b. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
Nonlinear Orde Tinggi
Dalam penjelasan sebelumnya terlihat bahwa MDA diterapkan dalam persamaan diferensial linear orde pertama. Metode ini diterapkan secara langsung
dan secara mudah untuk masalah nonhomogen. Subbab ini akan menerapkan MDA untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear. Hal ini sangat
penting karena dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial tidak hanya terdapat suku linear saja namun terdapat suku nonlinear juga seperti
, dan lain sebagainya.
Berikut ini akan dijelaskan secara rinci mengenai skema Adomian dalam menghitung suku nonlinear. Untuk memudahkan, maka penjelasan mengenai
persamaan diferensial parsial nonlinear akan didukung dengan beberapa contoh ilustratif yang mencakup berbagai bentuk nonlinear.
Telah diketahui bahwa metode dekomposisi Adomian menunjukkan bahwa fungsi
yang tak diketahui dapat diwakili oleh deret dekomposisi berikut:
∑ 3.22
dengan dapat dihitung dengan cara rekursif. Namun demikian, suku nonlinear
seperti , dan lain-lain bisa dinyatakan dalam deret terbatas yang
disebut polinomial Adomian yang dituliskan sebagai berikut: ∑
3.23
dengan polinomial Adomian dapat dihitung untuk semua bentuk nonlinear.
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA terdapat beberapa cara. Salah satunya adalah polinomial
Adomian untuk suku nonlinear
dapat didefinisikan dengan menggunakan formula sebagai berikut:
[ ∑ ]
Namun, dalam tugas akhir ini penulis tidak menggunakan cara di atas, sebab memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Sehingga dalam tugas akhir ini penulis
menggunakan cara lain. Cara yang akan diperkenalkan selanjutnya ini merupakan cara sederhana
dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian. Cara ini didasarkan pada aljabar dan identitas trigonometri serta deret Taylor. Cara ini
menggunakan operasi dasar dan tidak memerlukan formula tertentu, yang diambil dari buku karangan Wazwaz 2009.
Seperti yang didefinisikan oleh metode dekomposisi yaitu cara ini menunjukkan bahwa mensubsitusi
sebagai jumlahan dari dengan
. Hal ini jelas bahwa
selalu ditentukan independen dari polinomial lainnya
dengan , dan
didefinisikan sebagai berikut: 3.24
Cara ini
mengasumsikan bahwa
pertama memisahkan
untuk setiap suku nonlinear . Dengan melakukan pemisahan ini
maka komponen sisa dapat diperluas dengan menggunakan operasi aljabar,
identitas trigonometri, dan deret Taylor. Selanjutnya mengumpulkan semua suku
ekspansi yang dihasilkan sedemikian sehingga jumlah subskrip dari komponen dalam setiap suku adalah sama. Setelah melakukan pengumpulan suku-suku
tersebut maka perhitungan polinomial Adomian dengan demikian selesai. Untuk meningkatkan pemahaman mengenai cara ini maka akan
diperkenalkan beberapa contoh berikut.
i. Kasus Polinomial Nonlinear