41
42
43
44
45
46
2
2 sech
tanh u t
t t
β κ
κ κ
σ β
β
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= − −
− −
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣ ⎦
39
1
2 sech
u t u t
t κ
κ σ
β ⎛
⎞ =
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
titik kritis 36a merupakan sebuah titik Center, sedangkan untuk titik kritis 36b
merupakan titik Sadel.
40 Berdasarkan persamaan 35 diketahui
bahwa:
dengan menggunakan aplikasi Mapple, dapat diperlihatkan bahwa untuk rentang
t −∞ ∞
maka diperoleh dalam gambar 19, pola trayektori dari persamaan 39 yang
dikombinasikan dengan: secara implisit dalam bidang
1 2
, u t u t
1
u
. Terlihat bahwa kombinasi tersebut cocok
dengan trayektori dari hamiltonian dengan pada bagian kurva tertutup bagian
kanan. Kurva tertutup bagian kiri dari gambar 19 terkait dengan solusi
, dimana berdasarkan transformasi ini persamaan 35
merupakan persamaan yang invarian.
H =
1
u → −
Gambar 19 Pola aliran Trayektori persamaan 39 yang dikombinasikan
dengan persamaan 40
Namun, jika kembali mengacu pada persamaan 34 dapat dengan mudah dilihat
bahwa agar persamaan tersebut terkait dengan suseptibilitas orde tiga dimana
σ maka
kondisi yang harus dipenuhi adalah ketika β
dan agar fungsi
u
merupakan fungsi riil. Kondisi perambatan dengan nilai
κ β
secara teoritis terkait dengan sebuah keadaan dispersi anomali.
5. Integral dan Fungsi Eliptik
Untuk memahami permasalahan ini, berikut akan ditunjukan sebuah bentuk
integral yang sering dijumpai dalam permasalahan Fisika seperti pada kasus bandul
sederhana yaitu:
2 2
, 1
sin d
F k
k
ϕ
ϕ ϕ
= −
∫
ϕ
integral pada persamaan 41 dinamakan sebagai integral eliptik jenis pertama dan:
2 2
, 1
sin E
k k
d
ϕ
ϕ ϕ ϕ
= −
∫
1 k
dikenal sebagai integral eliptik jenis kedua. Dimana nilai
k
berada pada rentang nilai
≤ ≤
. Nilai
k
pada persamaan tersebut merupakan sebuah modulus dan
ϕ merupakan sebuah amplitudo dari integral eliptik pada
persamaan 41 dan 42. Integral eliptik dinamakan sebagai integral
eliptik lengkap jika amplitudo pada persamaan bernilai
π ϕ
= 2
. Integral pada persamaan 41 dan 42 merupakan integral eliptik versi
Legendre. Melalui transformasi:
sin x
ϕ
=
dengan nilai
2
1 dx
d
ϕ
= x
−
, sehingga diperoleh bentuk lain sebagai berikut yaitu[8,9,13]:
2 2
2
, 1
1
x
dx F x k
x k x
= −
−
∫
2 2
2
1 ,
1
x
k x E x k
dx x
− =
−
∫
yang dinamakan integral eliptik versi Jacobi. Bentuk integral eliptik baik dalam versi
Legendre maupun Jacobi tidak dapat secara umum dievaluasi secara analitik. Nilai-
nilainya untuk amplitudo tertentu disediakan dalam bentuk tabel yang diperoleh secara
numerik. Tinjau bentuk integral eliptik Jacobi 43. Jika diambil k
= maka dapat dengan mudah diperoleh:
1 2
sin 1
x
dx u
x x
−
= =
−
∫
dimana
, 0 u
F x ≡
sin u x
, jika dilakukan inversi terhadap persamaan 45 maka diperoleh hasil
=
. Dengan memperluas cara pandang untuk kasus
k ≠
dan dengan mendefinisikan secara umum nilai
, x k
≡ u
F
, maka serupa dengan persamaan 45 dapat dituliskan
bentuk bagi sembarang integral eliptik terkait:
1 2
2 2
sn 1
1
x
dx u
x x
k x
−
= =
− −
∫
sn u x
dan serupa pula dengan persamaan 45, invers dari persamaan 46 adalah
sin
ϕ . Dimana secara lebih khusus
= =
47
48
49
50 51
52
53 fungsi
dikenal dalam matematik sebagai fungsi eliptik Jacobi[8,9,13].
sn u
Mirip dengan fungsi trigonometrik, dapat pula didefinisikan fungsi eliptik Jacobi
cn
melalui hubungan:
u
54
2
cn 1 sn
cos u
u
ϕ
= −
= kemudian tinjau kembali integral eliptik versi
Legendre pada persamaan 41, jelas terlihat:
2 2
1 1
sin du
d k
ϕ ϕ
= −
dan berdasarkan hubungan 48 dapat pula didefinisikan fungsi
melalui perumusan berikut ini yaitu:
dn u
2 2
dn 1
sn d
u k
u du
ϕ
= =
− dengan demikian, jelas bahwa fungsi fungsi
tersebut memenuhi hubungan:
2 2
cn sn
1 u
u +
=
2 2
2
dn sn
1 u
k u
+ =
kemudian, untuk mengetahui turunan pertama bagi masing-masing fungsi terhadap variabel
, maka diperoleh hasil sebagai berikut: u
sn sin
d u
d du
du
ϕ
= =
cos cn dn
d u
u du
ϕ ϕ
= cn
cos d
u d
du du
ϕ
= =
sin sn dn
d u
u du
ϕ ϕ
− = −
2
dn 1
sin d
u d
k du
du
ϕ
= −
=
2 2
2
sin cos
sn cn 1
sin k
d k
u u
du k
ϕ ϕ ϕ
ϕ
− = −
−
METODE PENELITIAN
1. Waktu dan Tempat Penelitian
