29
30
31
32
33
34 35a
35b
36a 36b
37a 37b
2 4
1 1
1 2
4 2
H u
u
2 2
u
κ σ
β
= − +
+ 38
1 1
cos ln
sin sin
2
ψ ψ
ψ κ σ
⎛ ⎞
− =
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
2
1 1
1 2
ln 2
2 u
u
σ κ κ σ
κ σ
⎡ ⎤
⎛ ⎞
− −
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ sedangkan integral ruas kanan persamaan 26
didapatkan: sedangkan integral ruas kanan persamaan 26
didapatkan: 2
2 dt
t
β σ β
=
∫
σ
dengan demikian persamaan yang harus dipecahkan adalah:
2
1 1
2 ln
2 u
t u
σ κ κ σ
κ β ⎡
⎤ ⎛
⎞ −
− ⎢
⎥ = − ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦ sehingga nantinya nilai
u
menjadi: 2 2
exp 1 exp 2
t u t
t
κ σ κ β
κ β
− =
+ −
dan nantinya bentuk persamaan 32 dapat diubah menjadi bentuk fungsi trigonometri
berikut: 2
sech u t
t
κ σ κ β
= −
sehingga akhirnya solusi dari persamaan NLS dalam bentuk persamaan 20 yang diinginkan
dapat dituliskan sebagai berikut: ,
2 sech
i z
E z t t e
κ
κ σ κ β
= −
dengan bentuk profilnya diberikan pada gambar 17. Jelas bahwa solusi yang diperoleh
merupakan solusi yang terlokalisasi dengan ekor-ekor menuju nol. Dalam fisika, solusi ini
dinamakan sebagai soliton.
Gambar 17 Profil solusi persamaan 34
4. Analisis Sistem Dinamik Solusi Satu
Soliton Nonlinier Schroedinger NLS
Untuk melihat makna dari solusi soliton NLS persamaan 34 dalam bahasa dinamika
sistem maka tinjau kembali persamaan 21 dalam bentuk PDB orde satu dengan
memisalkan
u
dan
u
didapatkan:
1
u =
2
u =
2 1
u u
β
=
3 2
1 1
u u
u
κ σ
= − +
1 2
0, u
u jelas terlihat bahwa titik-titik kritis untuk
sistem persamaan 35 adalah: =
=
1 2
, u
u
κ σ
= ± =
dan harga eigen yang terkait dengan masing- masing titik kritis diberikan oleh penyelesaian
dari konstruksi matriks Jacobian, dan hasil yang didapat:
1
κ λ
=
β
± −
2
2
κ λ
= ±
β
untuk kasus β
dan dapat dengan
mudah disimpulkan bahwa titik kritis 36a merupakan sebuah titik Sadel, sedangkan titik
kritis 36b merupakan titik Center. Sebelum meninjau bentuk trayektori solusi berdasarkan
proses linierisasi, perlu disadari bahwa sistem persamaan 35 membentuk suatu sistem
Hamiltonian dengan fungsi Hamiltonian terkait diberikan oleh:
κ
1 2
u H
u
dimana persamaan 35 memenuhi persamaan kanonik
= ∂ ∂
2 1
u H
u = −∂
∂
dan .
Mengingat pada titik
0, 0 H
merupakan titik Sadel, maka nilai Hamiltonian untuk
trayektori yang terkait dengan titik tersebut adalah
=
. Dengan demikian, sambil memeperhatikan kenyataan bahwa terdapat
dua buah titik Center dan sebuah titik Sadel di titik asal, maka bentuk trayektori yang
dimaksud adalah Seperti yang diilustrasikan pada gambar 18 berikut.
Gambar 18 Pola Trayektori untuk kasus dan
κ β
=
dan sesuai pula dengan persamaan 38 untuk kasus
H
kemudian untuk kasus β
κ dan
dapat dengan mudah pula diketahui bahwa untuk
41
42
43
44
45
46
2
2 sech
tanh u t
t t
β κ
κ κ
σ β
β
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= − −
− −
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣ ⎦
39
1
2 sech
u t u t
t κ
κ σ
β ⎛
⎞ =
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
titik kritis 36a merupakan sebuah titik Center, sedangkan untuk titik kritis 36b
merupakan titik Sadel.
40 Berdasarkan persamaan 35 diketahui
bahwa:
dengan menggunakan aplikasi Mapple, dapat diperlihatkan bahwa untuk rentang
t −∞ ∞
maka diperoleh dalam gambar 19, pola trayektori dari persamaan 39 yang
dikombinasikan dengan: secara implisit dalam bidang
1 2
, u t u t
1
u
. Terlihat bahwa kombinasi tersebut cocok
dengan trayektori dari hamiltonian dengan pada bagian kurva tertutup bagian
kanan. Kurva tertutup bagian kiri dari gambar 19 terkait dengan solusi
, dimana berdasarkan transformasi ini persamaan 35
merupakan persamaan yang invarian.
H =
1
u → −
Gambar 19 Pola aliran Trayektori persamaan 39 yang dikombinasikan
dengan persamaan 40
Namun, jika kembali mengacu pada persamaan 34 dapat dengan mudah dilihat
bahwa agar persamaan tersebut terkait dengan suseptibilitas orde tiga dimana
σ maka
kondisi yang harus dipenuhi adalah ketika β
dan agar fungsi
u
merupakan fungsi riil. Kondisi perambatan dengan nilai
κ β
secara teoritis terkait dengan sebuah keadaan dispersi anomali.
5. Integral dan Fungsi Eliptik
