Luas daerah di bawah kurva diaproksimasikan dengan total hampiran luas persegi panjang masing-masing subinterval yang dibentuk tersebut, sehingga aproksimasi
luas di bawah kurva adalah Hal ini berarti bahwa total
hampiran luas persegi panjang atau jumlahan Riemann fungsi pada interval
sebagai hampiran luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu dapat ditulis sebagai berikut:
̅ ̅
̅ ∑ ̅
Jika ‖ ‖ diperkecil pada interval tertutup , maka jumlah subinterval atau
akan bertambah. Dengan kata lain, jika ‖ ‖ maka .
Jika semakin membesar maka
dan berarti bahwa semakin baik pula aproksimasi luasan dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya.
Dengan demikian, ∑ ̅
D. Barisan
Pada subbab mengenai konsep barisan ini, hanya dibatasi pada konsep barisan konvergen dan divergen beserta contohnya.
Definisi 2.11
Suatu barisan dikatakan kovergen ke suatu bilangan
jika untuk setiap bilang posistif
terdapat suatu bilang bulat sedemikian sehingga untuk semua
| |
Jika tidak terdapat bilang , maka barisan
tersebut dikatakan barisan divergen.
Jika konvergen ke
, maka , atau secara sederhana
. Dan merupakan limit dari barisan.
Contoh 2.10
Tunjukkan bahwa .
Penyelesaian Misalkan
Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat sedemikian hingga untuk semua
, |
| Bentuk implikasi di atas terpenuhi jika
atau . Jika
adalah sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari
, maka bentuk implikasi di atas terpenuhi untuk semua
. Sehingga terbukti bahwa
E. Deret
Pada subbab ini hanya dibatasi pada konsep deret konvergen dan divergen beserta contohnya.
Definisi 2.12
Diberikan suatu barisan bilangan , suatu ekspresi dalam bentuk
dikatakan deret takhingga. Bilangan merupakan suku ke-
dari deret. Barisan didefinisikan oleh:
∑
adalah barisan jumlah parsial dari deret, dengan adalah jumlah parsial ke-
. Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit
, maka deret tersebut konvergen dan jumlahannya adalah
. Dalam kasus ini, akan dituliskan sebagai berikut:
∑
Jika barisan jumlah parsial dari suatu deret tidak konvergen, maka deret tersebut dikatakan deret divergen.
Contoh 2.11
Selidiki kekonvergenan dari deret dibawah ini:
Penyelesaian Jika diperhatikan
sehingga diperoleh jumlah parsial ke- nya adalah:
dan Jadi, karena barisan jumlah-jumlah
parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh-contoh deret Taylor dan deret Maclaurin.
Definisi 2.13
Misalkan adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan-turunan dari semua
tingkat pada interval tertentu dengan adalah titik interior. Maka deret Taylor
yang diberikan oleh di sekitar adalah:
∑
Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah
∑
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar .
Contoh 2.12
Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar
. Penyelesaian:
Akan dicari . Dengan turunan maka diperoleh
, ,
, dan seterusnya maka , sedemikian sehingga
Deret Taylornya adalah:
Dan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio
. G.
Konvergensi Deret Taylor
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor suatu fungsi yang konvergen ke fungsi itu sendiri. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.
Teorema 2.1 Teorema Taylor
Jika dan turunan-turunan pertama hingga ke-
kontinu pada interval tertutup antara
dan , dan terdiferensial pada interval terbuka
antara dan , maka terdapat bilangan antara dan sedemikian sehingga:
Bukti
Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa .
Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:
dan turunan pertama -nya sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya
pada . Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku
lain dari bentuk dengan adalah suatu konsanta, karena suku
tersebut dan turunan pertama -nya semua sama dengan nol pada . Lalu,
didefinisikan fungsi baru yaitu:
dengan turunan pertama -nya masih sesuai dengan fungsi dan turunan pertama
-nya pada . Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari
yang membuat kurva sesuai dengan kurva asli pada , yaitu:
2.13 dengan
didefinisikan oleh persamaan 2.13, maka fungsi:
yang merupakan selisi antara fungsi asli dan fungsi aproksimasi
untuk setiap
di . Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena
dan dan keduanya kontinu pada
, maka
Lalu, karena dan
dan keduanya kontinu pada
, maka
Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada yaitu:
sedemikian sehingga sedemikian sehingga
sedemikian sehingga Karena
kontinu pada dan terdiferensial pada
, dan , bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu
bilangan pada
sedemikian sehingga 2.14
Jika diturunkan total dari
kali, maka diperoleh:
2.15 Berdasarkan persamaan 2.14 dan 2.15, diperoleh:
2.16 Dan berdasarkan persamaan 2.13 dan 2.16, diperoleh:
Maka terbukti. Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan
tetap dan adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti
dengan . Rumus di bawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah
dengan .
Rumus Taylor
Jika mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka
yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif dan untuk setiap di ,
2.17
dengan 2.18
untuk antara dan .
Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa untuk setiap
, maka:
Fungsi ditentukan oleh nilai dari turunan ke
di titik yang
bergantung pada kedua dan , dan terletak di antara mereka.
Persamaan 2.12 disebut rumus Taylor. Fungsi disebut suku error
untuk aproksimasi oleh
terhadap interval .
Definisi 2.14
Jika untuk semua maka deret Taylor yang
dibangun oleh saat pada interval , ditulis sebagai berikut:
∑ dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya
dapat dilihat contoh sebagai berikut.
Contoh 2.13
Tunjukkan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh saat
konvergen ke untuk setiap .
Penyelesaian: Fungsi
mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval . Persamaan 2.12 dan 2.13 dengan
dan , maka:
dan
untuk antara dan .
Karena adalah fungsi naik, maka
berada di antara dan
. Ketika nilai
maka nilai dan . Ketika nilai maka nilai
dan . Dan ketika nilai maka dan
. Maka, |
| | |
saat , dan
| |
saat . Lalu, karena
untuk setiap ,
dan deret konvergen untuk setiap , maka:
∑ 2.19
29
BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
