2 2
4
1 2
du u
u dt
σ κ
β
⎛ ⎞
⎡ ⎤
= −
+ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦
2
2 2
du dt
u u
κ β
σ σ
= −
+ untuk menyelesaikan persamaan 26 pada
ruas kiri akan dilakukan pemisalan fungsi
2 sin
u
κ σ ψ
=
dan
2 cos d
κ σ ψ ψ
= du
, sehingga ruas kiri persamaan 26 dalam
variabel ψ menjadi:
2
2 sin
2 du
d u
u
ψ κ σ
ψ κ σ
→ −
− +
kemudian integralkan hasil yang diperoleh terhadap variabel
ψ : 2
sin d
ψ κ σ
ψ
= −
∫
1 1
cos ln
sin sin
2
ψ ψ
ψ κ σ
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
setelah itu nyatakan kembali persamaan 28 dalam variabel
u
:
29
30
31
32
33
34 35a
35b
36a 36b
37a 37b
2 4
1 1
1 2
4 2
H u
u
2 2
u
κ σ
β
= − +
+ 38
1 1
cos ln
sin sin
2
ψ ψ
ψ κ σ
⎛ ⎞
− =
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
2
1 1
1 2
ln 2
2 u
u
σ κ κ σ
κ σ
⎡ ⎤
⎛ ⎞
− −
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ sedangkan integral ruas kanan persamaan 26
didapatkan: sedangkan integral ruas kanan persamaan 26
didapatkan: 2
2 dt
t
β σ β
=
∫
σ
dengan demikian persamaan yang harus dipecahkan adalah:
2
1 1
2 ln
2 u
t u
σ κ κ σ
κ β ⎡
⎤ ⎛
⎞ −
− ⎢
⎥ = − ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ sehingga nantinya nilai
u
menjadi: 2 2
exp 1 exp 2
t u t
t
κ σ κ β
κ β
− =
+ −
dan nantinya bentuk persamaan 32 dapat diubah menjadi bentuk fungsi trigonometri
berikut: 2
sech u t
t
κ σ κ β
= −
sehingga akhirnya solusi dari persamaan NLS dalam bentuk persamaan 20 yang diinginkan
dapat dituliskan sebagai berikut: ,
2 sech
i z
E z t t e
κ
κ σ κ β
= −
dengan bentuk profilnya diberikan pada gambar 17. Jelas bahwa solusi yang diperoleh
merupakan solusi yang terlokalisasi dengan ekor-ekor menuju nol. Dalam fisika, solusi ini
dinamakan sebagai soliton.
Gambar 17 Profil solusi persamaan 34
4. Analisis Sistem Dinamik Solusi Satu
